? Stichwortverzeichnis … zum Suchen

Präsentation zum Thema: "? Stichwortverzeichnis … zum Suchen"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
y x Gerade y = 0 Gernot Mühlbacher * Einführung: Funktion ... mit uns können Sie rechnen! Funktionsgleichungen * Lineare Funktion Graph der linearen Funktion Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 34 Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe © Gernot Mühlbacher

1 ? Stichwortverzeichnis … zum Suchen 1 34 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Folie führt immer zum 1 34 Lernen ist mehr als Verstehen … zum Suchen Folie Nr.: Achsenabschnitt 16 Nullstelle 25 Allg. Form der Geradengleichung 6-8 Problemlösen Bestimmungsgleichung 5, 6, 28 Proportionalität 4, 19 Definitionsbereich Definitionsmenge 3, 4, 8 Quadrant 10 Variable (abh. und unabh.) 2, 4, 8 Funktion 2,3,15,32 Schnittpunkt S 24,27,29 Vier-Stufen-Prinzip 4, 5, 19, 23, 32 Funktionsgleichung 5-7 Sonderfälle 14, 15 Wertebereich Wertemenge 3, 8, 19 Geradengleichung 7, 14, 27 Steigung 9, 13, 16 Wertetabelle 3 Graph 8, 16 Steigungsdreieck 9,16,17, 23,27,29 Wertepaare 6-8, 10 graphische Lösung 7, 8, 23-25, 27, 29 Steigungsfaktor m 10-13 Winkelhalbierende 11, 12 Grundbereich Steigungswinkel Zahlenarten 33 lineare Funktion 7, 16, 20 23-29, 32 Tangens als Winkelfunktion 13 Zuordnung 3, 15 Normalform 6, 7 Ursprungsgerade 20, 22, 23,27 Zuordnungspfeil ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Folien-Nr. anklicken! 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

2 DER BEGRIFF ‚FUNKTION‘:
2. in der Mathematik Es ist nun an der Zeit, im Zusammenhang mit dem Auftreten von ‚Gleichungen mit zwei Unbekannten‘ einen neuen Begriff einzuführen: Vereinfachtes Modell: Du kannst dir die Funktion als Apparat vorstellen. unabhängig abhängig DER BEGRIFF ‚FUNKTION‘: Funktion Definitionsbereich („Alles, was eingesetzt werden muss.“) Input Output Wertebereich („Alles, was rauskommen darf.“) 1. im Alltag Nicht nur in der Mathematik verwenden wir diesen Begriff. Konkretes Beispiel: Verdreifacher 3x 5 15 = Im weiteren Sinne: Eine Funktion beschreibt die Zusammenhänge und Abhängigkeiten zwischen zwei (oder mehreren) Größen. x f(x) = y Schreibweisen: Aus dem obigen Bild ersiehst du die gängigen Schreibweisen am Beispiel unserer Funktion. Beispiele aus dem Alltag: Sprache: „Die Funktion f(x) [der Apparat] bewirkt bei Eingabe der Zahl 5 das Dreifache“. unabhängige Größe: abhängig davon: Fachsprache: „x wird abgebildet auf f(x)“. Biologie Alter Körpergröße f: x → 3x Biologie Helligkeit Sehvermögen Verkehr Weg Zeit Oder man gibt die Zuordnungsvorschrift (Rechenvorschrift) zur Kenntnis: f(x) = 3x Umwelt Treibhausgase Erderwärmung Handel Menge Kosten Aufs Ergebnis bezogen ist die tradi-tionelle Schreibweise: f(x) = y = 3x y = 3x y = f(x) 1

3 FACHSPRACHE VERSTEHEN UND RICHTIG SPRECHEN
Zum Nachdenken: Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich 𝔻 genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zu. Kannst du erkennen, welche Zahlen des Wertebereichs dem Definitionsbereich zugeordnet werden? Fertig? ...KLICK! Die Mengendarstellung eignet sich gut, um die Zuordnungen sichtbar zu machen. 𝔾 = ℝ Den Pfeil solltest du im Sinne von „bewirkt“ oder „wird zu ...“ verstehen. Zugeordnet werden die Zahlen 1, 4, 9, 16 und 25. 1 25 81 16 121 9 4 169 36 ... 4 -5 1 3 -2 Gib die zu Grunde liegende Funktion in den drei vorigen Schreibweisen an Fertig? ...KLICK! Sonst besteht die Gefahr, dass du die Pfeilrichtung falsch denkst. f: x → x2 f(x) = x2 Zeichne die Zuordnungspfeile ein! Fertig? ...KLICK! 𝔻 = {1;-2;3;4;-5} Das ‚Bewirken‘ oder ‚Werden‘ wird durch eine Rechenvorschrift beschrieben. y = x2 Stelle eine Wertetabelle her, die den gesamten Definitionsbereich umfasst! Fertig? ...KLICK! 𝕎 = ℕ x -5 -2 1 3 4 y 25 9 16 Definitionsbereich: Der Definitionsbereich 𝔻 enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich 𝔾. Du kannst eine Funktion auch mit anderen Buchstaben kennzeichnen. Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich 𝕎. Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der reellen Zahlen den Grundbereich 𝔾. So kannst du zwei verschiedene Funktionen (Funktion f und Funktion g) auseinander halten. Beispiel: Wir betrachten nur Funktionen, die sich durch eine Rechenvorschrift beschreiben lassen. 1 f: x → x2 und g: x → 2x + 1 Bei den ‚Alltagsbeispielen (vorige Folie) gibt es nur zwei, die einer eindeutigen Rechenvorschrift unterliegen.

4 |• t WEG-ZEIT-GESETZ (als Beispiel) 1 75 2 150 3 225 4 300 5 375 1 2 3
Dies ist ein ‚Impuls‘, eine Denkanregung. Wir gehen nach dem ‚4-Stufen-Prinzip‘ vor. Für gleichförmige Bewegungsarten gilt das Weg-Zeit-Gesetz. Beispiel: 1. Stufe: Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Mein bisheriges Wissen zu dieser Aussage? Ist die Geschwindigkeitsangabe sinnvoll und in korrekter Schreibweise? Ein Auto bewegt sich gleichmäßig mit 75 ‚Sachen‘. ( v von ‚velocity‘) v = 75 km/h 2. Stufe: Welche mathematischen Fragen, welche mathematischen Bezüge stehen dahinter? ( s von ‚Strecke‘) s = ? km Was versteckt sich alles hinter dieser Aussage? Welche Vorstellungen werden geweckt? Lies zuerst Folie 32 nach! Fertig? ...KLICK! ( t von ‚times‘) t = ? h Benennungen für die Strecke und für die Zeit in der Physik? t = [h] Zusammenhang zwischen zurückgelegtem Weg s und der benötigten Zeit t? unabhängig abhängig s [km] Kannst du den Zusammenhang zwischen Zeit und Weg aufzeigen? Tabelle? Skizze? evtl. Formel? Fertig? ...KLICK! Bei einer solch gleich-mäßigen Entwicklung spricht man von Proportionalität. Zeit Strecke einfache doppelte dreifache ... t (h) s (km) 1 75 2 150 3 225 4 300 5 375 ... t (h) s (km) 1 2 3 4 5 ... 3. Stufe: Übergang zur rechnerischen Lösung. Berechne die konkreten Zahlenwerte (Tabelle), die zur Denkaufgabe gehören! Fertig? ...KLICK! Sprache: In jeder Stunde legt das Auto 75 km zurück. Wegstrecke = Fahrzeit t (h) mal Geschwindigkeit 75 km/h. Der zurückgelegte Weg s verhält sich proportional zur eingesetzten Zeit t. Du bekommst so auch die richtige Maßeinheit für den Weg: Maßeinheiten kann man kürzen  4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Einordnen in das bisher Bekannte. Der zurückgelegte Weg s ist eine Funktion der eingesetzten Zeit t. Prüfe die Werte in der Tabelle mit der Formel nach! Passen die ermittelten Werte zu deinen Erfahrungen? Fertig? ...KLICK! Können die Ergebnisse überhaupt stimmen? Wie viele Stellen nach dem Komma machen Sinn? 61/10 457,500 Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich sinnvoll! Fertig? ...KLICK! 𝔻 = ℚ Bruchteile von Stunden sind sinnvoll. Jedem Element der unab-hängigen Größe t ist genau ein Element der abhän-gigen Größe s zugeordnet. Die zurück gelegte Wegstrecke s kann man auch korrekt aus dem Weg-Zeit-Gesetz (Physik) herleiten. v = s t Formel: 𝕎 = ℚ |• t Bruchteile von km können sich ergeben. Jetzt hast du einmal bewusst erfahren, wieviel Mathe-matik in einer alltäglichen Redewendung stecken kann. 1 s = v • t

