Stichwortverzeichnis

Präsentation zum Thema: "Stichwortverzeichnis"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher ... mit uns können Sie rechnen! DIE VERFLIXTEN ‚TEXTAUFGABEN‘! * Modellieren ... können nicht nur Künstler. Du lernst es auch im Fach Mathematik. Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 27 14 Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. © Gernot Mühlbacher

1 Stichwortverzeichnis
1 Stichwortverzeichnis führt immer zum 27 Lernen ist mehr als Verstehen … zum Suchen Folie Nr.: Arten von mathem. Modellen: Sonstige Stichwörter: Balkenmodelle 8 Lösungsplan (DISUM) 5 bewegtes Bild 15 Flächenmodelle 9 Modellieren 5, 6 Formeln 11 Modellbegriff 2 Körpermodelle 11, 13 Merksatz Modell des ‚Modellierens‘ 6 Schaubild/Graph 14, 15, 21 Modell des ‚Problemlösens‘ 3, 26 Skizzen 9, 15, 21 Tabellen 21, 25 Vier-Stufen-Prinzip Überlegungsfigur Das 4-Stufen-Prinzip wird in zahlreichen Anwendungsaufgaben der Lehr- und Lernwerke gezeigt und erklärt. Verlaufsmodell Folien-Nr. anklicken! ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

2 1 MODELLE MODELLE in der Mathematik 2x + 3 = 11
modello  (italienisch) bedeutet: Maß, Maßstab MODELLE Wir werden diesen Begriff jetzt öfters gebrauchen. MODELLE in der Mathematik (allgemein) ... sind ebenfalls Abbildungen der Wirklichkeit. Sie stellen mathematische Probleme vereinfacht dar. Was ist ein Modell? Ein Modell ist eine der , bei der die für wesentlich angesehenen hervorgehoben werden. Wirklichkeit Eigenschaften Nachbildung Das Ziel ist auch hier, eine Frage- bzw. Problem-situation auf wenige wichtige und für die Lösung bedeutsame Schwerpunkte zu reduzieren. Modell zum Schneidern Alles, was als nebensächlich erachtet wird, wird außer Acht gelassen. Man lässt es einfach weg. Von anderen Modellen unterscheiden sich die mathematischen Modelle durch die Art und Weise, wie diese Abbildungen gestaltet sind. Was wichtig ist, hängt vom Betrachter (Benutzer) des Modells ab. Von Bedeutung ist immer das, was man mit einem Modell erreichen oder zeigen will.  Die auftauchenden Probleme werden figürlich dargestellt oder Nimm jetzt dein AB zu Folie 2 zur Hand! Setze folgende Begriffe am richtigen Platz ein: ‚Eigenschaften‘/ ‚Nachbildung‘/ ‚Wirklichkeit‘ dann KLICK! Ein Modell ist in diesem Sinn also ein vereinfachtes Abbild der Wirklichkeit. mathematisch beschrieben: in (Schau)Bild, Skizze, Text, Tabellen in Zahlen, Variablen, Operatoren, als Gleichungen, Formeln ) Modelle können also ganz verschieden aussehen. Modell eines Wassermoleküls Stelle dir immer die Fragen: „Welcher Gegenstand soll vereinfacht gezeigt werden?“ “Wann, wozu, für wen soll die Vereinfachung dienen?“ Der Preis für Karotten plus der Preis für Obst ergibt die Gesamtkosten. Text / Sprache: 2x + 3 = 11 Gleichung Modell eines Autos zum Spielen. Wie sieht wohl ein Sammler-Modell eines Autos aus? Kunst: Modell eines Kopfes a b c hc Überlegungsfigur 𝐴=𝜋 𝑟 2 Formel Nimm jetzt dein AB zu Folie 2 zur Hand! Entscheide dich zu jedem Modell für den richtigen Namen! ... dann KLICK! Mathematische Modelle sind (auch) Abbildungen der Wirklichkeit. Problemsituationen werden dabei abstrahiert und/oder in eine mathematische Sprache übersetzt. Insektenmodell-Modell ... stark vereinfacht! 1

3 ... zum MODELL des Problemlösens
Vom PROBLEMLÖSEN ... ... zum MODELL des Problemlösens Erst seit etwa 50 Jahren denken Wissenschaftler über den richtigen Weg des Problemlösens intensiv nach. IV ÜBERPRÜFEN, BEWERTEN I VERSTEHEN Ich weiß ... Ich frage ....  Problem eingrenzen (meine Erfahrung? sprachl. Hürden?) Unsere Liste von 16 Punkten ist also noch relativ jung. Sie hat sich in der Praxis bewährt. Zuvor wurden natürlich auch Probleme gelöst. Lehren aus  Fehlern ziehen. ... ggf. in Teilprobleme aufteilen. Nenne den nach deiner Ansicht wichtigsten Schritt beim Lösen eines Problems dann KLICK!  Vorüberlegungen überprüfen. Wenn auch alle 16 Punkte bedeutsam erscheinen, so wirkt die Liste auf uns doch unübersichtlich (... und vielleicht auch langweilig). Gibt es mehrere Lösungswege?  Eine Vorstellung (Bild) entwickeln. Kann es so stimmen? Antwort  I II III IV Frage: „Sind alle Schritte gleich wichtig?“ Problem gelöst?  Kern des Problems  beschreiben! (Worum geht es?) Schon Albert Einstein ( ) wusste aus eigener Erfahrung: „Das Problem erkennen ist wichtiger als die Lösung finden, denn die genaue Darstellung des Problems führt fast automatisch zur richtigen Lösung“. Sonderfälle beachten!   Über geeignete Hilfen nachdenken! Gibt es eine allg.  Regel?  Kennst du vergleichbare Fälle? Oder mit anderen Worten: „Die Definition des Problems ist bereits die halbe Lösung!“ (Herbert Mattle / geb. 1951) Suche nach  Begründungen!  Alles überdenken ➢ Lösungsplan! ? Rechnen, beweisen, ↑ widerlegen! (z.B. in Mathe: Versuche, Zeichnungen, Rechnungen) Mache dich zusätzlich mit dem Begriff ‚Modell‘ vertraut! Frage: „Gibt es eine Darstellung, die anregender, übersichtlicher und informativer ist?“ II LÖSUNGSPLAN ? III PLAN DURCHFÜHREN Wir versuchen es mit der folgenden Modell-Darstellung: Das Modell zeigt: Es handelt sich wirklich um einen Kreislauf. Im Abschnitt IV ÜBERPRÜFEN, BEWERTEN musst du immer das Ausgangsproblem (Abschnitt I) in den Blick nehmen. Eine größere Darstellung (DIN A4) findest du auf der Folie 14. 1

