Problemlösen am Beispiel des Rückwärtsarbeitens

Präsentation zum Thema: "Problemlösen am Beispiel des Rückwärtsarbeitens"—  Präsentation transkript:

1 Problemlösen am Beispiel des Rückwärtsarbeitens
nach U.Wagner, OHG Tuttlingen 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 1

2 Definition des Problemlösens
Rückwärtsarbeiten Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen G.H. Wheatly: „Problemlösen ist das, was man tut, wenn man nicht weiß, was man tun soll.“ Wie überwindet man die anfängliche Hilflosigkeit? Definition des Problemlösens l 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 2

3 Überwindung der anfänglichen Hilflosigkeit
Rückwärtsarbeiten Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Vier (drei) Schritte nach Polya („Schule des Denkens“): Verstehen der Aufgabe (verschiedene Darstellungen und Hilfsmittel) (BP: Probleme analysieren) Ausdenken eines Plans, Ausführen des Plans (BP: Problemlösestrategien) Rückschau: Prüfen der Lösung (BP: Lösungsprozess reflektieren) Dies muss immer wieder spiralcurricular geübt werden! Problemlösen als permanentes Unterrichtsprinzip! Überwindung der anfänglichen Hilflosigkeit Polya trennt die Bereiche „Ausdenken eines Plans“ und „Ausführen des Plans“, deshalb hat er vier Schritte. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 3

4 Problemlösestrategien
Rückwärtsarbeiten Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Systematisches Probieren Zerlegen in Teilprobleme (evtl. Hilfsgrößen und –linien) Formale Rechenstrategien (insbes. Äquivalenzumformungen) Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder math. Mustern Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen Auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen Zusammenhänge zw. Teilgebieten der Mathematik herstellen Problemlösestrategien Beim Rückwärtsarbeiten werden die drei ersten Strategien fast automatisch mitbedient, beim kombinierten Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten zerlegt man automatisch in Teilprobleme, Äquivalenzumformungen ist Rückwärtsrechnen. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 4

5 Problemlöseaufgaben sind das Gegenteil von Routineaufgaben
Rückwärtsarbeiten Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Problemlöseaufgaben sind das Gegenteil von Routineaufgaben Der Problemlösecharakter einer Aufgabe hängt also ab vom Inhalt (unbekannt oder komplex bzw. mehrschrittig), von der genauen Aufgabenstellung (ungewöhnlich oder „offen“), vom Zeitpunkt der Bearbeitung (Erstkontakt?), vom Lernenden (Routine erreicht?). Routineaufgaben können zunächst Problemlöseaufgaben sein! Viele Problemlöseaufgaben sind später Routine(aufgaben)! Problemlöseaufgaben l 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 5

6 Rückwärtsarbeiten Problemlöseaufgaben Aufgabentyp Start Weg Ziel
Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Problemlöseaufgaben Aufgabentyp Start Weg Ziel 1 Beispielaufgabe x 2 Geschlossene Aufgabe - 3 Begründungsaufgabe 4 Problemaufgabe 5 Offene Situation 6 Umkehraufgabe 7 Problemumkehr 8 Anwendungssuche Problemlösen? ungeeignet ungeeignet bedingt geeignet geeignet geeignet Das Tableau geht auf Regina Bruder zurück und wurde schon in ZPG III thematisiert. Anwendungssuche bis hin zur Modellierung bleibt hier außer acht. Interessant sind im Zusammenhang mit dem Rückwärtsarbeiten zunächst die Umkehraufgaben (werden gleich behandelt) und später die geeigneten Begründungsaufgaben (nicht zu banal oder zu knifflig) in der Geometrie. Dazwischen werden auch klassische Problemaufgaben behandelt. Die Beispiele passen dabei in verschiedenste Klassenstufen (aber v.a. in 7./8.) und nehmen in ihrem Anspruchsniveau zu. bedingt geeignet geeignet bedingt geeignet 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 6