5 Bestimmungsgleichung  Funktionsgleichung (1)
Wir sprechen weiterhin nur über lineare Gleichungen (1. Grades). Bestimmungsgleichung  Funktionsgleichung (1) Eine einzelne Bestimmungsgleichung kann auch zwei Unbekannte haben. Ein Beispiel aus dem Alltag: Feines Obst wird zum Stückpreis verkauft. Eine Feige kostet: 90 ct Eine Orange kostet: 60 ct 1. Stufe: Hast du gelesen und verstanden, worum es geht? Paula zahlt insgesamt 5,10 €. Wieviel Stück bekommt sie von jeder Sorte? 2. Stufe : Welche sinnvolle Frage stellt sich? Du musst die Informationen, die im Text stecken, in eine übersichtliche Kurzform bringen. Dabei denkst du schon darüber nach, wie du die unbekannten (gefragten) Größen benennst. (... oft x und y ) Erkennst du den rechnerischen Zusammenhang zwischen den Angaben im Text? Gesamtkosten: Stückpreise: geg.: Orangen 60 ct Feigen 90 ct 510 ct Überlegung: Der Gesamtpreis errechnet sich aus zwei Summanden. Ergibt sich eine sinnvolle Fragestellung? Fertig? ... dann KLICK! Dies ist unser Grundgerüst! + = 60∙x 90∙y 510 𝔻 = ℕ Anzahl Orangen: Anzahl Feigen: ges.: Der erste Summand ist ein Vielfaches von 60 ct.. x y Der zweite Summand ist ein Vielfaches von 90 ct.. Wir erhalten eine Bestimmungsgleichung. 3. Stufe: Deine Mathematik-Kenntnisse sind (jetzt erst?) gefragt: Analysiere den Text! Notiere die gegebenen und gefragten Größen! Fertig? ... dann KLICK! Auch das Probieren ist eine anerkannte und erlaubte Methode in der Mathematik. 60x 90y + = 510 Als Lösung kommen nur ganze positive Zahlen in Frage. 𝔻 = ℕ Versuche durch Probieren die richtige Lösung zu ermitteln! Fertig? ... dann KLICK! Formuliere die rechnerischen Zusammenhänge zuerst in Worten! Fertig? ... dann KLICK! x = 4 und y = 3 𝕃 = {(4/3)} Gibt es vielleicht noch andere Lösungen? ... denn kein Kaufmann verkauft Halbe oder Viertel von Orangen oder Feigen, ... oder gar eine negative Anzahl! 4. Stufe 4 ∙ ∙ 90 = 510 Probe: Schau mal ins Lehrwerk „Gleichungssysteme“! Paula kauft 4 Orangen und 3 Feigen. 1

6 und ist deshalb die allgemeine Form.
Bestimmungsgleichung  Funktionsgleichung (2) In der allgemeinen Form der Bestimmungs-gleichung treten die beiden Variablen gleichwertig auf. Wenn du die vorher gewonnene Bestimmungs-gleichung rein algebraisch -ohne den sachlichen Hintergrund der Textaufgabe- siehst, Die Lösungen sind immer Wertepaare (x/y). Sie müssen beim Einsetzen in Gleichungen mit zwei Unbekannten eine wahre Aussage ergeben. ... dann müssen wir den Grundbereich 𝔾 nicht einschränken. 𝔻 = ℝ gilt stillschweigend. ( negative und gebrochene Zahlen sind erlaubt) Die Lösungsmenge 𝕃 bei Gleichungen mit zwei Unbekannten kann also aus unendlich vielen Wertepaaren bestehen. Allgemeine Form: 60x y = :10 Wir können an der Gleichung ohne Folgen Äquivalenzumformungen vornehmen. ... wenn der Definitionsbereich 𝔻 nicht eingeschränkt ist (wie vorher beim Obst-Einkauf). 6x y = 51 -6x 𝕃 = {(4/3); ... ; ...} Die Normalform kannst du als Funktionsgleichung auffassen, in der x die unabhängige Variable ist. Welche Folgen hat die Erweiterung des Definitionsbereiches? Du kannst jetzt aber feststellen, dass viele weitere Lösungspaare möglich geworden sind. y ist die davon abhängige Variable. Zur Berechnung formen wir die Gleichung so um, dass wir y dabei auf der linken Seite isolieren. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen kann man grundsätzlich in folgender Form schreiben: 9y = x :9 Allgemeine Form: ax + by = c Normalform: (wenn nach y aufgelöst) y = x 2 3  Funktionsgleichung Durch Auflösen nach y erhält man die Normalform: y = mx + b x y 2 1 -3 -2 -1 6 3 4 7 5 Berechne die fehlenden y- bzw. x-Werte in der neben stehenden Tabelle! Fertig? ... dann KLICK!  Funktionsgleichung 7 5 3 Erkennst du jetzt das zweite Wertepaar, das für Paulas Einkauf scheinbar als Lösung in Frage käme? Die lineare Gleichung ax + by + c=0 beschreibt alle Geraden in der Ebene und ist deshalb die allgemeine Form. Die Sachaufgabe hatte dennoch nur eine Lösung! Weshalb? 1

7 Zeichne die Punkte ins Koordinaten-system!
Fertig? ...KLICK! Die Geradengleichung Diese Gerade ist die zeichnerische Darstellung der Geradengleichung -2x + 3y = 4,5. Bestimmungsgleichungen in 1. Potenz mit 2 Variablen sind Geradengleichungen . Was heißt das? Oder: Diese Gerade ist der Graph der linearen Funktion (‚linea‘ = Linie, Faden) y = x ,5 2 3 Beispiel: Geradengleichung in der allgemeinen Form: -2x + 3y = 4,5 |+2x (5/4,83) Verfahre wie auf der vorigen Folie, indem du zuerst die nach y aufgelöste Normalform herstellst! Fertig? ...KLICK! 3y = 4,5 +2x |:3 y = x ,5 2 3 Funktionsgleichung: Normalform: (3/3,5) Ermittle mindestens 4 Lösungspaare der Gleichung! Trage die Wertepaare in die Wertetabelle ein! Fertig? ...KLICK! Man kann dann die x- und y-Werte der Lösungspaare als die Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem verstehen. (1,5/2,5) (0/1,5) (-1,5/0,5) z.B.: y x -1,5 1,5 3 5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,83 (-1,5/0,5) (0/1,5) (1,5/2,5) (3/3,5) (5/4,83) Diese vier (fünf) Punkte stehen stellvertretend für unendlich viele weitere Punkte, die sich dazwischen oder nach links und rechts neben einander reihen. Wie viele Wertepaare kannst du dir zwischen den Punkten oder an den Rändern vorstellen? Wie viele Punkte hättest du benötigt, um diese Gerade verlässlich einzuzeichnen? Fertig? ...KLICK! Sie liegen alle auf einer Geraden. Zwei Punkte würden reichen, um eine Gerade korrekt zu zeichnen. 1

8 GRAPH DER LINEAREN FUNKTION mit (mindestens) zwei Punkten zeichnen
Bei einer Funktionsgleichung (zwei Variablen), unterscheidet man die unabhängige (meist x), die man als erste in die Gleichung einsetzt, von der davon abhängigen Variablen (y) , die dann berechnet wird. x  unabhängige Variable y  abhängige Variable ax + by = c Allgemeine Form: Beispiel: y = 2x 𝔻 = {1, 2, 3, 4, 5} Normalform: y = mx + b Alle unabhängigen Variablen stammen aus einem Definitionsbereich (Definitionsmenge) 𝔻. Die abhängigen Variablen gehören zu dem Wertebereich (Wertemenge) 𝕎. Die Lösungen, die eine Gleichung mit zwei Variablen zu einer wahren Aussage führen, sind immer Wertepaare (x/y). Die Wertepaare werden also berechnet und in einer Wertetabelle zusammengefasst: Übertrage die Wertepaare als Punkte ins Koordinatensystem! Fertig? ... dann KLICK! Erstelle für den Definitions-bereich eine Wertetabelle! Fertig? ... dann KLICK! unabh. Variable: abh. Variable: x y y Wähle möglichst weit auseinander liegende Punkte! Für jede Gleichung mit zwei Unbekannten gibt es nur dann endlich viele Wertepaare (x/y), wenn man vorher die Definitionsmenge beschränkt hat (wie oben). Wenn die Definitionsmenge nicht beschränkt ist (𝔻 = ℝ ), dann ergeben sich unendlich viele Wertepaare. Dies dient der Zeichengenauigkeit. Zwei Wertepaare würden genügen, eine zugehörige Gerade zu zeichnen. 1