4 Sachrechnen Textaufgaben ... schon immer ein Problem für Schüler,
für Eltern ... und Lehrer! Wir haben ja ein Modell kennen gelernt, das uns zeigt, wie man mit Problemen umgeht. Vielleicht wirst du verstehen, weshalb dir manche Textaufgaben leicht(er), manche schwer(er) vorkommen. Wir wollen es auch auf dieses Problem anwenden und übertragen. Es wird also ein Spezialmodell für Textaufgaben entstehen: Beim Arbeiten in den verschiedenen Lehrwerken haben wir im Zusammenhang mit dem Lösen von Anwendungsaufgaben immer vom gesprochen. 4-Stufen-Prinzip Nimm jetzt dein AB zu Folie 13 zur Hand! Ergänze die Lücke!... dann KLICK! Im Lehrwerk „Modellieren“ wird dir dafür eine Begründung und ein besseres Verständnis gegeben werden. „Lösungsplan“ für Textaufgaben 1

5 1 So hat der Lösungsplan einmal stark vereinfacht ausgesehen.
In unseren Lehrwerken haben wir im Laufe der Anwendungen erkannt, dass es sich ja um einen Kreislauf handelt. Das nebenstehende Modell wäre bei komplexen Textaufgaben bisweilen (noch) nicht ausreichend. Also wurde es von uns nach und nach feiner gegliedert. Damit hast du eine weitere wichtige Eigenschaft von Modellen so nebenbei kennen gelernt. Das tut man aber nur, wenn dazu eine Notwendigkeit besteht. Modelle kann man weiter entwickeln und verfeinern ... ... oder auch noch stärker vereinfachen. (Jeder wie er‘s braucht!) 1

6 DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ ... ein Kreislauf
... dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff „Modellieren“. beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Hintergrund ist eine wirklichkeitsnahe Geschichte. (oft) In Ruhe durchlesen . Ist die Frage schon gestellt? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich mir das vorstellen? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Was ist der Kern des Problems Zusammenhänge suchen und herstellen, übersetzen in mathematische Sprache (z.B. Zahlen, Symbole, Tabellen, Skizzen, textliche Aussage, Zeichnungen, Gleichungen  Modelle). Entscheidungen zum Lösungsweg ‚Modellbildung‘ eigentliche ☞ 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z.B. Grundrechenarten/ Gleichungen/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen bis zum Ergebnis ... ist eigentlich ein KREISLAUF kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. Vergleiche mit der vorigen Folie! ... dann KLICK! 1

7 PROBLEMLÖSEN MODELLIEREN 1 Modellieren zu Folie 7 allgemeines Modell:
MATHE-Modell für Textaufgaben: allgemeines Modell: ‚4-Stufen-Prinzip‘: 8. Alles überdenken  Lösungsplan! 9. Bestätigen oder widerlegen! (Versuche, Zeichnungen / Rechnungen) 10. Suche evtl. nach Begründungen! 11. Gibt es eine allgemeine Regel? 12. Sonderfälle beachten! 7. Kennst du vergleichbare Fälle? 13. Problem wirklich gelöst? 14. Kann es so stimmen? ➣ Antwort 16. Lehren aus Fehlern ziehen. 1. Problem eingrenzen (z.B.: gegeben / gefragt / sprachl. Hürden?) ggf. in Teilprobleme aufteilen. 3. Vorüberlegungen überprüfen. 5. Kern des Problems kurz beschreiben! Worum geht es? 6. Über geeignete Hilfen nachdenken! 4. Eine Vorstellung (Bild) entwickeln. 15. Gibt es mehrere Lösungswege? Ruhig und konzentriert durchlesen (bzw. zuhören). Stufe: “Sich ein Bild machen“ Habe ich Erfahrungen mit/Vorstellungen zu dem Thema? verstehen ... erst mal Fehlen noch Informationen? Wo und wie finde ich sie? Sind unnötige Informationen im Text versteckt? Was ist der Kern des Problems? 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Lösungsplan ? ... mein Zusammenhänge suchen und herstellen. ... in mathematische Sprache (Modelle) übersetzen. Entscheidungen zum Lösungsweg? Nimm dein Arbeitsblatt ‚AB zu Folie 7‘ und ordne dem allgemeinen Modell die Lösungsschritte des ‚4-Stufen-Prinzips‘ zu! ... dann erst KLICK! Rechnen oder zeichnen im Modell. 3. Stufe: „Mathematische Werkzeuge nutzen.“ durchführen ... Plan z.B. Grundrechenarten, Gleichungen, Gleichungssysteme, Zeichnungen, Graphen jeweils bis zum Ergebnis zurück von AB 7 ? ... dann erst KLICK zur Überprüfung! Ergebnis kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden! 4. Stufe: „Überprüfen und Antwort“ ... überprüfen, bewerten Wieder Bezug nehmen und einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen des Ergebnisses in die gesprochene Sprache. (Alltagssprache).  d.h. Antwortsatz 1

8 Rechnen oder zeichnen im (Zusammenhang mit dem) Modell.
Unsere Zielsetzung für die kommenden Übungen wird sein, in verschiedenen Textaufgaben von Lehrwerken ganz bestimmte Teilschritte des Modellierens zu erkennen und zu benennen. In einem kleinen Glaskrug haben wir einen Rest von 1/3 Liter Olivenöl. In einer Literflasche sind noch 3/5 Liter des gleichen Öls. Drei Lösungsschritte aus dem Verlauf des 4-Stufen-Prinzips Jedes Schaubild gehört zu einem der Lösungsschritte. Habe ich Erfahrungen mit / Vorstellungen zu dem Thema? ... in mathematische Sprache (Modelle) übersetzen. Diese Aufgabe entstammt dem Lehrwerk „Bruchrechnen I“ / Folie 12. Wenn du alle drei Lösungsschritte richtig zugeordnet hast, dann hast du den Begriff „Modell“ richtig angewandt. Du begegnest im Laufe des dortigen Lösungsweges drei verschiedenen Schaubildern I, II und III. Rechnen oder zeichnen im (Zusammenhang mit dem) Modell. Nimm AB 8 zur Hand! Ordne jedem Schaubild den zutreffenden Lösungsschritt aus dem 4-Stufen-Prinzip zu! 1/3 l 3/5 l 1 Liter (1l) I 1/3 3/15 ? 1/3 l 3/5 l + = 5/15 l 9/15 l 14/15 l 1 Liter (1l) II 1/3 l 3/5 l III zurück von AB 8 ? dann erst KLICK! 1