7 Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten
Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Rückwärtsrechnen ist wesentlicher Bestandteil der Mathematik und meist (subjektiv) schwieriger („Ventil“): Unterstufe: Es ist -7 Grad kalt, aber 5 Grad wärmer als gestern. Wie kalt war es gestern? (Subtraktion als Umkehrung der Addition) Mittelstufe: Der quadratische Pool soll einen Flächeninhalt von 60 𝑚 2 haben, wie groß ist seine Seitenlänge? (Wurzelziehen vs. Quadrieren) Oberstufe: Die Zuflussrate in einen zunächst leeren Staudamm beträgt nach einem Regen 𝑓 𝑡 =4− 𝑡 2 (𝑓 𝑖𝑛 𝑚 3 , 𝑡 𝑖𝑛 ℎ). Stelle das Stauvolumen in Abhängigkeit von t dar. („Aufleiten“ vs. Ableiten) Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten Ventil heißt: Vorwärts geht es leichter als rückwärts. Wie werden diese einfachen Umkehraufgaben zum Problem? 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 7

8 Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten
Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Beim Erstkontakt (ohne Hinweise) handelt es sich bei diesen einschrittigen Rückwärtsaufgaben bereits um Problem(chen). Schon hier können weitere Teilkompetenzen erlernbar sein: Unterstufe: durch Darstellungswechsel (Zahlenstrahl, Pfeile) lösbar Mittelstufe: durch systematisches Probieren lösbar Oberstufe: Probe durch Ableiten verhindert Fehler Einstieg ins Problemlösen durch Rückwärtsarbeiten mit Umkehraufgaben sehr einfach und niederschwellig möglich! Auch für Isoliertes Üben und Erarbeiten (ZPG III) geeignet! Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten Die weiteren Teilkompetenzen (neben dem Rückwärtsrechen) belegen den Problemlösecharakter im Sinne des BP. Erstkontakt sehr schön in Isolierten Erarbeiten herstellbar (z.B. Aufleiten bereits in Klasse 10!) 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 8

9 Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten
Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Problemlösecharakter steigert sich durch Präsentation der Aufgabe: Lösungsvielfalt: (evtl. mit Einschränkungen) Hier kommt es fast automatisch zu einer Kombination von Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten. Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten Kombination führt automatisch zur Zerlegung in Teilprobleme. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 9

10 Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten
Problemlösen Umkehraufgaben Gleichungen lösen Weitere Beispiele (mit und ohne Lösungsvielfalt): von Flächeninhalt auf Seitenlängen schließen, von Mittelwert auf Daten schließen, von Preis mit MwSt auf Preis ohne schließen, von Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung auf Trefferzahl, Anzahl Versuche schließen … Umkehraufgaben: Einstieg ins Rückwärtsarbeiten Beispiele gibt es sehr viele: Permanentes Prinzip. Lösungsvielfalt, falls nicht alles bis auf ein vorgegeben. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 10

11 Gleichungen lösen: Mehrschrittige Rückwärtsaufgaben
Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Gleichungen lösen Klassiker Auch lineare Gleichungen werden (zunächst) durch Rückwärts-arbeiten gelöst. Später kommt durch Vereinfachungsschritte noch das Vorwärtsarbeiten dazu (also auch hier Kombination). BP: formale Rechenstrategien (insb. Äquivalenzumformungen) Dies ist zunächst ein Problemlöseprozess, der nach und nach Routine wird (oder werden sollte). Wieder ist Isoliertes Üben und Erarbeiten (ZPG III) geeignet. Gleichungen lösen: Mehrschrittige Rückwärtsaufgaben Gleichungen lösen ist mehrschittiges Rückwärtsrechnen! Dies ist zunächst (und für viele Schüler längere Zeit) ein Problem(löseprozess)! Problemlösen zu trainieren ist also nicht zuerst mit dem Problem verbunden, alle mathematischen Algorithmen beiseite zu lassen und nach „echten“ Problemen zu suchen! 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 11

12 Gleichungen lösen: Vorübungen
Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Gleichungen lösen Klassiker Der Problemlöseprozess beim Gleichung lösen kann z.B. so beginnen: In der Unterstufe werden die Umkehraufgaben etabliert (s.o.). Dann werden einfache Suchaufgaben (z.B. 3∙⍟=15) durch Umkehraufgaben und/oder systematisches Probieren gelöst. Geeignete Vorübungen für die Äquivalenzumformungen sind das „Zahlen verstecken“ (Zahlenbuch), Rätselaufgaben und das Waagemodell. Gleichungen lösen: Vorübungen Hier ist wieder die große Nähe zum Systematischen Probieren erkennbar. Manche Schüler nennen die Lösung 5 durch Probieren. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 12

