Statistik Die folgende Präsentation illustriert die Kapitel XIV und XV aus dem Buch „Chemie berechnen“ (Wawra/Dolznig/Müllner). Da die Texte teilweise übereinander gelegt sind, muss man im Power-Point auf schalten, um alle Texte und Animationen sehen zu können. Viel Vergnügen. Edgar Wawra Bildschirm-Präsentationen Stellen Sie sich vor, Sie hätten 1000 Stück Glühbirnen billig erworben, und Sie wollen diese nun einzeln – natürlich mit Gewinn - verkaufen. Aber Ihre Kunden wollen von Ihnen wissen, wie lange die Brenndauer dieser Birnen ist. Da haben Sie jetzt verschiedene Möglichkeiten: Sie nehmen eine Birne, schließen sie ans Stromnetz an und bestimmen, wie lange diese brennt. J Dann haben Sie einen Wert, den Sie Ihren Kunden mitteilen können, und brauchen sich nicht mit irgendwelcher Mathematik (Berechnung des Mittelwertes, usw.) herumschlagen. L Allerdings muss eine einzige Birne nicht für die übrigen charakteristisch sein. Wenn sie eine beson-ders schlechte erwischt haben, kauft niemand Ihre 999 anderen, wenn Sie ehrlich zugeben, dass die erste nur 2 Stunden gebrannt hat..

Stellen Sie sich vor, Sie hätten 1000 Stück Glühbirnen billig erworben, und Sie wollen diese nun einzeln – natürlich mit Gewinn - verkaufen. Aber Ihre Kunden wollen von Ihnen wissen, wie lange die Brenndauer dieser Birnen ist. Da haben Sie jetzt verschiedene Möglichkeiten: Die Alternative: Sie testen alle Ihre Birnen. J Dann können Sie mit überragender Genauigkeit die mittlere Brenndauer bestimmen. Die dafür notwendige Mathematik ist einfach (Mittelwert). So geht es also nicht ! L Sie haben nichts mehr zu verkaufen, wenn alle Birnen ausgebrannt sind (und die Stromkosten zehren Ihre letzten Ersparnisse auf).

Stellen Sie sich vor, Sie hätten 1000 Stück Glühbirnen billig erworben, und Sie wollen diese nun einzeln – natürlich mit Gewinn - verkaufen. Aber Ihre Kunden wollen von Ihnen wissen, wie lange die Brenndauer dieser Birnen ist. Da haben Sie jetzt verschiedene Möglichkeiten: Sie nehmen aus Ihrem Vorrat wahllos 30 Birnen und testen diese. (Das nennt man Stichprobe.) J Diese Anzahl ist manipulierbar, und der Beitrag einer einzelnen Birne ist gering, sodass eine fehlerhafte (ein Ausreißer) keine so große Rolle spielt. Und die Kosten für die 30 Birnen können Sie – als ordentlicher Kaufmann – auf die übrigen 970 draufschlagen. Aber . . . . . L Sie benötigen für die Auswertung einigen statistischen Aufwand. Sie können jetzt von den 30 Birnen Ihrer Stichprobe den Mittelwert bestimmen, und die Standardabweichung, das ist das Maß, wieweit die Einzelwerte voneinander abweichen.

Die Daten der Stichprobe interes-sieren mich nicht, ich will aber alles über die Grundgesamtheit wissen.

Zu jeder gibt es einen Mittelwert und eine Standardabweichung 1000 Glühbirnen Das ist die Grundgesamtheit 30 Glühbirnen Das ist Ihre Stichprobe Mittelwert x Standardabweichung s Zu jeder gibt es einen Mittelwert und eine Standardabweichung Fangen wir einmal damit an, und danach kümmern wir uns um den Rest. Mittelwert µ Standardabweichung s

Würden Sie Ihre Werte in ein Diagramm eintragen, sähe das etwa so aus: Die erste Birne brennt 195 Stunden. Mit genügend vielen Werten nähert sich unser Bild einer Gauß-Kurve. Die Eigenschaften dieser Kurve: Die Eigenschaften dieser Kurve: Die nächste brennt 210 Stunden. s s u.s.w. 68% 16% 16% u.s.w. x Die Kurve hat kein Ende, sie geht auf beiden Seiten (theoretisch) bis ins Unendliche weiter. Der höchste Punkt in der Mitte gibt uns den Mittelwert aller Werte. Links und rechts gibt es je einen Wendepunkt. Der Abstand zwischen Wendepunkt und Mittelwert ist die Standardabweichung. Wichtig: im Bereich bis s um den Mittelwert liegen zwei Drittel (genau sind es 68%) aller Einzelwerte. In der Regel folgen Ihre Werte den Regeln der Gauß-Kurve, aber nicht immer. Wenn Sie finden, dass sich Ihre Werte eher so verteilen: müssen Sie andere (kompliziertere) mathematische Modelle anwenden. Doch so weit wollen wir jetzt nicht gehen, für Ihre Glühbirnen genügt die Gauß-Verteilung (ist eh kompliziert genug).