9 Wenn du wieder zurück bist, ... KLICK!
Alltagsanwendung: EINFACHSTE QUADRATISCHE GLEICHUNG Bei einer Baulandumlegung erhält Bauer Löbau für einen rechteckigen Acker, der 15m breit und 75m lang ist, wie alle anderen Eigentümer einen 20%igen Flächenabzug. Er bekommt ein neues quadratisches Baugrundstück mit einer Seitenlänge von 30m zugewiesen. Bauer Löbau und sein Architekt überprüfen auf zwei verschiedenen Rechenwegen die Richtigkeit der Zuteilung. Folie 3 im Lehrwerk „Quadratische Gleichungen“ Stufe: “Sich ein Bild machen.“ Hintergrund ist eine reale Geschichte. Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich die Angaben auf ein Bild/eine Skizze reduzieren? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Muss ich selbst Entscheidendes hinzu fügen? Klicke hier zuerst durch den gesamten Lösungsweg! Verfolge genau die Einzelheiten des 4-Stufen-Prinzips! 2. Stufe: Vom Bild zur Mathematik Zusammenhänge suchen und herstellen, Alltagssprache  mathematische Sprache! Formeln, Gleichungen? Zeichnerische Lösungen? Vorstellungen zum Lösungsweg (Modelle) Gehe jetzt zu deinem ‚AB zu Folie 9‘ ! Löse die Aufgabe aus dem Gedächtnis! 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Auswerten, bewerten einordnen. Einbetten in die erzählte Geschichte! 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder Zeichnen! Wenn du wieder zurück bist, ... KLICK! 1. Lösungsweg: 2. Lösungsweg: geg.: Stufe 1 Frage: Wurde die zugeteilte Fläche richtig berechnet? aR = 75m bR = 15m AR = aR ∙ bR ∙ 0,8 AQ = aQ2 aQ = 30m Wenn ich den um 20% verminderten Flächeninhalt des Ackers berechne, dann muss er gleich groß sein wie der des quadratischen Bauplatzes. Aus der Ackerfläche AR erhalte ich nach dem Flächenabzug die Quadratfläche AQ des Bauplatzes. Daraus berechne ich die Länge der Quadratseite. Diese muss aQ= 30m betragen. Stufe 2 Abzug 20% AR AQ Verlaufsmodell: I. AR  Abzug II. AQ II ! ! Verlaufsmodell: AR  Abzug  AQ  aQ= 30m I = II Stufe 3 AQ beträgt 80% von 1125m2: AQ = aQ2 AR = aR ∙ bR 80% von 1125m2: AQ = aQ2 AR = aR ∙ bR 900m2 = aQ2 aQ2 = 900m2 √ AR = 75m ∙ 15m 1125m2 ∙ 0,8 = AQ = 30m ∙30m AR = 75m ∙ 15m AQ = 1125m2 ∙ 0,8 aQ = m2 √ AR = 1125m2 900m2 AQ = 900m2 AR = 1125m2 AQ = 900m2 aQ = 30m Stufe 4 Der verkleinerte Acker (Flächenabzug) ist flächengleich mit dem Bauplatz. Die Überprüfung ergab die angegebene Seitenlänge des quadratischen Bauplatzes. 1

10 1 Zuerst noch Bild/Skizze, dann Modell! AR AQ = aR ∙ bR = aQ2
Die Textaufgabe stammte aus dem Lehrwerk „Quadratische Gleichungen“(Folie 3). Wir haben dort mit Hilfe einer Problemstellung aus dem prakt-ischen Leben die Lernenden mit der einfachsten quadratischen Gleichung y = x2 bekannt gemacht. Verfolge das 4-Stufen-Prinzip auf dem Ausdruck von „Modellieren_EF“ zu Folie 6 „noch einmal genau! ... und nimm jetzt dein AB zu dieser Folie 10! In welchem Moment entstand aus der bildhaften Skizze (Stufe 1) das eigentliche mathematische Modell in der Stufe 2? Kehre erst hierher zurück, wenn du den ersten Teil der Fragen beantwortet hast. Da hier ein ‚schönes‘ Beispiel für das „Modellieren“ gegeben war, haben wir die günstige Situation dazu genutzt, Lernende mit dem ‚4-Stufen-Prinzip‘ etwas vertrauter zu machen. ... dann erst KLICK! Der eigentliche Schritt in die Mathematik (zum Modell) ist erfolgt, als zwischen die Skizzen der Grundstücke der Pfeil als Rechenanleitung (Operator) eingeführt wurde. Du bist inzwischen Fachfrau/Fachmann und hast schon einen besseren Einblick und Überblick. Wir werfen jetzt also einen Blick hinter die Kulisse. Vom Bild ... AR AQ = aR ∙ bR Abzug 20% = aQ2 ... zum Modell: Durch welche Eingaben wurde dieses Modell noch verfeinert (ergänzt)? Kurze symbolische, dann sprachliche Form Übersetze diese mit mathematischen Symbolen dargestellte Argumentation zurück in eine sprachlich/textliche Darstellung des Lösungsverlaufes! ... nimm jetzt wieder dein AB zu Folie 10! Verlaufsmodell des zweiten Lösungsweges in einer kurzen symbolischen Darstellung: Kehre erst hierher zurück, wenn du alle Fragen beantwortet hast. ! Aus der Ackerfläche AR erhalte ich nach dem Flächenabzug die Quadratfläche AQ des Bauplatzes. Daraus berechne ich die Länge der Quadratseite. Diese muss aQ= 30m betragen. AR  Abzug  AQ  aQ= 30m ... dann erst KLICK! Zum ersten Lösungsweg wurde in Text/Sprache ein Modell des Lösungsverlaufes dargestellt: Übersetze diese sprachlich bzw. in Textform verfasste Argumentation in eine kurze symbolische Darstellung des Verlaufsmodells! Wenn ich den um 20% verminderten Flächeninhalt des Ackers berechne, dann muss er gleich groß sein wie der des quadratischen Bauplatzes. Verlaufsmodell: I I. AR  Abzug II II. AQ ! Sprachliche Form, dann kurze symbolische Form I = II 1

11 Die Füllmenge V ist abhängig von der Zeit t.
Lösung zu Folie 11 2 Aufgaben: GRAPHISCH LÖSEN ... rechnerisch überprüfen Ein Tauchbecken I (5 m3) wird gefüllt. In jeder Stunde laufen 0,5 m3 zu. Nimm dein AB für Folie 11 zur Hand! Kennzeichne darauf jeweils durch verschieden farbige Kringel die Stufen des „4-Stufen-Prinzips“! Ein Tauchbecken II (5 m3) mit einem Restinhalt von 2 m3 wird gefüllt. In jeder Stunde laufen 0,5 m3 zu. 5 m3 2 m3 V = t1•0,5 2 m3 3 m3 V = t2•0, Die Füllmenge V ist abhängig von der Zeit t. V = 0,5t1 V = 0,5t Die Variablen müssen nicht immer x und y heißen! V = 5 m3 Zulauf Z = 0,5 m3 h V = 3 m3 Zulauf Z = 0,5 m3 h Zum Zeitpunkt t = 0 sind es 0 m3  Klicke hier erst, wenn du AB 11 bearbeitet hast. Zum Zeitpunkt t = 0 sind es (schon) 2 m3  V[m3] Du klickst jetzt Schritt für Schritt den Lösungsweg der beiden Aufgaben durch. Dabei achtest du sehr genau darauf, wann jeweils eine der vier Stufen neu beschritten wird. Du kannst zur Orientierung das AB zu Folie 6 benutzen! 1. Ursprungsgerade Diese Textaufgabe kennst du: Lehrwerk „Lineare Funktion“/Folie 23 voll Du könntest natürlich auch das Steigdreieck neu zeichnen. y-Achsen-Abschnitt b = 2 2. Steigdreieck: 1 yH ⤵ m = Mehr als 5 m3 haben nicht Platz! 2 xB ⤷ Nach voll t 6h V 2 5 m3 t V 2 Nach 10 h: Becken t 10h V 5 m3 Becken II ist nach 6 Std. voll. Becken I ist nach 10 Std. voll. Da die Steigung erhalten bleibt, wird die Gerade parallel nach oben verschoben. Probe: V = 0,5t Probe: 5 = 0,5t V = 0,5t1 3 = 0,5t2 5 = 0,5•t1 t2= 3/0,5 = 6 t1= 5/0,5 = 10 t[h] Versuche, das „4-Stufen-Prinzip“ zu verfolgen! 1