13 Gleichungen lösen: Vorübungen
Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Gleichungen lösen Klassiker „Zahlen verstecken“: schüleraktiv! 26=2∙13=2∙ 5+8 =2∙(5+4∙2) „x verstecken“: x=12 2∙𝑥=24 (verdoppeln) 2∙𝑥+6=30 (um 6 vergrößern) 2∙(𝑥+3)=30 (ausklammern) 2∙ 𝑥+3 +7=37 (um 7 vergrößern) Gleichungen lösen: Vorübungen Die Schüler arbeiten hier bereits rückwärts (entgegen der Rechenregeln!). Statt x kann man hier wieder ein Herz oder einen Smily nehmen und „drum herum“ bauen. Dies ist auch haptisch (mit Steichholzschachteln o.ä.) möglich. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 13

14 Gleichungen lösen: Vorübungen
Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Gleichungen lösen Klassiker Rätselaufgaben: Denke dir eine Zahl, subtrahiere 2, multipliziere das Ergebnis mit 5 und addiere schließlich 10. Nenne das Ergebnis und ich weiß deine Zahl. (Balken-)Waagemodell: Gleichheitszeichen entspricht Gleichgewicht! siehe alle gängigen Bücher Gleichungen lösen: Vorübungen l 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 14

15 Gleichungen lösen: Äquivalenzumformungen
Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Gleichungen lösen Klassiker Das Prinzip des Rückwärtsarbeitens muss gegenwärtig sein: Statt „KlaPuStri“ wird hier (zunächst) „StriPuKla“ gerechnet! Das Vereinfachen muss als Vorwärtsarbeiten kontrastiert werden. Es muss zwischen Richtigkeit und Nützlichkeit der Umformung unterschieden werden (z.B. „Gewinn- und Verlustumformung“). Die „beste“ Umformung zu finden ist dann wieder Problemlösen: 7+3𝑥=5𝑥−9 lässt vier verschiedene Gewinnumformungen zu (zwei davon sind etwas „besser“ als die beiden anderen) Gleichungen lösen: Äquivalenzumformungen Das kombinierte Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten kann hier wieder als Zerlegung in Teilprobleme gesehen werden (auf niedrigster Ebene). Die Schüler wollen meist noch sowas wie „Neutralumformungen“ ergänzen, also in der unteren Gleichung z.B. +12 oder –x (durchführen!). Die Gewinnumformungen sind -7, -3x, -5x und +9. Die zweite und vierte sind besser, da kein Minus mehr auftaucht. Die sollte durch systematisches Probieren (Teilkompetenz des Problemlösens!) herausgefunden werden. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 15

16 Gleichungen lösen: quadratisch (und höhergradig)
Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Gleichungen lösen Klassiker Nur bei rein-quadratischen ist das erlernte Prinzip der Äquivalenz-umformung zielführend: Umstellen bis zum Wurzelziehen Aber: In anderen Fällen „Zurückführen“ (auch als Rückwärtsarbeiten deutbar!) auf einfacheren Fall möglich: Ausklammern der Variablen Substitution allgemeine quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung (als Binnendifferenzierung?!) Gleichungen lösen: quadratisch (und höhergradig) Zurückführen ist wieder leicht als Rückgängigmachen des „x verstecken“ zu verstehen: Man stellt sich vor, es war vorher eine einfachere Gleichung vorhanden. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 16

17 Klassiker: Die sieben Tore
Rückwärtsarbeiten Gleichungen lösen Klassiker Geometrie Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang? Rückwärts: 1+1+2=4; 4+1+5=10; =22; =46; =94; =190; =382 Klassiker: Die sieben Tore Aufgabe als Aktivierung der Zuhörer geeignet. Auch hier wird viel systematisch probiert und durch Vorwärtsrechnen geprüft. Klassische Aufgabe ist leicht veränderbar (und damit weniger altertümlich): Schüler im Bus, an 7 Haltestellen steigt jeweils die Hälfte plus 1 aus. Aufgabe ist auch leicht variierbar (auch für KA?!) 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 17