9 Geraden können im Koordinatensystem typische Verläufe (Lagen) aufweisen:
Die STEIGUNG 10 m = 0,1 = 10 % 100 m g1 Sie können steigen. ↗ yH +10 m (Höhengewinn) +100 m (waagrechte Entfernung) xB Die Steigung berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn [y-Achse ↑(+)bzw.↓(-)] durch die waagrechte Entfernung [x-Achse →(+)bzw.←(-)] dividierst. Die Begründung für diese Aussage: Sie können fallen. (negative Steigung) ↘ yH g2 DAS STEIGUNGSDREIECK Folie 14 Die Gerade steigt echt an (immer in Leserichtung von links nach rechts). Positive Steigung: xB Im nebenstehenden Koordinatensystem (g1) wären dies: Die x-Breite 2 Einheiten: xB = +2 Sonderfälle  Die y-Höhe 4 Einheiten : yH = +4 Sie können parallel zur x-Achse verlaufen.. Bei Geraden bezeichnet man die Steigung mit der Variablen m. g3 In unserem Beispiel: m1 = = = 2 yH xB 4 2 Die Gerade fällt ab (immer in Leserichtung von links nach rechts). Negative Steigung: Im nebenstehenden Koordinatensystem (g2) wären dies: Die y-Höhe -3 Einheiten : yH = -3 Sie können parallel zur y-Achse verlaufen. g4 Die x-Breite 2 Einheiten: xB = +4 In unserem Beispiel: m2 = = = -0,75 yH xB -3 +4 1

10 Folie 14 DER STEIGUNGSFAKTOR (1): ... ein Verräter
Der y-Achsen-Abschnitt b in der Normalform einer Geradengleichung verrät uns sehr schnell den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Etwas weniger direkt zeigt uns der Steigungsfaktor m, wie steil die Gerade steigt bzw. fällt. Damit wollen wir uns in der Folge beschäftigen. Zuerst eine (Er)Klärung für die folgenden Folien: Das Achsenkreuz aus x-Achse und y-Achse unterteilt die Fläche in vier Quadranten (Viertel). Sie werden mit römischen Zahlen benannt. An den Vorzeichen kann man erkennen, in welchem Quadranten ein Punkt liegt. Beispiel: Ein Punkt im Quadranten I hat jeweils positive Koordinaten usw.. P(+/+) P(-/+) P(-/-) P(+/-) I II III IV P(x/y) Wie messen wir den Steigungswinkel? Eine Ursprungsgerade, die auf der x-Achse verläuft (y = 0) hat einen Steigungswinkel von 0°. Wenn die steigende Gerade im ersten und dritten Quadranten verläuft, dann misst der Steigungswinkel zwischen 0° und 90° 𝛂 ist positiv. 0° < 𝛂 < 90° Achtung bei 𝛂 = 90°!! +150 ° +60° Folie 14 -30° Wenn die fallende Gerade im zweiten und vierten Quadranten verläuft, dann misst der Steigungswinkel zwischen 90° und 180° 𝛂 ist positiv ° < 𝛂 < 180° Du kannst den gleichen Drehwinkel dieser fallenden Geraden aber auch mit negativem Drehsinn (mit dem Uhrzeigersinn) angeben. 𝛂 ist dann negativ ° < 𝛂 < 0° In diesem Lehrwerk wollen wir fallende Geraden immer mit negativem Drehsinn (mit dem Uhrzeigersinn) und negativer Gradzahl bezeichnen. 1 +150° ≙ -30° ⇒ fallende Gerade

11 Gerade steigt Gerade fällt
DER STEIGUNGSFAKTOR (2): 90 Error (∞) 89 ° ∼ 57,290 88 28,636 87 19,081 86 14,301 85 11,430 80 5,671 75 3,732 70 2,747 65 2,145 60 1,732 55 1,428 50 1,192 45 ° ∼ 1,000 40 0,839 35 0,700 30 0,577 25 0,466 20 0,364 15 0,268 10 0,176 5 0,087 Übung: Winkel zur x-Achse Steigungs-faktor m ... ein Verräter Gegeben ist eine Geradengleichung als Ursprungsgerade. 1< m < ∞ Beschreibe den Verlauf der Geraden möglichst genau, indem du den Steigungsfaktor beurteilst! Begründe! Kontrolle? ... dann KLICK! Gerade x = 0 Winkelhalbierende im 1. Quadranten m = 1 y = -1,75x Gerade steigt flacher als die Winkelhalbierende im 1. Quadranten, denn m ist positiv und kleiner als 1. y = x 2 3 y = x 1 4 0 < m < 1 m = 2 3 ⬄ 33,7° genau: Gerade steigt x Gerade y = 0 m = 0 0,000 Gerade steigt steiler als die Winkelhalbierende im 1. Quadranten. denn m ist positiv und größer als 1. -5 ° ∼ -0,087 -10 -0,176 -15 -0,268 -20 -0,364 -25 -0,466 -30 -0,577 -35 -0,700 -40 -0,839 -45 ° ∼ -1,000 -50 -1,192 -55 -1,428 -60 -1,732 -65 -2,145 -70 -2,747 -75 -3,732 -80 -5,671 -85 -11,430 -86 -14,301 -87 -19,081 -88 -28,636 -89 -57,290 -90 Error (-∞) Gerade fällt y = 3x y = x 2 3 0 > m > -1 m = 3 ⬄ 71,6° genau: Gerade fällt steiler als die Winkelhalbierende im 2. Quadranten. denn m ist negativ und kleiner als -1 Winkelhalbierende im 2. Quadranten y = 3x y = -1,75x m = -1 m = 1,75 ⬄ -60,3° genau: y In gleicher Weise wirkt sich der Steigungsfaktor m aus, wenn die Geraden nach oben oder unten parallel verschoben sind. Gerade fällt flacher als die Winkelhalbierende im 2. Quadranten, denn m ist negativ und größer als -1 -1 > m > -∞ y = x 1 4 Winkel zur x-Achse Steigungs-faktor m m = -0,25 ⬄ -14° genau: 1

12 DER STEIGUNGSFAKTOR (3): Übung: Jetzt die umgekehrte Fragestellung:
90 Error (∞) 89 ° ∼ 57,290 88 28,636 87 19,081 86 14,301 85 11,430 80 5,671 75 3,732 70 2,747 65 2,145 60 1,732 55 1,428 50 1,192 45 ° ∼ 1,000 40 0,839 35 0,700 30 0,577 25 0,466 20 0,364 15 0,268 10 0,176 5 0,087 Übung: Winkel zur x-Achse Steigungs-faktor m Jetzt die umgekehrte Fragestellung: ... ein Verräter Welche Geradengleichung gehört zur gezeichneten Geraden? Kontrolle? ... dann KLICK! ∞ > m > 1 Gerade x = 0 Winkelhalbierende im 1. Quadranten b = 1,5 m = 1 Gerade steigt flacher als die Winkelhalbierende im 1. Quadranten. Dann ist m positiv und kleiner als 1. y = mx + b y = x + 1,5 3 4 m = 3 4 ⬄ 36,9° genau: 0 < m < 1 b = -2 x Gerade y = 0 y = mx + b m = 0 Gerade steigt steiler als die Winkelhalbierende im 1. Quadranten, Dann ist m positiv und größer als 1. 0,000 -5 ° ∼ -0,087 -10 -0,176 -15 -0,268 -20 -0,364 -25 -0,466 -30 -0,577 -35 -0,700 -40 -0,839 -45 ° ∼ -1,000 -50 -1,192 -55 -1,428 -60 -1,732 -65 -2,145 -70 -2,747 -75 -3,732 -80 -5,671 -85 -11,430 -86 -14,301 -87 -19,081 -88 -28,636 -89 -57,290 -90 Error (-∞) y = 2x - 2 0 > m > -1 m = 2 ⬄ 63,4° genau: b = 3 y = mx + b Gerade fällt steiler als die Winkelhalbierende im 2. Quadranten, Dann ist m negativ und kleiner als -1. Winkelhalbierende im 2. Quadranten m = -1 y = -3x + 3 m = -3 ⬄ -71,6° genau: y b = -1 y = mx + b Gerade fällt flacher als die Winkelhalbierende im 2. Quadranten, Dann ist m negativ und größer als -1. -1 > m > -∞ y = x - 1 2 3 m = - ⬄ -33,7° genau: 2 3 Winkel zur x-Achse Steigungs-faktor m 1