12 die fertig geschriebenen Gedanken anderer liest, Probleme zu lösen,
Kein Mensch lernt indem er die fertig geschriebenen Gedanken anderer liest, Probleme zu lösen, denken, sondern dadurch, dass er selbst denkt. welche löst. Mihai Eminescu ( ), rumänischer Dichter ... und dazu gehören auch Textaufgaben! 1

13 Vergleiche dann mit unserer Lösung!
Textaufgabe aus dem Bereich der Technik Stufe 1 Ein Feinmechaniker muss eine ganz spezielle Metallscheibe herstellen. Durch zwei parallel verlaufende Schnitte werden an einer Kugel zwei Kappen K1 und K2 abgetrennt, oben acht Fünfzehntel und unten sieben Zwanzigstel der Kugel. x K1 7/20 8/15 x VScheibe Bedenke alle Schritte der Stufe 1! Entscheide erst dann. Welche Frage stellt sich hier beim genauen Durchlesen des Textes? Kannst du sie dir denken? dann KLICK! Welcher Bruchteil des ganzen Kugelvolumens bleibt für die dadurch entstehende Scheibe? K2 Die Informationen, die der Text liefert, übertragen wir in die Zeichnung! Skizze Diese Aufgabe hast du schon im Lehrwerk „Bruchrechnen II“ / Folie 36 gelöst. Stufe 2 Eigentliche Modellbildung: Die Skizze zeigt Zusammenhänge. Bearbeite diese Aufgabe (Bereich Bruchrechnen) auf deinem ‚AB zu Folie 13‘ selbständig! Gedankliche Erarbeitung eines Lösungsweges: Das Volumen VS der Scheibe ergibt sich, wenn ich vom Volumen der ganzen Kugel das Volumen VK1 (Kappe1) und auch das Volumen VK2 (Kappe2) subtrahiere. Gehe Schritt für Schritt nach dem 4-Stufen-Prinzip vor! Gute Dienste kann dir die Kopie ‚AB zu Folie 6‘ leisten. Für die Scheibe bleiben genau 7/60 des gesamten Kugelvolumens übrig. Lösungsvorschrift: VS: VKugel - VK1 - VK2 (Angabe in Bruchteilen) Wenn wir die drei Bruchteile addieren, dann muss sich 1 (Ganzes) ergeben. das Ganze: Stufe 3 Probe: + = 8 7 15 20 60 Stufe 4 VS: Klicke hier erst, wenn du die Aufgabe auf ‚AB zu Folie 13‘ gelöst hast! Vergleiche dann mit unserer Lösung! 60 = 60 = 1 1

14 Modellbildung (Stufe 2)
Modellieren mit Parabel und Gerade Vorangehen im ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ Abszisse Im Hochgebirge wird eine Lawine künstlich mit einem Sprengkörper ausgelöst, der in einer Parabelkurve [y = -0,05(x -10)2 + 5] zu Tale fliegt. -45° Ende Stufe 1 Alle gegebenen Informationen aus dem Text sind in der Skizze erfasst. Von der Mündung des Wurfgerätes aus erscheint der Abhang unter einem Winkel von -45°. y = -0,05(x -10)2 + 5 y = -1x -1 Ordinate Beginn Stufe 2 Zusammenhänge suchen! Bild reduzieren! Modell bilden! Wie viele Höhenmeter unterhalb schlägt der Sprengkörper auf dem Abhang auf? Wie weit wurde der Sprengkörper nach außen geworfen? Skizze(n)  Eine ausführliche Lösung dieser Aufgabe findest du im Lehrwerk „Quadr. Fkt. /Parabel“ (Folie 25) Aufschlagpunkt + Winkelhalbierende Ursprungsgerade: Stufe 3: Gesuchtes Ergebnis durch Bearbeite diese Aufgabe auf dem ‚AB zu Folie 14‘ ! Nimm das ‚4-Stufen-Prinzip‘ als Leitfaden (‚EF zu Folie 6‘)! Berechnen der Schnittpunkte S1 und S2. Gleichsetzen: I (Parabel) = II (Gerade) yH ⤵ xB ⤷ m = -1 Modellbildung (Stufe 2) abgeschlossen: +1 Stufe 4: Die Werte-tabelle (als Probe) zeigt die Richtigkeit. m = -0,05(xS -10) = -1xS : (-0,05) (xS– 10) = 20xS  Wenn du das ‘AB zu Folie 14‘ bearbeitet hast: ... dann erst KLICK Du kannst dann hier den Lösungsweg mit den unerlässlichen Darstellungs- schritten verfolgen. xS xS = 20xS -20xS xS xS = 0 Ein Produkt hat dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Lösungsweg: Berechnen von Schnittpkt. S2. xS(xS - 40) = 0 40 xS1 = 0 yS1 = 0 →S1(0/0) xS2 = 40 yS2 = -40 →S2(40/-40) Der Sprengsatz landet 40m unterhalb der Mündung des Wurfgerätes und 40m außen am Hang. 1