18 Klassiker: Der Teufel und der alte Mann
Rückwärtsarbeiten Gleichungen lösen Klassiker Geometrie Der Teufel sagte zu einem armen Manne: „Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen.” Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr. Wie viel hatte er anfangs? Rückwärts: 0+8=8; 8:2=4; 4+8=12; 12:2=6; 6+8=14; 14:2=7; Klassiker: Der Teufel und der alte Mann Aufgabe als Aktivierung der Zuhörer geeignet. Auch diese Aufgabe ist leicht variier- veränderbar. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 18

19 Klassiker: Telefonanschlüsse
Rückwärtsarbeiten Gleichungen lösen Klassiker Geometrie Wie viele Telefonanschlüsse sind im Ort vorhanden, wenn gegenseitige Gesprächsverbindungen möglich sind? (Wie viele nicht-parallele Geraden haben 3160 Schnittpunkte?) Rückwärts: es sind n Anschlüsse, jeder ermöglicht n-1 Verbindungen Variante 1: Es gibt also n∙(n-1):2 Verbindungen (zunächst doppelt gez.) Variante 2: (n-1)+(n-2)+…+1= n∙(n-1):2 (Gauß-Formel) Insgesamt also 800 Telefonanschlüsse (80 Geraden) Klassiker: Telefonanschlüsse Telefonanschlüsse sind im Handy-Zeitalter weniger relevant, aber Bekanntschaften oder eben Geraden usw. sind auch möglich. Aufgabe mit Geraden wurde schon in ZPG III thematisiert. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 19

20 Klassiker: Tennisturnier, Eimeraufgabe
Rückwärtsarbeiten Gleichungen lösen Klassiker Geometrie 128 Tennis-Spieler treten im k.o.-System an, wie viele Spiele? Vorwärts: Rückwärts: einer bleibt übrig, 127 scheiden in 127 Spielen aus Wie kann man vom Fluss genau 6 Liter holen, wenn man nur einen 4-Liter-Eimer und einen 9-Liter-Eimer zum Messen hat? Rückwärts: 0|6 dann 4|6 dann 1|9 dann 1|0 dann 0|1 dann 4| dann 0|5 dann 4|5 dann 0|9 Wieder kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsarbeiten sinnvoll! Klassiker: Tennisturnier, Eimeraufgabe Tennisproblem zeigt hier gut den Vorteil des Rückwärtsrechnens. Eimer-Aufgabe als Aktivierung der Zuhörer geeignet. Auch hier Teilprobleme: Oft bis 1 Liter rückwärts und dann durch Probieren vorwärts. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 20

21 Geometrie: Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Welche Sätze haben passende Voraussetzungen? (ggf. sind Hilfslinien notwendig) Welche Behauptungen kann ich damit beweisen? Bsp: Wenn 𝛼= 30 ° , dann ist Strecke BC halb so lang wie Strecke AB. Vorübung für Satz des Thales Geometrie: Vorwärtsarbeiten Geometrie-Probleme wurden von Gerhard Schneider zusammengestellt (Danke!). Alle Begründungsprobleme lassen sich mit gestuften Hilfen, Lückentexten, Beweiskärtchen usw (Binnendifferenzierung!) von Schülern bearbeiten, Auch wenn es sich dann noch immer um echte Herausforderungen handelt. Bsp ist wunderbare Vorübung zum Thales. Und/oder „Nachübung“, dann geht der Beweis etwas schneller. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 21

22 Geometrie: Begründungsbasis (ZPG II)
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Begründungsbasis (ZPG II) Schüler finden keinen Einstieg in Begründungen, wenn die Begründungsbasis nicht klar ist (Kopie, Plakat usw., auch in KA?!) 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 22

23 Geometrie: Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Vorwärtsarbeiten Aufgabe zur Aktivierung der Zuhörer geeignet. Begründe: Wenn 𝛼=30°, dann ist |BC| = |AB| 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 23