S xi n Keine Panik! x = Mittelwert: Varianz: Standardabweichung: Das sind die Formeln, mit denen wir jetzt rechnen müssen: Mittelwert ist einfach, alle Werte (= xi) addieren, und durch die Anzahl der Werte (=n) dividieren S xi x = Mittelwert: n Keine Panik! Wir gehen das jetzt einzeln langsam durch. Für die Varianz bestimmen wir für jeden Einzelwert die Differenz zum Mittelwert (= xi - x), quadrieren jede einzelne Differenz, addieren alle diese Quadrate, und dividieren dann durch die Zahl der Einzelwerte minus 1 (= n - 1). Varianz: Standardabweichung: Die Varianz brauchen wir nur, um weiter zu rechnen: die Quadratwurzel der Varianz ist unsere gesuchte Standardabweichung. Damit das noch klarer wird, rechnen wir es jetzt an unserem Beispiel durch, einfach für die ersten 5 Glühbirnen:

Man kann kontrollieren, ob die Bestimmung von s richtig ist ! Wir berechnen zuerst den Mittelwert: Da tragen wir die ersten 5 Werte für die Brenndauer ein. 195 210 190 205 200 195 210 190 205 200 -5 +10 -10 +5 25 100 Es müssen etwa 1/3 aller Werte außerhalb des Bereiches und etwa 2/3 innerhalb liegen. Die Summe ist 1000. Das dividieren wir durch 5 (die Anzahl der Werte), gibt 200. -s +s 68% ~2/3 Und jetzt die Varianz: Also nochmals alle Werte: Wir bestimmen die Differenz zum Mittelwert (200)... 1000 250 … und quadrieren alles. In unserem Beispiel: 200 ± 8 = 192 bis 208 Die Summe der Quadrate gibt 250. x = = 200 Stunden 1000 5 Varianz = = 63 250 4 Drei von den fünf Werten liegen innen. Diese 250 dividiert durch 4 (=Anzahl der Werte minus 1) ergibt 63 (gerundet). ü s = 63 = 7,9 ~ 8 Man gibt den Mittelwert an (mit Einheit), und dazu ± Standardabweichung. Nun die Standardabweichung: Die Quadratwurzel von 63 ist 7,9, also gerundet 8. Das wäre also hier: 200 Stunden ± 8.

Man muss unterscheiden zwischen: der Stichprobe mit x und s und der Gesamtpopulation mit m und s _ Die griechischen Buchstaben gelten für die Gesamtpopulation Sie bestimmen natürlich immer nur die Werte der Stichprobe. aber Es sind die Werte der Grundgesamtheit, die uns eigentlich interessieren. Wie kommt man zu denen ?

Die Standardabweichung s der Stichprobe wird etwa der Standardabweichung s der Grundgesamtheit entsprechen. Ist ja logisch: Die Standardabweichung gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein einzelner Wert um einen bestimmten Betrag vom Mittelwert abweicht. Da jeder Wert der Stichprobe ja auch gleichzeitig ein Wert der Grundgesamtheit ist, wäre nicht einzusehen, warum sich die Stich-probenwerte anders verhalten sollten.

Die Standardabweichung s der Stichprobe wird etwa der Standardabweichung s der Grundgesamtheit entsprechen. Nur wie verhalten sich die Mittelwerte zueinander ??????????????????? Stellen Sie sich vor, wir hätten nicht nur eine Stichprobe genommen, sondern viele.

Dann streuen die Einzelwerte immer noch etwa gleich. Doch wir haben jetzt auch eine Anzahl von Mittelwerten der Stichproben. Die streuen auch, aber sehr viel weniger als die Einzelwerte. Wir haben also eine neue Streu-ung, nämlich die der Mittelwerte xi um den gesuchten Gesamt-Mittelwert m, diese Streuung wird als sMW oder als sx oder als SEM (standard error of mean) oder als Standardfehler bezeichnet. Und wie berechnet man das ?

Ende der Präsentation √ s n sMW = Das ist einfach: die Streuung der Mittelwerte erhält man, indem man die Standardabweichung der Einzelwerte durch die Wurzel der Anzahl der Werte dividiert. In Ihrem Glühbirnenbeispiel wäre das, bei nur 5 Werten SMW = = = 3,6 8 8 √5 2,2 s n sMW = √ Ende der Präsentation Daraus folgt natürlich zwingend, dass der gesuchte Mittelwert umso genauer bestimmt ist (= dass SMW umso kleiner ist), je mehr Beobachtungen ich mache (= je größer n ist). Wir sollten aber alle 30 Werte verwenden, dann wäre (vorausgesetzt, Mittelwert und Standardabweichung hätten dasselbe ergeben) SMW = = = 1,5 8 8 √30 5,5 Der Mittelwert für Ihre Glühbirnen liegt also mit 68% Wahrscheinlichkeit zwischen 198,5 und 201,5 Stunden (= 200 ± 1,5). Sinnvollerweise sollte eine Stichprobe mindestens 30 Einzelwerte enthalten.