15 Wenn du wieder zurück bist, ... KLICK!
Beispiel aus dem Straßenverkehr Die einzelnen Stufen des 4-Stufen-Prinzips mit den Teilschritten sind nicht immer sauber zu trennen. Sie überlappen oft; das ist nicht schlimm. Unsere Skizze: An einem staufreien Sonntag fährt Herr Sorglos in seinem BMW bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 130 km/h auf der Autobahn von Basel (Grenze) in den Norden von Mannheim (260 km). Er fährt um 8:00 Uhr los. Familie Achtsam ist im VW-Bus um 7:30 gestartet und fährt mit durchschnittlich 90 km/h nach Karlsruhe (198 km). Achtsam Ka Basel Ma 7:30 8:00 8:00 198 km vVW = 90 km/h Entwickle eine Skizze/Tabelle/Schaubild, die deine Vorstellung wiedergibt!!  Blatt a zu Folie 15 Man wird nicht alles aufschreiben. Aber durchdacht sollten die sachlichen Zusammenhänge schon werden. 7:30 260 km vBMW = 130 km/h Sorglos Wir übertragen alle Angaben, die wir dem Text entnehmen. (Was gegeben ist!) Dies hilft dir spätestens, wenn du über den Lösungsweg nachdenken musst. Auf einmal ‚fahren‘ die Autos in deinem ‚Kopfkino‘. Wie kann die Frage heißen? (Blatt a zu Folie 15) Bei KLICK geht‘s los. Ist dir klar geworden, dass du erst dann eine Frage stellen solltest, wenn du den ganzen Sachverhalt ‚im Griff‘ hast, d.h. verstanden hast? Zumindest die folgenden Schritte: Jetzt tauchen gleich zwei Fragen auf: Wer noch am Lernen ist oder einen Test schreibt, der sollte eher ausführlich schriftlich darstellen! Eine übersichtliche Darstellung ist immer wichtig! 1. Wer ist zuerst an seinem Ziel? Zeitunterschied? 2. Nach wie vielen Kilometern überholt Herr Sorglos mit seinem BMW den VW-Bus von Frau Achtsam? In Ruhe durchlesen. Ist die Frage schon gestellt? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich mir das vorstellen? Welche Schritte der 1. Stufe solltest du überdacht haben? Halte auch gleich das Ergebnis deiner Überlegungen bzw. Nachforschungen schriftlich auf dem AB fest! (ggf. Rückseite) Wir wollen, dass du alles verstehst. Deshalb halten wir auch Gedanken schriftlich fest, die sonst nicht notiert werden. Lerne aus den Gedankenspielen! Verfolge noch einmal den Verlauf unserer Gedanken. Du hast jetzt Grundlegendes geklärt und dir ein (bewegtes) Bild gemacht. Lass dich nicht durch unsere bewegten Bilder zu einer Antwort verleiten. (Die Geschwindigkeiten sind nicht wirklichkeitsgetreu dargestellt.) z.B.: „Was bedeutet folgende Aussage im Text?“ Jetzt unser Lösungsweg: Entweder ein ganz einfacher Denkvorgang (1) oder die Anwendung der Physik-Formel (2) führen zu einer Lösung durch Rechnung. (Frage 1). Vergleiche das Vorgehen! Durchschnittsgeschwindigkeit 120 km/h Gesprochen: Ermittle die Lösung für die Frage(n), wenn du schon den Lösungsweg erkennst!  Blatt b zu Folie 15 Durchschnittsgeschwindigkeit 120 Kilometer pro Stunde. Alltagssprache: „Das Auto fährt mit 120 ‚Sachen‘. Wenn du wieder zurück bist, ... KLICK! Das heißt: Das Auto legt in 1 (in jeder) Stunde 120 Kilometer zurück. Ka Ma Dann werden wir graphisch die Ergebnisse ermitteln und auch rechnerisch bestimmen. (gegenseitige Überprüfung) Was kannst du über ein Auto aussagen, das mit einer Durchschnittsgeschw. von 90 km/h fährt. Das heißt: Das Auto legt in 1 (in jeder) Stunde 90 Kilometer zurück. Die Stufen 1 und 2 des 4-Stufen-Prinzips sind vorläufig erledigt. Sie gelten für beide Fragen zur Aufgabe. Da du sicher Erfahrung mit Autos auf der Autobahn hast, hast du eine Vorstellung. 1

16 Skizze: 1. Wer ist zuerst an seinem Ziel? 8:00 198 km vVW = 90 km/h Variante 1: Vom BMW des Herrn Sorglos wissen wir, dass er in jeder Stunde 130 km zurück legt. 7:30 260 km Mehr Kopfarbeit! vBMW = 130 km/h Wie lange braucht er dann für 260 km? Graphische Lösung: 260 : 130 = 2 Herr Sorglos braucht genau 2 h. t (unabhängige Größe) ⇒ x-Achse Der zurück gelegte Weg s ist eine Funktion der Zeit t. Nicht immer sind die Rechnungen zahlenmäßig so leicht zu überblicken. Merke dir also hier genau den Rechenvorgang und wende ihn dann auf die Berechnung der Fahrzeit von Frau Achtsam an! Berechne jetzt beide Fahrzeiten auf deinem AB zu Folie 16! Wie lange braucht Frau Achtsam für ihren Weg? s (abhängige Größe) ⇒ y-Achse [km] Ma 198 : 90 = 2,2 Frau Achtsam braucht 2 h 12 min. Frau Achtsam startet zuerst. t = -0,5 ⇾ (0,5 h Vorsprung) Herr Sorglos startet 0,5 h später. t = 0 ⇾ (Ursprungsgerade) Gehe jetzt zurück zu deinem AB zu Folie 16! Entwickle dort das graphische Lösungsverfahren aus der Erinnerung! Es genügt, die Geraden zu zeichnen und die wichtigsten Stellen zu markieren, die Aufschluss über die Lösung geben! Vorteil: Schnell, kurz, logisch/ Nachteil: Oft Denkfehler! ... nach 1 h hat er 130 km zurückgelegt. ... nach 1 h hat sie 90 km zurückgelegt. Variante 2: Wissenschaftler rechnen gerne mit Formeln bzw. Formelsymbolen. ... nach 2 h hat er 260 km zurückgelegt. Ka t  time / Zeit s  Strecke / Weg v = s t |・t v  velocity / Geschwindigkeit So hast du oben auch gerechnet: Weg s durch Geschwindigkeit v s = v ・t ⬄ t = s v Mehr mechanische Formelarbeit! v ・t = s |:v Wie heißt die Formel zur Berechnung der gleichförmigen Geschwindigkeit? (Physik) Isoliere die gesuchte Größe t! Rechne jeweils die Fahrzeit des Herrn Sorglos und von Frau Achtsam aus! Herr Sorglos: Frage: Wie lange brauchen die beiden Autos? Zur angezeigten Zeit t müssen wir bei Frau Achtsam immer die 0,5 h Vorsprung hinzurechnen! Frau Achtsam: t = s v t = s v Mit Maßeinheiten kannst du wie mit Variablen rechnen. t = 260 km 130 km/h t = 198 km 90 km/h km h = km・ km h = h 0,1 h ≙ 6 min t = 2 h t = 2,2 h = 2 h 12 min kürzen Du erhälst das Ergebnis in der richtigen Maßeinheit. Vorteil: Vor allem bei komplexeren Zusammenhängen übersichtlicher! Bei konsequentem (Mit)Bearbeiten der Maßeinheiten ergibt sich so eine Kontrolle des Rechenweges. ...sonst ergibt sich für das Ergebnis eine falsche Maßeinheit. ... mit dem Kehrwert multiplizieren. [h] Herr Sorglos hat zwar eine kürzere Fahrzeit, aber er schafft es nicht, vor Frau Achtsam an seinem Ziel zu sein. Nachteil: sehr ausführlich, zeitraubend, logisches Alltags-Denken erstarrt manchmal in Formeln. Frau Achtsam ist 0.3 h = 18 min vorher an ihrem Ziel. 1