13 DER TANGENS ... eine Winkelfunktion Die Steigung = 0,10 = 10 % Folie 9
... ein Ausflug in die Trigonometrie Keine Angst, du wirst das verstehen! Im rechtwinkligen Steigungsdreieck ist yH die Gegenkathete GK von Winkel 𝛂. Die Steigung 10 m Im rechtwinkligen Steigungsdreieck ist xB die Ankathete AK von Winkel 𝛂 . = 0,10 = 10 % 100 m GK ⇾yH In der Trigonometrie benennt man das Verhältnis (den Bruch) mit dem Fachbegriff ‚tan 𝛂‘. ‚Tangens des Winkels 𝛂‘ GK AK 𝛂 +10 m +100 m AK ⇾xB Die Steigung m berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn [yHy-Höhe |GK] durch die waagrechte Entfernung [xBx-Breite | AK] dividierst. Das Streckenverhältnis und somit der Steigungsfaktor m=tan𝛂 bleibt wegen des Strahlensatzes erhalten. Diese Bruchzahl (der Steigungsfaktor m) ist also eine sogenannte ‚Verhältniszahl‘. 10 m 100 m oder 10 : 100 yH xB = yH = 3,9 Strahlensatz! yH = 3,3 Der Wert dieser Verhältniszahl hängt eindeutig vom Steigungswinkel 𝛂 ab. 𝛂 Gut gezeichnet! xB = 4,7 xB = 5,6 Die Verhältniszahl (der Steigungsfaktor m) ist eine Funktion des Steigungswinkels 𝛂. yH xB m = = tan𝛂 3,3 4,7 yH xB Unser Beispiel: 3,9 5,6 m = = tan𝛂 m = = tan𝛂 Durch Verschieben der Höhe yH werden die Werte verändert. Überprüfe dann den neuen Wert von m = tan𝛂! Zeichne ein Steigungsdreieck (𝛃 = 90°) mit dem Steigungswinkel 𝛂 = 35°. Dividiere die Gegenkathete durch die Ankathete! Welchen Wert erhältst du für m? Welcher Winkel gehört in etwa zu dem Steigungsfaktor (Tangenswert) 0,702? Lies in der Tabelle auf Folie 12 ab! m = tan𝛂 ≈ 0,7 m = tan𝛂 ≈ 0,7 𝛂 ≈ 35° 𝛂≈ 35° 1 Miss nach und vergleiche mit Tabelle von Folie 11!

14 SONDERFÄLLE (1) Geraden können auch parallel zur y-Achse verlaufen.
Folie 10 Geraden können auch parallel zur y-Achse verlaufen. Die Gerade kann parallel zur x-Achse verlaufen. P4 P5 P6 Der Schnittpunkt der Geraden g4 mit der y-Achse liegt unendlich weit entfernt. Es wird folglich keinen reellen Wert für b geben. Wie groß wird der y-Achsen-Abschnitt b sein? g3 P1 P2 P3 g4 b = 3 P1 (-3/3) b P2 (2/3) P3 (4/3) Das Steigungsdreieck hat die x-Breite Null (0). Gedanken zum Steigungsdreieck? Fertig? ... KLICK! x = a = 2 Alle Punkte auf der Parallelen g3, die die y-Achse in Höhe b=3 schneidet, haben die Koordinate y=3. m4 = = = yH xB ... nicht definiert! Durch 0 darf man nicht dividieren! Gib die Koordinaten der Punkte P4, P5, P6 an! Fertig? ... dann KLICK! Allgemein: Alle Punkte der Parallelen g3, welche die y-Achse in Höhe b schneidet, haben die Koordinate y = b gemeinsam. Betrachte die Koordinaten der Punkte! Was fällt auf? Aussage für eine besondere Geradengleichung! Fertig? ... dann KLICK! P4 (2/4) a Gib die Koordinaten der Punkte P1, P2, P3 an! Fertig? ... dann KLICK! P5 (2/1) Welche Aussage kannst du zur Steigung m (evtl. Steigdreieck) der Geraden g3 machen? Fertig? ... dann KLICK! Die Gerade g3 hat keine Steigung. P6 (2/-2) Egal, wie groß du die x-Breite eines Steigdreieckes wählen wirst: Die gewonnene Höhe yH wird immer bei Null (0) verbleiben. Der x-Wert der Koordinaten ist für alle Punkte gleich. Diese liegen über einander. m3 = = = 0 yH xB Alle Wertepaare P(2/y) erfüllen die Geradengleichung x = 2. 1 m3 = 0 und b=3 einsetzen y = m3 ∙ x + b Normalform y = 0 ∙ x + 3 Gleichung der Parallelen zur x-Achse Gleichung der Parallelen zur x-Achse x = 2 ... allgemein: x = a y = 3 ... allgemein: y = b

15 „Verläufe von Geraden im Koordinatensystem“
SONDERFÄLLE (2) Diese Bilder haben wir nach einander entwickelt Funktion oder Keine Funktion? x = 2 x = a Geradengleichung Geraden können parallel zur x-Achse verlaufen. Zeichne in die Mengen-diagramme die zugehörigen Zuordnungspfeile ein! Fertig? ... dann KLICK! Zeichne in das Mengendiagramm jeweils die zugehörigen Elemente aus den angegebenen Punkten ein! Fertig? ... dann KLICK! Funktionsgleichung Trifft die Definition auf die Mengendiagramme zu? Fertig? ... dann KLICK! P4 P5 P6 g3 P1 P2 P3 P4 (2/4) a y = b y = 3 b = 3 g4 P5 (2/1) Bevor du an das Entwickeln der folgenden Folie gehst, sollst du selbständig die zwei fehlenden „Verläufe von Geraden im Koordinatensystem“ angehen: Erforsche im Internet alle Besonderheiten, die im Zusammenhang mit dem Thema ‚Parallele Geraden zur x-Achse bzw. y-Achse‘ von Interesse sind. Vergleiche dann erst deine Ergebnisse mit unserer Folie! KLICK! P1 (-3/3) b P6 (2/-2) Keine FUNKTION P2 (2/3) P3 (4/3) x = a = 2 FUNKTION unabhängige Variable x abhängige Variable y Geraden können auch parallel zur y-Achse verlaufen. unabhängige Variable x abhängige Variable y 2 4 -3 3 4 1 -2 2 Jeder reellen Zahl x aus dem Definitionsbereich 𝔻 wird genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zugeordnet. Jeder reellen Zahl x aus dem Definitionsbereich 𝔻 werden mehrere Elemente y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zugeordnet. Das Verstößt gegen die Definition! Stellvertretend für die unendliche Anzahl an Elementen des Definitionsbereiches 𝔻 = ℝ bzw. des Wertebereiches 𝕎 wurden hier jeweils nur wenige Werte der Punkte P1 bis P6 in die zwei Diagramme eingezeichnet. Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich 𝔻 genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zu. Elemente nicht mehrfach einzeichnen! 1