24 Geometrie: Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Vorwärtsarbeiten l Hilfslinie ermöglicht Erkenntnisse: Basiswinkelsatz: 𝛼= 𝛾 1 =30° Winkelsumme: 𝜀 1 =120° 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 24

25 Geometrie: Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Vorwärtsarbeiten Mit Thales erhält man schnell, dass 𝛽=60° Nebenwinkel: 𝜀 2 =60° Basiswinkelsatz: 𝛾 2 =𝛽 Winkelsumme: 𝜀 2 = 𝛾 2 =60° Basiswinkel: |BM|=|BC| 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 25

26 Geometrie: Rückwärtsarbeiten
Klassiker Geometrie Fazit Welche Sätze haben passende Behauptungen? Welche Voraussetzungen muss ich dazu nachweisen? (ggf. sind Hilfslinien notwendig) Bsp: Zwei gleichseitige Dreiecke auf AB, sind Verbindungsstrecken AQ und BP gleich lang? Geometrie: Rückwärtsarbeiten Die anderen Rückwärtsmöglichkeiten außer Kongruenzsätze fallen schnell weg. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 26

27 Geometrie: Rückwärtsarbeiten
Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Rückwärtsarbeiten Rückwärts: Sind Dreiecke AQR und BPR kongruent? Suche gleiche Seitenlängen und Winkelweiten: Gleichseitigkeit: |QR|=|BR| Gleichseitigkeit: |AR|=|PR| Eingeschlossener Winkel ist jeweils Nebenwinkel von 60° also 120° weit Nach sws sind Dreiecke kongruent Aufgabe zur Aktivierung der Zuhörer geeignet. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 27

28 Geometrie: Kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsarbeiten Beweise: In jedem Dreieck zerlegt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Zu zeigen: |AD|:|DB|=|CA|:|CB| l 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 28

29 Geometrie: Kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsarbeiten Rückwärts: Anwendung des Strahlensatzes erfordert Hilfslinie: Parallele zu w durch B. Dann gilt: |AD|:|DB|=|CA|:|CE| l 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 29

30 Geometrie: Kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten Klassiker Geometrie Fazit Geometrie: Kombiniertes Rückwärts- und Vorwärtsarbeiten Vorwärts: Begründung, dass |CE|=|CB| erfordert Wechselwinkelsatz: 𝛾 2 =𝛿 Stufenwinkelsatz: 𝛾 1 =𝜀 Winkelhalbierung: 𝛿=𝜀 Basiswinkelsatz: |CE|=|CB| Insgesamt: |AD|:|DB|=|CA|:|CB| Beweis auch durch Spiegelung an w führbar. 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 30

31 Um Problemlösen zu lernen muss man Probleme lösen.
Rückwärtsarbeiten Geometrie Fazit Quellen Um Problemlösen zu lernen muss man Probleme lösen. Problemlösestrategien sind erlernbar, dazu ist ein Bewusstmachen auf der Metaebene notwendig. Spätere Routineaufgaben können Problemlöseaufgaben sein. Problemlösen sollte mit kleinen Schritten beginnen, was beim Rückwärtsarbeiten leicht möglich ist. Viele Inhalte sind als Rückwärtsarbeiten deut- und schulbar. Somit kann die Teilkompetenz Rückwärtsarbeiten als ein roter Faden und Orientierung in der Schulmathematik dienen. l 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 31

32 G.Polya, „Schule des Denkens“, Francke Verlag, Tübingen
Rückwärtsarbeiten Geometrie Fazit Quellen G.Polya, „Schule des Denkens“, Francke Verlag, Tübingen Zahlenbuch, Klett und Balmer Verlag, Zug, Schweiz R. Bruder, u.a.: diverse Internet-Veröffentlichungen zum Thema „Problemlösen“, u.a. in prolehre.de, math-learning.com Materialien und Ideen vorhergehender ZPG-Fortbildungen G. Schneider: „Geometrie“, ppt-Datei und Materialien, 2015: hieraus sind die Geometrieprobleme entnommen: Danke! Quellen l 2016/2017 Rückwärtsarbeiten Folie 32