Schrecken der Unendlichkeit, der zweite Teil Analysis

Übersicht Das erste Auftauchen: Zenon Grenzwerte von Zahlenfolgen Die Eulersche Zahl e Kann man unendlich viele Zahlen addieren? Unendliche Reihen Die geometrische Reihe Die alten Regeln gelten nicht mehr

Heraclit (etwa 535 – 475 v.Chr.) Lebte in Ephesos Der Philosoph der Bewegung Das einzig Stete ist der Wandel Alles fließt Enormer Einfluss in der Moderne

Die Geographie der Mathematik

Zenon (490 – 430 v.Chr.) Vorsokratiker Schüler des Parmenides Lebte in Elea (Italien) Berühmt durch Paradoxa

Die Geographie der Mathematik

Zenon: Achill und die Schildkröte Ein Paradoxon, das die Alten nicht lösen konnten Problem: Ein Wettlauf zwischen Achill, schnellster Läufer der Antike, und einer Schildkröte

Zenon: Achill und die Schildkröte

Der mathematische Kern: Die Gesamtzeit Vachill = 10m/s Vschildkröte = 1m/s Gesamtzeit =

Zenons Paradoxon Zenon: Achill kann die Schildkröte nicht einholen Begründung: Man muss unendlich viele Zeiten addieren und dabei kann nach Zenon nur unendlich herauskommen

Eine moderne Lösung

Eine andere Argumentation: Gesamtzeit =

Der Kern des Problems Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? (mit einem plausiblen Ergebnis) Die antiken Mathematiker fanden keine allgemeine Lösung

Die moderne Lösung Grenzwerte (von Zahlenfolgen, Funktionen,…..) Der Begriff der reellen Zahl Viele Überraschungen, auch manche Holzwege! Einige Protagonisten:

Newton (1643 – 1727) Begründer der modernen Physik Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

Leibniz (1646 – 1716) Letzter Universalgelehrter Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

Euler (1707 – 1783) Wichtigster Mathematiker seiner Zeit Erforschte unter anderem die Zahl e

Cauchy (1789 – 1857) Schuf die Grundlagen der modernen Grenz-werttheorie, mit vielen Irrungen und Wirrungen

Dedekind (1831 – 1916) Brachte den Begriff „reelle Zahl“ zu einem vorläufigen Abschluss

Eine einfache Zahlenfolge:

Eine weitere einfache Zahlenfolge:

Der Limesbegriff

Der Knackpunkt: Es gibt keine unendlich kleinen Zahlen auf der Zahlengeraden (in R). Andere Zahlmodelle sind möglich 0-Punkt

Historisches Die Entwicklung einer allgemeinen Definition benötigte weit mehr als 100 Jahre. Die allgemeine Definition wirkt sehr abstrakt, auf den ersten Blick schwer verständlich.

Die genial einfache Idee: Einsperren der Zahlenfolge beim Grenzwert ε a

Die exakte Definition des Grenzwerts einer Folge an

Ein berühmter Grenzwert: Die Zahl e History Fiction: Wie e hätte entdeckt werden können, aus niederen Motiven, aus Geldgier. So ist es nicht geschehen.

Die Geburt der Zahl e aus dem Geist des Kapitalismus Zinsen, immer mehr Zinsen Die Ausgangssituation: 1 € wird ein Jahr lang zu 100% angelegt. Nach einem Jahr hat man K1 = (1 + 1) € Wie kann man mehr erlangen?

Unterjährliche Verzinsung Halbjährlich: K2 = (1 + ½) (1 + ½) = (1 + ½)2 = 2,25 Dritteljährlich: K3 = (1 + 1/3) (1 + 1/3) (1 + 1/3) = (1 + 1/3)3 = 2,37037037….

Die Entwicklung der Zinsen

Die allgemeine Situation Bei n Verzinsungsperioden pro Jahr: Kn = (1+1/n)n.

Einige Werte, mit EXCEL berechnet k n = 10k Kn 1 10 2,59374246 2 100 2,704813829 3 1000 2,716923932 4 10000 2,718145927 5 100000 2,718268237 6 1000000 2,718280469 7 10000000 2,718281694 8 100000000 2,718281786 9 1000000000 2,718282031 10000000000 2,718282053 11 1E+11 12 1E+12 2,718523496 13 1E+13 2,716110034 14 1E+14 15 1E+15 3,035035207 16 1E+16

Analyse: EXCEL rechnet falsch: K3 = (1+1/3)3 = (1+1/3)(1+1/3) (1+1/3) > 2 Kn = (1+1/n)n = (1+1/n)(1+1/n)…(1+1/n) > 2 Was kommt wirklich heraus?

Eulers Ergebnis

Einige Eigenschaften von e e ist kein Bruch, e ist transzendent

Berechnung von e

Beispiel: n = 5

Die Bedeutung der Zahl e: f(x) = ex Anwendungen: Wachstumsprozesse Zerfallsprozesse Hintergrund: (ex)´ = ex

Eine Bemerkung zu den Zinsen So wachsen die Bäume nicht in den Himmel Aber: Geldgier macht erfinderisch. Man kann mit Zinsen mehr rausholen. „Vorschüssige Zinsen“

Unendliche Summationen Beispiele 1 + 1 + 1 + 1 +…… 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 ….. 1 + ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + …. 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ….. 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..

Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? Eigentlich gar nicht. Vorschlag: Addiere bis zur 1. 2. 3. n-ten Zahl: S1, S2, S3, ´… Sn, … („Partialsummen“) S = lim Sn

Entwicklung von S = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..

S = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + ….. S1 = 2 – 1 < 2 S2 = 2 – ½ < 2 Sn = 2 – (½)n-1 < 2 Der Unterschied zu 2 geht gegen 0! lim Sn = 2

Das 0,9999..-Problem 0,99999…. = 9(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….) 0,99999…. = 9(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….) S1 = 9/10 S1 = 1 – 1/10 S2 = 99/100 S2 = 1 – 1/100 Sn = …. Sn = 1 – 1/10n 0,999… = lim Sn = 1

Die berühmte Leibnizreihe Die Reihe: S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + … Die Reihe hat einen Wert („konvergiert“):

Die Entwicklung der Summe

Welchen Wert hat die Reihe? Eulers Ergebnis: S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + … = ln 2 = 0,6931……..

Schrecken der Unendlichkeit

Ein unmögliches Ergebnis

Wo liegt der Trugschluss? Die Reihenfolge der Summanden ist relevant! Es gilt nicht die Verallgemeinerung von a +b + c = b + c + a = b + a + c = …..

Es kommt noch schlimmer: Der Satz von Riemann Man kann durch geschicktes Umsortieren jedes Ergebnis erzeugen. Dies geht allerdings nicht bei allen unendlichen Summen.

Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie

Die Idee von Riemann

Die Idee von Riemann

Die Idee von Riemann

Die Entwicklung der Summe

Die Entwicklung der Summe

Warum nicht 42 als Beispiel? Man muss im ersten Schritt zwischen 1035 und 1036 Summanden addieren!

Entschlüsselte Geheimnisse Mehr Mathe in Tholey: Es geht weiter im März 2004. Entschlüsselte Geheimnisse