16 GRAPH DER LINEAREN FUNKTION
... aus der Normalform entwickeln xB= 3 Normalform Lineare Funktion: y = mx + b Allgemeine Form der Geradengleichung: ax + by + c = 0 yH= 2 So ergibt sich das Steigungsdreieck. 1. Die Normalform eignet sich am besten zum Erstellen einer Wertetabelle. b = 1,5 2. Die Normalform gibt die besten Informationen, wenn wir aus der Gleichung den Graphen der Geraden entwickeln sollen. Jetzt kannst du die Gerade einzeichnen ➚ y = x 2 3 Beispiel: + 1,5 m ist der Koeffizient (die Mitwirkende) der unabhängigen Größe x. b ist eine konstante Zahl, die sich ergibt, wenn wir für x den Wert Null (0) einsetzen. Z.B.: 1,5 / -2,4 / 1/3 / √7 / 𝜋 Also: eine reelle Zahl m gibt an, wie stark die Gerade steigt (➚) oder fällt (➘). m heißt deshalb Steigungsfaktor. Am sinnvollsten ist es, das Steigungsdreieck immer genau am (bekannten) Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse anzusetzen. Der Zähler des Bruches gibt immer an, wie hoch das Steigungsdreieck in Richtung der y-Achse ist. (y-Höhe des ⊿ ) Die Steigung (oder das Gefälle) der Geraden macht man mit Hilfe des ‚Steigungsdreiecks‘ sichtbar. 2 yH ⤵ Alle Punkte auf der y-Achse haben den x-Wert 0. m = 3 xB ⤷ Der Nenner des Bruches gibt immer an, wie breit das Steigungsdreieck in Richtung der x-Achse ist. (x-Breite des ⊿ ) Hier: (0 / 1,5) Setze zum Test mal in der obigen Funktionsgleichung für x den Wert 0 (Null) ein! Welches Wertepaar ergibt sich? Fertig? ...KLICK! b gibt deshalb an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneiden wird. b heißt deshalb y-Achsen-Abschnittskonstante. Guter Rat: Zuerst die y-Höhe übertragen, dann –ohne Absetzen- am Ende des Pfeils die x-Breite fortsetzen. Beachte: Wenn yH oder xB ein negatives Vorzeichen hat, dann dreht sich die Richtung der Pfeile um (negative yH-Werte nach unten ↓, negative xB-Werte nach links ←). In der Mathematik ist ein Koeffizient ein Faktor, der zu einer Variablen (oft x oder y usw.)gehört. In der obigen ‚Allgemeinen Form‘ heißen die Koeffizienten a und b. c ist eine konstante Zahl! Beachte: In der Regel werden die Koeffizienten mit kleinen Buchstaben als Platzhalter geschrieben. 1

17 Ein gutes Steigdreieck einzeichnen: BESTIMME DIE FUNKTIONSGLEICHUNG:
Immer am y-Achsen-Abschnitt mit dem y-Höhen-Pfeil beginnen. [nach unten(-) oder oben(+)] Normalform: +2 y = m•x + b 2 - 1 +4 ... nicht absetzen! 1. Schritt: b ablesen! +1 ... dann weiter und den x-Breiten-Pfeil bis zum Schnitt mit der Geraden zeichnen. [nach links(-) oder rechts(+)] +2 b = -1 2. Schritt: m bestimmen! Schauen, dass die Längen der Pfeile gut ablesbar sind! -4 yH ⤵ xB ⤷ m = +2 +4 oder +1 +2 ... und noch ein Beispiel: -2 Normalform: Verfolge die Text-Anleitung oben! 4 - 3 y = m• x + b + 3,5 Alternativ: 1. Schritt: b ablesen yH ⤵ xB ⤷ m = -4 -2 b = +3,5 m = 2 2. Schritt: m bestimmen -3 Immer, wenn du den Auftrag ausgeführt hast, ... dann KLICK! yH ⤵ xB ⤷ m = -3 Du hast jetzt drei verschiedene Möglichkeiten gesehen, das Steigdreieck einzuzeichnen. +4 +4 1 Immer führt es zur gleichen Steigung m!

18 BRÖTCHENEINKAUF 1,80 € Gesamtpreis =
Anzahl * Einzelpreis Arne kauft für sich und die Eltern Brötchen. 1 Brötchen kostet 45 ct. Im Umfeld einer solchen einfachen Aufgabe gibt es eine Menge zu wissen. unabhängig abhängig Die Anzahl der benötigten Brötchen hängt wesentlich vom Alter Arnes ab. Ob er die Kosten im Voraus abschätzen kann ebenfalls. Wie wirkt sich das Alter von Arne auf sein Einkaufsverhalten aus? EP Die Kosten hängen eindeutig von der Menge (Stückzahl) der benötigten Brötchen ab. Wovon hängen die Kosten ab?? Fertig? ...KLICK! Der Geschäftsmann versucht, solche Abhängigkeiten rechnerisch zu erfassen. (z.B. in Tabellen oder mit Formeln) Die Verkäuferin hatte in früheren Zeiten eine kleine Liste, von der sie den Gesamtpreis schnell ablesen konnte. Weißt du, wie die Verkäuferin schnell die Kosten ermittelte, als es noch keine automatische Registrierkasse gab? ...Fertig? ... KLICK! Zuerst aber musste man die Werte der Tabelle berechnen. Heute erledigt dies die automatische Registrierkasse.. Damals konnte man sehen, wie die Kosten gleichmäßig ansteigen. Hast du den Rechenfehler entdeckt? Fertig? ...KLICK! EP = Einzelpreis 1,80 € bei Abnahme von 5 Stück Sei nicht überrascht, wenn du die regelmäßige Kostensteigerung nicht immer so erlebst. Der pfiffige Geschäftsmann verlockt die Käufer gerne mit Nachlass für bestimmte Mengen-Abnahmen. Hast du schon mal die Preisgestaltung kritisch verfolgt? Ist dir dabei was aufgefallen? ...Fertig? ... KLICK! Solches Vorwissen musst du immer aktivieren, wenn du dich an eine ‚Sachaufgabe‘ begibst. 1 ... egal, wovon sie handelt!

19 MENGE UND KOSTEN Wir gehen nach dem ‚4-Stufen-Prinzip‘ vor. 1. Stufe: Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Dies ist zahlenmäßig ein einfaches Beispiel für einen mathematischen Zusammenhang. Mein bisheriges Wissen zu diesem Thema „Einkaufen“:  Siehe vorangehende Folie! Die Textangaben sinnvoll in mathematischer Kurzform. Benennungen für die Stückzahl und für die Gesamtkosten. Welche Frage tut sich beim Lesen auf? Welche Vorstellungen werden geweckt? Fertig? ...KLICK! Arne kauft für sich und die Eltern Brötchen. 1 Brötchen kostet 45 ct. 2. Stufe: Welche mathematischen Fragen, welche mathematischen Bezüge stehen dahinter? Einzelpreis EP = 0,45 € Stückzahl n = 5 oder 6 oder 7 Kannst du den Zusammenhang zwischen Menge und Gesamtpreis aufzeigen? Tabelle? Graph, evtl. Formel? Fertig? ...KLICK! Wie kommt Arne auf 5 oder 6 oder 7 Brötchen? Gesamtpreis K = ? € Zusammenhang zwischen Stückzahl (Menge) n und Gesamtkosten K. Wie viele Brötchen kauft Arne? Was kosten sie? 3. Stufe: Übergang zur rechnerischen Lösung. unabhängig abhängig Bei einer solch gleich-mäßigen Entwicklung spricht man von Proportionalität. Bestimme die Zahlenwerte, die zur Themenstellung gehören! Fertig? ...KLICK! Text Ein Brötchen kostet 0,45 €. n K 1 0,45 2 0.90 3 1,35 4 1,80 5 2,25 ... Menge Kosten einfache doppelte dreifache ... Gesamte Kosten: Stückzahl n mal 0,45 € . Die Gesamtkosten kann man auch aus einer Formel berechnen. 4. Stufe: Überprüfen! Können die Ergebnisse stimmen? Einordnen in das bisher Bekannte. Die Gesamtkosten K verhalten sich proportional zu der Menge . Übertrage die Wertepaare (n/K) in das Koordinatensystem! Fertig? ...KLICK! Prüfe die Werte in der Tabelle mit der Formel nach! Passt es zu deinen Erfahrungen? Fertig? ...KLICK! Die Kosten K sind eine Funktion der Menge n. graphische Darstellung € Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich sinnvoll! Fertig? ...KLICK! Jedem Element der Menge n ist genau ein Element der Kosten K zugeordnet. Formel: K = EP • n 𝔻 = ℕ Nur ganze Brötchen werden verkauft. 𝕎 = ℚ Bruchteile von € können sich ergeben. Menge n 1