17 1 II I Frau Achtsam: ≈ 146 km Herr Sorglos: ≈ 146 km [km]
Graphische Lösung (weitere Auswertung) Lies den Zeitpunkt der Ankunft für beide Autos auf der x-Achse ab! Ma II Ankunftszeit: Abfahrt: 7 h 30 min Fahrzeit: 2 h 12 min Ankunft: 9 h 42 min VW Bus: Abfahrt: 8 h 00 min Ankunft: 10 h 00 min BMW: Fahrzeit: 2 h 00 min Ka sBMW = sVW Kannst du diese Überlegung im Graphen überprüfen? Wenn wir die Fahrten in ihrem wirklichen -zeitlich versetzten- Verlauf betrachten, so gibt es einen interessanten Moment zu betrachten. Kannst du formulieren, was im Schaubild gerade gezeigt wird? I Wir erleben genau den Augenblick, in dem der VW-Bus vom BMW überholt wird. 0,1 h ≙ 6 min [h] Lies für diesen Moment grob die Fahrzeit der beiden Autos ab! Zur angezeigten Zeit t müssen wir bei Frau Achtsam immer die 0,5 h = 30 min Zeitvorsprung hinzurechnen! 7:30 9:42 tBMW + 0,5 h = tVW 10:00 8:00 Kannst du ablesen, wie weit die Autos zu diesem Zeitpunkt jeweils gefahren sind? Fahrstrecke bis zum Überholen: Fahrzeiten: Herr Sorglos: Etwas mehr als 1,1h ≈1 h 08 min Frau Achtsam: Etwas mehr als 1,6 h ≈1 h 38 min Beide sind bis zum Überholen gleich weit gefahren. Logisch! + 30 min Frau Achtsam: ≈ 146 km Herr Sorglos: ≈ 146 km Auf der y-Achse ist ablesbar: Der BMW (Herr Sorglos) überholt den VW (Frau Achtsam) noch deutlich vor Karlsruhe. 1

18 1 II Frau Achtsam: ≈ 146 km Herr Sorglos: ≈ 146 km I
Graphische Lösung (abgelesene Werte der Vorseite) [km] Ma Ankunftszeit: VW-Bus: 9 h 42 min BMW: 10 h 00 min Du hast jetzt den Lösungsweg der gesamten Aufgabe äußerst ausführlich erklärt bekommen. 1. Du solltest jetzt den gesamten Lösungsverlauf rechnerisch darstellen können. (4-Stufen-Prinzip) 2. Den Abschluss soll die zeichnerische Überprüfung bilden, in der alle Lösungen farblich hervorgehoben werden. Stelle (nur) solche Rechnungen übersichtlich dar, die für den logischen Aufbau des Lösungsverlaufes nötig sind. Die Lösung muss man korrigieren bzw. bewerten können! Die reinen Denkprozesse erscheinen nicht! Nutze das AB zu Folie 18 ! Kennzeichne die 4 Stufen durch Kringel! Kehre dann erst zurück zu dieser Folie! II Fahrzeiten: Herr Sorglos: Etwas mehr als 1,1 h ≈1 h 08 min Frau Achtsam: Etwas mehr als 1,6 h ≈1 h 38 min Ka Fahrstrecke bis zum Überholen: Frau Achtsam: ≈ 146 km Herr Sorglos: ≈ 146 km sBMW = sVW sBMW = sVW Kann man diese (abgelesenen) Werte auf dem Weg über eine Berechnung bestimmen und so überprüfen? Rechnerische Lösung : Sieh dir die rechnerische Lösung genau an! Du musst sie gleich nachvollziehen. Oder kannst du das schon? ... dann ab zum AB zu Folie 18 (unten)! Tabellarische Übersicht (Modell für Frage 2) v t s BMW VW Bus 130 km/h tBMW sBMW sÜ I sÜ = 130・tBMW I sÜ = 130・tBMW Dieses Modell führt uns zum Rechenweg! I 0,1 h ≙ 6 min tBMW + 0,5 h 90 km/h tVW sVW sÜ II sÜ = 90(tBMW+ 0,5) II sÜ = 90(tBMW+ 0,5) Bei KLICK erscheint unser (geraffter) Lösungsvorschlag. [h] Die abgelesenen Werte aus dem Graphen dürfen wir nicht verwenden! Wir wollen sie ja überprüfen. 7:30 8:00 Zur angezeigten Zeit t müssen wir bei Frau Achtsam immer die 0,5 h = 30 min Zeitvorsprung hinzurechnen! tVW = tBMW + 0,5 h s = v ・ t I sÜ = 130・tBMW Das Weg-Zeit-Gesetz v = s/t lösen wir nach s auf: Zwei Tatsachen stehen fest! s = v ・ t sÜ = 130・1,125 v = s t Wichtig: Du musst auf die richtige Verwendung von Maßeinheiten achten! Die Geschwindigkeit gibst du in km/h an. Also musst du die Zeit auch in Stunden (h) angeben! So erhältst du am Schluss die richtige Maßeinheit. I = II: |・t sÜ = 146,250 km Falle! 130 ・tBMW = 90 ・(tBMW+ 0,5) s = v ・t 130 tBMW = 90 tBMW+ 45 |-90t Vergleiche mit den abgelesenen Werten! Beim Überholen gilt: Beide Autos fahren bis zum Überholen 146,250 km. Wir setzen die Angaben aus der Tabelle jeweils ein und erhalten 2 Gleichungen. 40 tBMW = 45 |:40 = sÜ tBMW = 45/40 = 1,125 h = 1h 7,5 min sÜ = Überholweg tVW = 1,125h + 0,5 h = 1,625h = 1h 37,5 min tVW = tBMW + 0,5 h 1

