Wahrscheinlichkeitstheorie Seminar Evaluation- und Forschungsstrategien 02. Juli 2019 Vortrag von Dennis Schäfer, Mona Clauter, Zeynep Fürstenfeld Johannes Gutenberg Universität Mainz

Agenda Wofür brauchen wir das eigentlich? Grundbegriffe Definition der Wahrscheinlichkeit LaPlace Mises Kolmogoroff (Axiomatik) Additionstheorem Bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationstheorem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wofür brauchen wir das eigentlich? Wann wird ein Deich brechen, wenn er einem konstanten hohen Druck von x- Bar ausgesetzt ist? Wie viele von denen, die einen Eignungstest bestehen, sind auch wirklich fur den Beruf geeignet? Um etwas ¨ uber ¨ zufallige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit lernen zu k ¨ onnen, m ¨ ussen die betrachteten ¨ Ereignisse zwei Bedingungen erfullen:

Zufallsexperiment Beispiel Zufallsexperiment (Ξ): Ein 6-seitiger fairer Würfel ist 1x zu werfen. Trial: Der einmalige Wurf des Würfels Ergebnisse: Die möglichen Augenzahlen (1, 2, 3, 4, 5, 6) – Was kann gewürfelt werden Ereignisse: „1 oder 6“, „Augenzahl ≤ 3“, „ungerade Zahl“, „irgendeine Zahl“ – Kombination von Ergebnissen Spielregeln sehen in dem Zufallsexperiment wie folgt aus: Ein 6-seitiger fairer Würfel ist 1x zu werfen Ergebnis ist das was alles gewürfelt werden kann – und eine konkrete Beobachtung Ereignis ist eine beliebige Zusammenfassung von Ergebnissen, 1 oder 6, 6 oder 1, die Reihenfolge Spielt keine Rolle

Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace: Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse sind gleich Mises: statistischer Grenzwertsatz (keine a priori Annahmen) Nach von Mieses definiert P(A) := lim n!1 nA n dieWahrscheinlichkeit eines Ereignisses A. Hierbei ist n die Gesamtzahl der Versuche und nA ist die Gesamtzahl der Versuche, bei denen A beobachtet wurde.Wird n gr¨oßer, so w¨achst auch nA entsprechend an, der Quotient nA/n strebt dabei gegen einen Grenzwert P(A). Man nennt diese Definition auch die statistische Wahrscheinlichkeitsdefinition (oder a-posteriori Definition), da keine a-priori Annahmen ¨uber die Ereignisse gemacht werden,

Bedingungskomplex Ereignisse A, B und Verknüpfungen von A und B 𝐴⊂𝐵 aus A folgt immer B 𝐵⊂𝐴 aus B folgt immer A 𝐴∩𝐵 A und B treten gleichzeitig auf 𝐴∪𝐵 A oder B treten auf, oder beide 𝐴= 𝐵 A tritt dann ein, wenn B nicht eintritt

Axiomatik Kolmogoroff (1933) mengentheoretisch begründeter Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeit P(A) ist eine Funktion des Ereignisses A Eigenschaften: Fundamentale Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten formal und frei von a-priori Eigenschaften der Elementarereignisse A1 P(A) ≥ 0 A2 P(Ω) = 1 A3 P (A ∪𝑩)=𝑷(𝑨)+𝑷(𝑩) Mathematischer Umgang mit Wahrscheinlichkeiten jedem Ereignis A, das einer Ereignisalgebra angeh¨ort, eine wohlbestimmte Wahrscheinlichkeit P (A) zugewiesen werden kann. Die Wahrscheinlichkeit P (A) ist eine auf der Ereignisalgebra A definierte Funktion des Ereignisses A. Diese Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Schlussfolgerungen 0≤𝑃(𝐴)≤1 𝑃 𝐴 +𝑃( 𝐴 )= 1  Wahrscheinlichkeit des Komplements 𝑃( 𝐴 ) = 1- P(A) weitere im Skript..

Aufgabe 1

Additionstheorem Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, dass sich aus der Vereinigung zweier anderer Ereignisse ergibt 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) nicht disjunkt 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 disjunkt P von A oder B 𝑃 𝐴∩𝐵 =0 P 𝐴 1 ∪𝐴 2 ∪…∪𝐴 𝑘 =𝑃( 𝐴 1 )+…+𝑃(𝐴 𝑘 )

Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B, unter der Bedingung, dass schon ein anderes Ereignis A eingetreten ist 𝑃 𝐵 𝐴 = P A∩B P A 𝑃 𝐴 >0 Erklärung Wahrscheinlichkeit ändert sich für B, durch das Eintreten von A z.B. ziehen ohne zurücklegen  Omega wird kleiner 𝐴∩𝐵 𝐴∪𝐵

Multiplikationstheorem Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von A und B 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵|𝐴) Unabhängigkeit der Ereignisse 𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵) Die Kenntnis dass A eingetreten ist, ist ohne Konsequenz für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Unbedingte Wahrscheinlichkeit von B wird mit seinen bedingten Wahrscheinlichkeiten in Bezug gesetzt 𝑃 𝐵 =𝑃 𝐵 𝐴 ⋅𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵| 𝐴 )⋅𝑃( 𝐴 ) ! Partitionierung: Zerlegung der Menge der Elementarereignisse Ω in A und 𝐴 A Ereignis B 𝐴

B 𝐵 A 𝐴 B 𝐵 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵|𝐴) 𝑃 𝐴∩ 𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃( 𝐵 |𝐴) 𝑃 𝐴∩ 𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃( 𝐵 |𝐴) 𝑃 𝐴 ∩𝐵 =𝑃( 𝐴 )∙𝑃(𝐵| 𝐴 ) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =𝑃( 𝐴 )∙𝑃( 𝐵 | 𝐴 ) B 𝐵 A 𝐴 B 𝐵

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

B 𝐵 A1 B A2 Aj B 𝐵 . 𝑃 𝐴1∩𝐵 =𝑃(𝐴1)∙𝑃(𝐵|𝐴1) 𝑃 𝐴1∩ 𝐵 =𝑃(𝐴1)∙𝑃( 𝐵 |𝐴1) 𝑃 𝐴1∩ 𝐵 =𝑃(𝐴1)∙𝑃( 𝐵 |𝐴1) 𝑃 𝐴2∩𝐵 =𝑃(𝐴2)∙𝑃(𝐵|𝐴2) 𝑃 𝐴2∩ 𝐵 =𝑃 𝐴2 ∙𝑃 𝐵 𝐴2 . 𝑃 𝐴𝑗∩𝐵 =𝑃(𝐴𝑗)∙𝑃(𝐵|𝐴𝑗) 𝑃 𝐴𝑗∩ 𝐵 =𝑃(𝐴𝑗)∙𝑃( 𝐵 |𝐴𝑗) A1 A2 . Aj B B 𝐵

Theorem von Bayes 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) =𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵)

Theorem von Bayes 𝑃 𝐵 =𝑃 𝐵 𝐴 ⋅𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵| 𝐴 )⋅𝑃( 𝐴 ) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) 𝑃 𝐵 𝐴 ⋅𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵| 𝐴 )⋅𝑃( 𝐴 )

Aufgabe 2

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!