20 GLEICHES THEMA n K = EP•n ... aber ein kleiner Unterschied!
In der Sprache der Mathematik: Die Kosten sind eine Funktion der Stückzahl. Pia holt die Milch direkt beim Bauern. Der Bauer verlangt pro 1 Liter nur seine reinen Produktionskosten von 45 ct. Beim Erstellen des Schaubildes (Graph) wird die unabhängige Größe auf der x-Achse angegeben. (hier: Literzahl oderMenge n = 5) Die Bäuerin will ebenfalls eine Liste erstellen. Literzahl n Kosten K Hier wird nach den Kosten K in Abhängigkeit von der Literzahl n gefragt. x y 1 0,45 2 0,90 3 1,35 4 1,80 5 2,25 6 2,70 7 3,15 8 3,60 9 4,05 10 5,00 Die abhängige Größe zeigt sich auf der y-Achse. (hier: Die davon abhängigen Kosten K = 2,25 €) Z.B.: Wie hoch sind die Kosten, wenn Pia 5 Liter abholt? Schaubild: ∙ EP € Suche eine sinnvolle Benennung für solche Geraden! Fertig? ...KLICK! Welches ist die unabhängige, welches die abhängige Größe? Wo in der Tabelle, wo im Koordinatensystem? Fertig? ...KLICK! Kosten K Entwickle eine Berechnungsformel! Fertig? ...KLICK! 2,25 € Trage die Werte der Tabelle ins Koordinatensystem ein! Wie kannst du die gefundenen Gleichung fachlich richtig benennen? Fertig? ...KLICK! 5 Literzahl n Schreibe die Berechnungs-Formel mit den Variablen x und y! Fertig? ...KLICK! Die Gerade geht durch den Nullpunkt (Ursprung) des Koordinatensystems und heißt deshalb „Ursprungsgerade“ n K Eine Formel dazu könnte heißen: Geradengleichung: in der Normalform K = 0,45 • n Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. y = 0,45 x + 0 K = EP•n (linea  Linie) 1

21 ZUM NACHDENKEN: Weshalb haben wir im Schaubild bei Folie 19
keine Gerade eingezeichnet? Weshalb haben wir im Schaubild bei Folie 20 eine Gerade eingezeichnet? Starte die Wiedergabe der beiden Schaubilder und überlege dann eine Begründung! Fertig? ...KLICK! ZUM NACHDENKEN: Folie 19: Brötcheneinkauf Folie 20: Milcheinkauf € € y = 0,45x 𝔻 = ℕ y = 0,45x 𝔻 = ℝ+ Kosten K 2,25 € Menge n 5 Literzahl n Das Einzeichnen der Geraden sagt aus, dass zwischen den eingezeichneten Punkten weitere Punkte existieren. Genau gesagt wären das unendlich viele weitere Wertepaare. Der Bäcker aber verkauft nur ganze Brötchen. Als Definitionsbereich kannst du daher nur die Menge der natürlichen Zahlen ℕ zulassen. (𝔻 = ℕ). Zwischen den Punkten entstehen Lücken. Der Bauer hingegen kann jede gewünschte Menge an Milch abfüllen. D. h.: Jede positive reelle Zahl kann als unabhängiger x-Wert mit dem zugehörigen y-Wert angenommen und eingezeichnet werden. (𝔻 = ℝ | wobei {x ≥ 0}). Eine durchgehende Linie entsteht. 1 Wir hätten eigentlich nur zwei Punkte benötigt, um die Gerade einzuzeichnen.

22 Neue Fragestellung, neues Schaubild
Die Menge n (Literzahl) hängt davon ab, wie viel Geld ich ausgeben will! Zuerst wurde nach den Kosten K in Abhängigkeit von der Literzahl n gefragt. Fachsprache: Die Literzahl n (Menge) ist eine Funktion der Kosten K. Man hat nun die Fragestellung umgekehrt: Z.B.: Wie viele Liter erhält Pia für 3,15 €? Streng genommen dürfte man nur Punkte setzen, die auf der x-Achse einer Unterteilung in den 1-Cent Bereich entsprechen. Dies ist jedoch wegen der zu engen Abstände auf der x-Achse hier nicht möglich. Trage ‚Kosten K‘ und ‚Literzahl n‘ an der richtigen Achse an! Fertig? ...KLICK! Beschreibe den mathematischen Zusammenhang in der Fachsprache! Fertig? ...KLICK! Wie lautet die umgekehrte Fragestellung? Stelle zuerst eine konkrete Frage und gib anschließend eine allgemeinere Formulierung! Fertig? ...KLICK! Allgemein: Wie groß ist die Literzahl n in Abhängigkeit von den gesamten Kosten K? n K x y 0,45 1 0,90 2 1,35 3 1,80 4 2,25 5 2,70 6 3,15 7 3,60 8 4,05 9 5,00 10 Frage, die zum Rechenweg führt: Wie oft ist der Einzelpreis EP in den Kosten enthalten? (Oft führen die richtigen Fragen zum Rechenweg!) Literzahl n Beschreibe den Rechenweg! Fertig? ...KLICK! x y 0,45 1 0,90 2 1,35 3 1,80 4 2,25 5 2,70 6 3,15 7 3,60 8 4,05 9 4,50 10 EP Stelle entsprechend auch die vorige Formel zur Berechnung um! Fertig? ...KLICK! Rechenweg: Dividiere die Kosten durch den Einzelpreis! Wie viele Punkte reichen zum Einzeichnen des Schaubildes? Zeichne den Graphen! Fertig? ...KLICK! Eine Formel dazu könnte heißen: n = K / EP Begründe, weshalb man hier die Gerade durchgehend zeichnen darf! Fertig? ...KLICK! ? Kannst du bei beim Lösen dieser Aufgabe das Vorgehen nach dem 4-Stufen-Prinzip erkennen? In diesem Fall: n = K / 0,45 4,50 4,50 Der Graph ist wieder eine Ursprungsgerade. 0 Liter kosten 0 €. Es reichen zwei Punkte. 1 Kosten K

23 Die Füllmenge V ist abhängig von der Zeit t.
2 Aufgaben: GRAPHISCH LÖSEN ... rechnerisch überprüfen Ein Tauchbecken I (5 m3) wird gefüllt. In jeder Stunde laufen 0,5 m3 zu. 1. Stufe Ein Tauchbecken II (5 m3) mit einem Restinhalt von 2 m3 wird gefüllt. In jeder Stunde laufen 0,5 m3 zu. Lies genau die beiden Aufgaben und vergleiche sie! Fertig? ...KLICK! 2. Stufe Welches ist die unabhängige, welches ist die abhängige Größe? Erstelle eine Funktionsgleichung! Fertig? ...KLICK! 5 m3 Die Füllmenge V ist abhängig von der Zeit t. 2 m3 V = t1•0,5 Skizziere den Sachverhalt! Notiere die gegebenen und gefragten Größen! Fertig? ...KLICK! 2 m3 3 m3 V = t2•0, V = 0,5t1 Überlege noch einmal genau die Schritte des „4-Stufen- Prinzips“! V = 0,5t V = 5 m3 Zulauf Z = 0,5 m3 h Verfolge gleichzeitig die Anleitung von Folie 33! V = 3 m3 Zulauf Z = 0,5 m3 h Zum Zeitpunkt t = 0 sind es 0 m3  Zum Zeitpunkt t = 0 sind es (schon) 2 m3  V[m3] 3. Stufe 1. Ursprungsgerade voll Du könntest natürlich auch das Steigdreieck neu zeichnen. y-Achsen-Abschnitt b = 2 yH ⤵ 2. Steigdreieck: 1 m = Mehr als 5 m3 haben nicht Platz! 2 xB ⤷ Nach voll t 6h V 2 5 m3 t V 2 Nach 10 h: Becken t 10h V 5 m3 4. Stufe Zeige den Füllvorgang durch eine graphische Darstellung! Ermittle aus dem Graphen die Füllzeiten! Fertig? ...KLICK! Becken I ist nach 10 Std. voll. Becken II ist nach 6 Std. voll. Da die Steigung erhalten bleibt, wird die Gerade parallel nach oben verschoben. Probe: V = 0,5t Formuliere den Ergebnissatz und berechne zur Überprüfung die Werte! Fertig? ...KLICK! Probe: 5 = 0,5t V = 0,5t1 3 = 0,5t2 5 = 0,5•t1 t2= 3/0,5 = 6 t1= 5/0,5 = 10 t[h] Versuche, das „4-Stufen-Prinzip“ zu verfolgen! 1