19 1 Beispiel aus dem Straßenverkehr (Darstellung der Lösung) Ma Ka
Stufe 4 Stufe 1 Graph zur Überprüfung An einem staufreien Sonntag fährt Herr Sorglos in seinem BMW mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 130 km/h auf der Autobahn von Basel (Grenze) in den Norden von Mannheim (260 km). Er fährt um 8:00 Uhr los. Familie Achtsam ist bereits um 7:30 gestartet und fährt im VW-Bus mit durchschnittlich 90 km/h nach Karlsruhe (196 km). Frage(n): Wer kommt als erster an seinem Zielort an? Nach wieviel Kilometer überholt der BMW den VW-Bus? Die Stufen 1 und 2 gehen in einander über. Es ist der Moment, wo mathema-tische Zusammenhänge zwischen den Textangaben hergestellt und aufgezeigt werden. Versuche beim Durchklicken der Folie 15 nach zu vollziehen, wo der Übergang sein könnte! Ka Ma geg.: Skizze 1: Stufe 2 Skizze 2 zugleich Modell Lösung: Frage 1: Wer kommt eher an? 260 : 130 = 2 t = 2 h Herr Sorglos braucht genau 2 h. Das Modell für die Frage 2 (unten) entsteht vielleicht erst zu einem späteren Zeitpunkt. Mit zunehmender Erfahrung wird man schon recht früh wissen, dass es grundsätzlich hilfreich ist. 198 : 90 = 2,2 t = 2 h 12 min Frau Achtsam braucht 2 h 12 min. Abfahrt: 7 h 30 min Fahrzeit: 2 h 12 min Ankunft: 9 h 42 min VW Bus: Abfahrt: 8 h 00 min Ankunft: 10 h 00 min BMW: Fahrzeit: 2 h 00 min Zeit-differenz: 18 min tBMW + 0,5 h = tVW Frau Achtsam kommt 18 min eher an. Frage 2: Nach wieviel km überholt der BMW? Tabellarische Übersicht (Modell für Frage 2) tBMW + 0,5 h = tVW s = v ・ t Stufe 3 I sÜ = 130・tBMW II sÜ = 90(tBMW+ 0,5) Beide fahren 146,250 km bis zum Überholen. 1

20 Mathematik im Alltag entdecken! Alltag in der Mathematik entdecken!
1. Du hast inzwischen verstanden, dass eine wesent-liche Rolle beim Lösen von Textaufgaben deine Erfahrung spielt, die du im alltäglichen Geschehen bisher gesammelt hast. Lehrerinnen/Lehrer haben viel mehr Erfahrung im Laufe des Lebens gemacht. Ohne Erfahrung ist das Übersetzen des Textes in die mathematische Sprache fast nicht möglich (Stufe 2). Das ist normal! Dir fällt es jetzt auch nicht mehr schwer, aus dieser Skizze (Größenangaben, Symbole, Abkürzungen, Pfeile) eine reale Geschichte rückwärts zu entwickeln. Du kennst ja die Zusammenhänge! Drehe die Überschrift mal um! 2. Ganz oft versteckt sich äußerlich gesehen in zwei Textaufgaben, die scheinbar gar nicht zu vergleichen sind, genau der gleiche mathematische Hintergrund. Zwei Seiten der selben Medaille. Wenn ein Lehrer einen Mathe-Test plant, dann überlegt er sich eine neue Alltagsgeschichte zu einem Mathe-Vorgang, den er am Tag vorher in der Schule behandelt hat. Das folgende Beispiel einer Textaufgabe wird dir zunächst fremd erscheinen. Deshalb werden die Phasen des Erklärens wieder etwas breiter ausfallen, als dies für die eigentliche schriftliche Lösung und ihre Darstellung nötig wäre. Also: Bewundere deine Lehrer nicht allzu sehr! Sie haben als Schüler noch mit den gleichen Problemen gekämpft! Vom rein Rechnerischen her wird dir nichts Neues begegnen! 1

21 Berechnung des Strompreises
Zwei Fälle I und II sind denkbar. Berechnung des Strompreises Skizzen-Modelle: II € kWh Herr Meyer hat einen jährlichen Stromverbrauch (V) von 980 kWh. Der Stromversorger ‚GO‘ berechnet einen monatlichen Grundpreis (GP) von 9 € und einen Arbeitspreis (AP) von 25,95 Cent/kWh. I € kWh. RUN GO RUN GO ? V* ? Ehepaar Spar verbraucht 1905 kWh pro Jahr und hat beim Stromversorger ‚RUN‘ einen Arbeitspreis von 22,05 Cent/kWh. Sein Grundpreis beträgt 160 € pro Jahr. I: Der Anbieter ‚GO‘ ist im betrachteten Jahreszeitraum immer billiger. Herr Meyer sollte keinesfalls wechseln. Eine Kilowattstunde [1 kWh] Strom ist eine genau festgelegte Portion elektrischer Energie. Deute den Verlauf der Geraden! Sie stellen den Anstieg der Jahreskosten im Vergleich zwischen den Stromversorgern ‚GO‘ und ‚RUN‘ dar. (zuerst Skizze I, dann Skizze II)  AB zu Folie 21 Herr Spar rät Herrn Meyer, zum Anbieter ‚RUN‘ zu wechseln. II: Der Stromversorger ‚GO‘ ist im betrachteten Jahres- zeitraum zuerst billiger. Nach einem bestimmten Zeitpunkt (Schnittpunkt) ist Stromversorger ‚RUN‘ billiger. Der Arbeitspreis (AP) bezeichnet die Kosten für den Verbrauch von genau einer Kilowattstunde (1 kWh) Strom. Er wird in Cent bis auf Hundertstel genau angegeben. Maßeinheit: Cent pro Kilowattstunde [Cent/kWh] Die 1. Stufe des 4-Stufen-Prinzips ist abgeschlossen. Die 2. Stufe des Modellierungskreislaufes beginnt nun. KLICKE hier nur dann, wenn du in die Darstellung unseres Lösungsweges einsteigen willst! Die Kernfrage lautet: „Zahlt Herr Meyer weniger, wenn er zum Anbieter ‚RUN‘ wechselt?“ Hast du den Text schrittweise untersucht? Hast du unbekannte Begriffe geklärt? Wenn es einen solchen Schnittpunkt der Geraden (Skizze II) bzw. einen „Verbrauchspunkt V*“ gibt, bei dem die Kosten bei ‚GO‘ und bei ‚RUN‘ für Herrn Meyer und Ehepaar Spar gleich hoch sind, dann ... Der Grundpreis (GP) ist ein fester Betrag, der jährlich oder monatlich erhoben wird. Welche Zusammenhänge kann man aus dem Text lesen? Gehe nach dem 4-Stufen-Prinzip vor und stelle die richtige(n) Frage(n)!  AB zu Folie 21 (ggf. auch Rückseite) Kehre nur dann zurück, wenn du fertig bist oder nicht weiter kommst! Am Anfang des Jahres (bevor überhaupt 1 kWh Strom verbraucht ist) wird schon der Grundpreis berechnet. kommt es darauf an, ob der Jahresverbrauch von Herrn Meyer höher oder niedriger liegt als dieser „Verbrauchspunkt“ V*. Der Verbrauchspreis (VP) wird in Abhängigkeit vom wirklichen Verbrauch (V) an Strom berechnet. Dann steigen die Kosten in der Folge des verbrauchten Stromes. Die Kosten sind eine Funktion des Verbrauchs. Tabellen-Modell: Der Grundpreis (GP) bildet zusammen mit dem Verbrauchspreis (VP) die Kosten (K), die der Verbraucher an den jeweiligen Stromanbieter (Stromversorger) entrichten muss. Skizze II: Wovon hängt es ab, ob Herr Meyer IN DIESEM FALL vom Anbieter ‚GO‘ zum Anbieter ‚RUN‘ wechseln soll?  AB zu Folie 21 Lösungsweg: 1. Schritt: Wir müssen zuerst ermitteln, ob es überhaupt einen solchen Verbrauchspunkt V* (bzw. Schnittpunkt) gibt. Arbeits-preis AP Grund-preis GP Verbrauch [kWh] V Verbrauchs-Preis VP Kosten K 25,95 Cent/kWh 12*9 € = 108 € 2. Schritt: Wenn es einen Schnittpunkt im Jahreszeitraum gibt, dann entscheidet der Jahresverbrauch von Herrn Meyer, ob ein Wechsel sinnvoll ist. ‚GO‘ xGO VP = V * AP K = VP + GP x-beliebig ‚RUN‘ 22,05 Cent/kWh Übersetze alle Angaben aus dem Text in die mathematische Sprache (Tabelle? / Formeln? / Gleichungen?) Es wird noch nicht gerechnet!  AB zu Folie 21 160 € xRUN 3. Schritt: Egal, ob du auf dem Weg über ein Schaubild oder mittels Rechnung zum Ergebnis gelangen willst: Du musst die Texte in Gleichung(en) übersetzen. Die 2. Stufe des 4-Stufen-Prinzips ist jetzt mit der eigentlichen Modellbildung abgeschlossen. Diese Stufe beinhaltet in der Regel die schwierigste (Denk)Arbeit. 1