24 ZWEI GERADEN SCHNEIDEN SICH.
(Die Geraden haben verschiedene Steigung) Nun kommt eine zweite lineare Funktion ins Spiel: Lineare Funktion g2: y = -0,5x + 3,5 -0,5x + 3,5 (𝔻 = ℝ ) Funktionsgleichung : g1: y = 2x + 1 Erstelle eine Wertetabelle für die angegebenen x-Werte! Fertig? ... dann KLICK! Welches Wertepaar ist in beiden Wertetabellen erschienen? Fertig? ... dann KLICK! 2x + 1 (𝔻 = ℝ ) Zeichne auch das Schaubild der Geraden g2 ein! Fertig? ... dann KLICK! x y 3 1 x y , , ,5 x y y x -0, Wertetabelle (Auszug): Es gibt nur eine Lösung, die beide Gleichungen (g1 und g2) gemeinsam haben. (... ein Wertepaar!) Zeichne den Graphen der Geraden! Fertig? ... dann KLICK! Berechnung und Zeichnung: Auch, wenn wir diesen y-Wert nicht kennen würden: Wir wissen, dass er für beide Gleichungen (g1 und g2) den gleichen Wert hat. Also kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen (g1 und g2) gleich setzen und den x-Wert berechnen, anschließend das y. Berechnung dieses Punktes: y = 2x + 1 g1 = g2 = -1+0,5x y = -0,5x + 3,5 Bestätigung rechnerische 2,5x = 2,5 :2,5 S (1/3) x = 1 Berechne die Koordinaten dieses Punktes! Fertig? ... dann KLICK! Dieses gemeinsame Wertepaar müsste man auch als Punkt S im Schaubild erkennen können. y = 2x + 1 y = 2•1 + 1 y = 3 S (1/3) Man berechnet den Schnittpunkt zweier Geraden durch Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens. 1

25 Nullstelle einer linearen Funktion
Wir suchen die Koordinaten des Schnittpunktes N(xN/yN) unserer Geraden y = 1,5x – 3 mit der x-Achse. Diesen Schnittpunkt nennen wir Nullstelle. Bei einer linearen Funktion kann man den Schnitt-punkt des Graphen mit der y-Achse direkt von der Achsen-Abschnittskonstante b ablesen. Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben den Wert y = 0, also auch die gesuchte Nullstelle.➔ N (xN/0) Das Einsetzen (von y = 0) in die Geradengleichung (Nullsetzen) führt in jedem Fall zu einer wahren Aussage: y = mx + b Beispiel: y = 1,5x - 3 -3 yN = 1,5xN - 3 xN bleibt als einzige Unbekannte. Welche Gemeinsamkeit weisen alle Punkte auf, die auf der x-Achse liegen? Fertig? ...KLICK! = 1,5xN - 3 |+3 N(2/0) 1,5xN = 3 :1,5 Gesprochen: Die Nullstelle des Graphen der Funktion y = 1,5 x – 3 ist x = 2. xN = 2 N N Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunktes des Graphen mit der x-Achse. Die Berechnung der Nullstelle eines Graphen erfolgt durch das ‚Nullsetzen‘ der Funktionsgleichung (y = 0). y = 1,5x - 3 N2 N1 Jetzt wollen wir den Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen. Es gibt auch Funktionen mit mehreren Nullstellen. 1

26 Kern des Problems EIN PROBLEM - DREI LÖSUNGSWEGE
Eine große Agrargenossenschaft in Vorpommern baut auf einer Fläche von 1300 ha Weizen an. Ein normaler Mähdrescher erntet 8 ha pro Stunde. Er kann um 7:30 Uhr mit dem Mähen beginnen. Ein normaler Mähdrescher (MD1) erntet 8 ha pro Stunde. Er kann um 7:30 Uhr mit dem Mähen beginnen. Ein großer Mähdrescher (MD2) mäht 12 ha pro Stunde. Diese Maschine muss repariert werden und beginnt erst um 10 Uhr mit der Arbeit. Ein großer Mähdrescher mäht 12 ha pro Stunde. Diese Maschine muss repariert werden und beginnt erst um 10 Uhr mit der Arbeit. Wieviel Zeit braucht der große Mähdrescher, um den Rückstand bei der gemähten Fläche aufzuholen? Kern des Problems 1. Lösungsweg: AUFLISTEN und ABLESEN IN EINER TABELLE. Du kannst eine Tabelle anlegen. Sie zeigt die bis zum jeweiligen Zeitpunkt abgeernteten Flächen: Merke dir: Wenn du mit dem Lösen eines Problems beginnst, dann ist es hilfreich, Ordne den Text durch Umbauen etwas anders an! ... schon kannst du ihn besser analysieren. Fertig? ...KLICK! Fülle die Tabelle auf dem AB aus! (Wegen der Anfangszeit 7:30 ist ein Halbstundentakt sinnvoll.) Fertig? ...KLICK! Kannst du aus der Tabelle ein Ergebnis herauslesen? Fertig? ...KLICK! das Problem zuerst richtig zu verstehen. (... ggf. erst aufschreiben oder den geschriebenen Text aufmerksam lesen!) das Problem in Teilprobleme zu zerlegen, ... wenn möglich. (... dabei hilft oft ein sinnvoller Umbau des Textes.) Nach Ablauf von 5 Stunden gemeinsamer Arbeitszeit Hier geht es dann weiter mit: hat jeder Mähdrescher eine Fläche von 60 ha geerntet. ... einen Weg zur Lösung überlegen.(Tabelle) Lösungsweg beschreiten. (Tabelle erstellen) Der große Mähdrescher braucht 5 Std., um seinen Rückstand aufzuholen. Erbgebnis bewerten und beschreiben. (Tabelle auswerten und Schlusssatz) 1

27 Kern des Problems EIN PROBLEM - DREI LÖSUNGSWEGE
Eine große Agrargenossenschaft in Vorpommern baut auf einer Fläche von 1300 ha Weizen an. Erkunde einen Weg, wie man die jeweils abgeerntete Fläche berechnen kann! Fertig? ...KLICK! Ein normaler Mähdrescher (MD1) erntet 8 ha pro Stunde. Er kann um 7:30 Uhr mit dem Mähen beginnen. Ein großer Mähdrescher (MD2) mäht 12 ha pro Stunde. Diese Maschine muss repariert werden und beginnt erst um 10 Uhr mit der Arbeit. Wieviel Zeit braucht der große Mähdrescher, um den Rückstand bei der gemähten Fläche aufzuholen? Kern des Problems (ha pro Stunde) Leistung: P1 = 8 ha/h Leistung: P2 = 12 ha/h (ha pro Stunde) Die abgeerntete Fläche A1 bzw. A2 ergibt sich als Produkt aus Arbeitszeit mal Stundenleistung. Zeit t1: x + 2,5 Welche Informationen sind im Text enthalten? (Kurzform) Fertig? ...KLICK! Zeit t2: x Fläche A1: y1 = t1 • P1 Fläche A2: y2 = t2• P2 Kannst du die Zeichnung deuten? Fertig? ...KLICK! Fläche A1: y1 = (x + 2,5) • 8 Fläche A2: y2 = x • 12 Fläche A1: y1 = 8x (g1) Fläche A2: y2 = 12x (g2) Graph: 2. Weg: GRAPHISCHE LÖSUNG A (ha) Zeit (h) Kannst du daraus jeweils die Geradengleichung ermitteln? Fertig? ...KLICK! Problem einengen. (Text studieren.) (... wie bei Folien 26) In Teilprobleme gliedern. (... wie bei Folien 26) über andere Hilfen (Wege) nachdenken. g1 4. Zweiten Weg planen! (graphische Lösung) Zeichne die beiden Graphen g1 und g2 mit Hilfe des Achsen-Abschnittes und des Steigungsdreieckes! Fertig? ...KLICK! 5. Plan umsetzen. (Geradengleichungen g1 und g2 ableiten. Geraden zeichnen) g2 Wenn der große Mähdrescher 21/2 Std. später beginnt, dann hat der normale Mähdrescher schon 20 ha geerntet. 7. Zeichnung deuten, Ergebnis formulieren!! Nach 5 Stunden gemeinsamer Zeit 1 haben beide Mähdrescher 60 ha geerntet.

28 Die Fläche A ist eine Funktion der Arbeitszeit t.
EIN PROBLEM - DREI LÖSUNGSWEGE Eine große Agrargenossenschaft in Vorpommern baut auf einer Fläche von 1300 ha Weizen an. Ein normaler Mähdrescher (MD1) erntet 8 ha pro Stunde. Er kann um 7:30 Uhr mit dem Mähen beginnen. Ein großer Mähdrescher (MD2) mäht 12 ha pro Stunde. Diese Maschine muss repariert werden und beginnt erst um 10 Uhr mit der Arbeit. Ein normaler Mähdrescher erntet 8 ha pro Stunde. Er kann um 7:30 Uhr mit dem Mähen beginnen. Ein großer Mähdrescher mäht 12 ha pro Stunde. Diese Maschine muss repariert werden und beginnt erst um 10 Uhr mit der Arbeit. Wieviel Zeit braucht der große Mähdrescher, um den Rückstand bei der gemähten Fläche aufzuholen? Kern des Problems Die abgeerntete Fläche A1 bzw. A2 ergibt sich als Produkt aus Arbeitszeit mal Stundenleistung Leistung: P1 = 8 ha/h Leistung: P2 = 12 ha/h Zeit: t + 2,5 Zeit: t Fläche A1 = (t + 2,5) • 8 Fläche A2 = t • 12 Die Fläche A ist eine Funktion der Arbeitszeit t. Fläche A1 = 8t (g1) Fläche A2 = 12t (g2) 3. Weg: RECHNERISCHE LÖSUNG Berechnung: Nach einer (gesuchten) Zeit t haben beide Mähdrescher gleich viel Fläche gemäht: Text studieren. (... wie bei Folien 26) In Teilprobleme gliedern. (... wie bei Folien 26) Präge dir zuerst jeden Schritt des Lösungsweges ein! Geh erst zum Arbeitsblatt, wenn du den gesamten Zusammenhang von Folie 28 verstanden hast!! A2 = A1 Einsetzen: Über andere Hilfen (Wege) nachdenken. 12t = 8t + 20 A2 = 12t weiteren Lösungsweg überlegen! 4t = 20 A2 = 12 • 5 5. Plan ausführen. (Bestimmungsgleichungen g1 und g2 ableiten / Gleichsetzungsverfahren)! t = 5 A2 = = A1 Suche Unterstützung im Lehrwerk „Gleichungssysteme“  Gleichsetzungsverfahren 6. Ergebnis deuten und formulieren! Stelle jetzt den Verlauf des Lösungsweges übersichtlich auf dem AB dar! Fertig? ...KLICK! Nach 5 Stunden gemeinsamer Arbeitszeit haben beide Mähdrescher 60 ha geerntet. 1

29 Anwendung von Bestimmungsgleichungen
Ralf und Rudi sind zusammen 9 Jahre alt. Ralf ist doppelt so alt wie Rudi. Kern des Problems Wie alt ist Rudi? Welche Informationen sind im Text enthalten? Kurzform! Fertig? ... dann KLICK! Erstelle mit Hilfe dieser Angaben eine Gleichung! Löse diese! Fertig? ... dann KLICK! Rudi: x Jahre Ralf: 2x Jahre Summe: 9 Jahre Die Summe von neun Lebensjahren entsteht aus zwei Summanden: Bestimmungsgleichung: x + 2x = 9 Jahre Ralf 3x = 9 Jahre :3 𝕃 = 3 Rudi ist 3 Jahre alt. x = 3 Jahre -2 y = 2x Vielleicht bist du auch auf folgenden Rechenansatz gekommen: +2 Rudi: x Jahre m= -1 = -1 +1 ... erweitern I = II y = -x + 9 Ralf: y Jahre yH ⤵ xB ⤷ m = = -2 2x = -1x + 9 Summe: 9 Jahre Das ergibt zwei Gleichungen. Löse das Gleichungssystem! Fertig? ... dann KLICK! +2 3x = 9 I x + y = 9 |-x +1 x = 3 y = -1x + 9 Einsetzen in II: Löse diesen Rechenansatz auch graphisch! Fertig? ... dann KLICK! Kannst du die Lösung auch herauslesen? Markiere die Lösungen! Fertig? ... dann KLICK! +2 +1 +2 II y = x II y = 2x •3 Rudi ist 3 Jahre alt. Rudi y = 6 1 Ralf ist 6 Jahre alt. 29

30 Verändere den Term durch Einfügen eines variablen Koeffizienten!
FACHBEGRIFFE beherrschen! Verändere den Term durch Einfügen eines variablen Koeffizienten! Wer Mathematik verstehen und in Mathematik mitreden will, der muss die Vokabeln gelernt haben. Das ist nicht anders als in Englisch! Was sagt er? Variable Eine Leerstelle in einem Term. Gleichwertig verwendet man auch die Begriffe Platzhalter, Veränderliche, Formelzeichen, Unbekannte. Konstante Eine Konstante ist eine Größe, deren Wert sich nicht verändert. Sie begegnet uns entweder als absolute Zahl (z.B. 3) oder als Vorzahl in einem Term mit einer variablen Zahl (z.B. 3x).  siehe auch ‚Term‘ und ‚Koeffizient‘! Koeffizient Ein Koeffizient ist eine Vorzahl einer variablen Zahl (z.B. 3•x oder 3x) in einem Term. Auf Grund des Kommutativgesetzes kann sie auch als nachgestellter Faktor auftreten (z.B. x•3). Sie wirkt bei der Feststellung des Termwertes mit. (lat. coefficere = mitwirken) Term Ein  Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck. Er kann Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und andere mathematische Symbole wie Klammern beinhalten. (z.B. 3x oder 4(3-2y) Termwert 1. Beispiel:  (4 + 3) ∙ 5  Der Wert dieses Terms ist 35. 2. Beispiel: (x + 3) ∙ 5  Der Wert dieses Terms ist 35, wenn man für die Variable x die Zahl 4 einsetzt. 1 Hinweis: Auf findest du eine Übersicht mit Erklärung der verschiedenen Arten von Zahlen. 33

31 ... und noch ein paar Fachausdrücke
Termumformung Wendet man Rechengesetze (z.B. das Distributivgesetz oder das Kommutativgesetz) an, kann man Terme umformen. Dabei bleibt der Termwert immer gleich. (4 + 3) ∙ 5  ↔  4 ∙ 5  + 3 ∙ 5  ↔  5 ∙ 3  + 5 ∙ 4   (4 + x) ∙ 5  ↔  4 ∙ 5  + x ∙ 5  ↔  5 ∙x  + 5 ∙ 4  (Rechen)operation Die verschiedenen Rechenarten mit den dazugehörigen Rechenzeichen „+“ ,  „-“ ,  „∙“,  „:“ nennt man auch Rechenoperationen. Wichtig im Zusammenhang mit Gleichungen ist, dass man jede Rechenoperation mit der entsprechenden Gegenoperation rückgängig machen kann. Die Rechenoperation + 5 kann mit der dazugehörigen Gegenoperation -5 rückgängig gemacht werden. Operator Die Rechenzeichen „+“ ,  „-“ ,  „∙“,  „:“ oder auch „√“ nennt man Operatoren. Das Vorzeichen („-“ oder „+“) einer Zahl kann ebenfalls als Operator bezeichnet werden. Operatoren lässt man oft weg. Man hat dazu eindeutige Absprachen getroffen. (Mehr hierzu im Verlauf der Folie) Äquivalent ‚Äquivalent‘ bedeutet ‚gleichwertig‘. Haben zwei Terme den gleichen Wert,  sind sie äquivalent. Die folgenden Terme sind äquivalent, denn beide Terme haben den Wert 35: T = T2 (4 + 3) ∙ 5  =   Hinweis: Am Ende des Lehrwerkes findest du eine Übersicht mit Erklärung der verschiedenen Arten von Zahlen. 1

32 Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich 𝔻 genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zu. DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ für des Verfahren beim Lösen von Sachaufgaben (Textaufgaben): 1. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ Hintergrund ist eine reale Geschichte. Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Muss ich selbst Entscheidendes hinzu fügen? Definitionsbereich: Der Definitionsbereich 𝔻 enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich 𝔾. Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich 𝕎. Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der reellen Zahlen den Grundbereich 𝔾. 2. Stufe: Vom Bild zur Mathematik Zusammenhänge suchen und herstellen, Alltagssprache  mathematische Sprache! Vorstellungen zum Lösungsweg (Modelle) Lineare Funktion Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. (linea  Linie, Faden) 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder Zeichnen! Die Steigung berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn [y-Achse ↑(+)bzw.↓(-)] durch die waagrechte Entfernung [x-Achse →(+)bzw.←(-)] dividierst. 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Auswerten, bewerten einordnen. Einbetten in die erzählte Geschichte! 1

33 Arten von Zahlen e π -√3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: ℝ Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. ℤ π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. -√3 √7 √15 3 ... ⅘ -⅜ 1,2 -2,5 ⅚ 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℚ ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ 1 Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2, 33

34 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

35 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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