22 Stufe 3 und 4 des „Modellierungskreislaufs“
Arbeits-preis AP Grund-preis GP Die Kosten (K) ermittelt man, indem man den Verbrauch (V) Verbrauch [kWh] V Verbrauchs-Preis VP dann den Grundpreis (GP) addiert. mit dem Arbeitspreis (AP) multipliziert und Kosten K 0,2595 €/kWh 12*9 € = 108 € ‚GO‘ xGO VP = V * AP K = VP + GP x-beliebig V*AP K = GP ‚RUN‘ 0,2205 €/kWh 160 € xRUN ? KGO = KRUN Wir müssen zuerst den Arbeitspreis in [€/kWh] umwandeln. Rechnerische Lösung: Kosten zu x-beliebigem Verbrauch bei ‚GO‘: Drücke in Worten aus, was diese Formel besagt!  AB zu Folie 22 kürzen I KGO = xGO [kWh]*0,2595 [€/kWh] € ? ? Entwickle durch Einsetzen der Werte je eine Gleichung, mit deren Hilfe du die Kosten KGO bzw. KRUN bei einem beliebigen Verbrauch xGO bzw. xRUN ausrechnen kannst.  AB zu Folie 22 Kosten zu x-beliebigem Verbrauch bei ‚RUN‘: x II KRUN = KRUN = *0, xRUN [kWh]*0,2205 [€/kWh] € Der Jahresverbrauch von Herrn Meyer liegt bei 980 kWh. Gilt Skizze I oder Skizze II? Wo etwa liegt der Jahresverbrauch von Herrn Meyer in der Skizze im Vergleich zu V*= 1333,3...? Soll Herr Meyer zum Anbieter ‚RUN‘ wechseln?  AB zu Folie 22 Prüfe durch das Gleichsetzungsverfahren, ob es einen Verbrauchspunkt V*= xGO = xRUN und damit einen Schnittpunkt gibt, bei dem die Kosten KGO und KRUN genau gleich hoch sind.  AB zu Folie 22 Die Kosten des Anbieters ‚GO‘ sind in diesem Bereich niedriger als die des Anbieters ‚RUN‘. Wir prüfen durch das Gleichsetzungsverfahren I = II, ob es den besagten Verbrauchspunkt V* x und somit auch den Schnittpunkt der Geraden gibt, bei dem die Kosten KGO und KRUN genau gleich hoch sind. Herr Meyer sollte dem Ratschlag des Herrn Spar nicht folgen! Anbieter ‚GO‘ ist (noch) billiger. Annahme: I KGO = II KRUN gilt, wenn xGO = xRUN = x Zurück zu unserer Annahme: 0,2595x = 0,2205x |-0,2205x Es gibt also einen ganz realen Verbrauchswert V* = x, zu dem wir nun die Kosten KGO = KRUN ausrechnen: Es gibt einen Schnittpunkt! 0,039x = 160 |-108 0,039x = 52 |:0,039 KRUN = KGO = 454 € Somit ist erwiesen, dass Skizze II die Wirklichkeit beschreibt. 1 V*  x = 1333,3 kWh 1333,3... Genau bei einem Verbrauch von 1333,3... kWh betragen die Kosten bei beiden Anbietern 454 €.

23 y-Achsen-Abschnitte:
K [€] Stufe 3 und 4 des „Modellierungskreislaufs“ Zeichnerische Lösung: IGO IIRUN Bestimmungsgleichungen (Folie 22)  Funktionsgleichungen I KGO = xGO *0, GO: I y = 0,2595x KGO = KRUN II KRUN = xRUN *0, RUN: II y = 0,2205x Die Kosten K sind die abhängigen Größen und sind auf der y-Achse abgetragen. Der Verbrauch V ( unabhängige Größen) ist auf der x-Achse abgetragen. Zeichne jeweils mit der y-Achsenabschnitts-Konstanten b und dem Steigungsfaktor m die beiden Graphen (Geraden) IGO und IIRUN !  AB zu Folie 23 Wie heißen die Funktionsgleichungen für die Darstellung der Kostenentwicklung, die man zum Zweck der graphischen Lösung aus den Bestimmungsgleichungen (Folie 22) zuerst noch ableiten muss?  AB zu Folie 23 y-Achsen-Abschnitte: IGO: b = 108 IIRUN: b = 160 V* Steigungsfaktor: yH yH = 2595 10000 = 259,5 1000 V [kWh] IGO: m = 0,2595 xB xB Jahresverbrauch von Herrn Meyer: 980 kWh. Prüfe nach, welcher Anbieter (GO oder RUN?) für den Jahresverbrauch von Herrn Meyer bzw. Familie Spar günstiger ist! Für wen wäre ein Wechsel sinnvoll?  AB zu Folie 23 Herr Meyer sollte nicht wechseln! ‘GO‘ ist billiger. yH 2205 10000 = 220,5 1000 = yH IGO: m = 0,2205 xB xB Jahresverbrauch von Familie Spar: 1905 kWh. Markiere den Schnittpunkt der Geraden und lies die Koordinaten ab! Was kannst du aus den Koordinaten entnehmen?  AB zu Folie 23 Familie Spar sollte auch nicht wechseln! Für Fam. Spar ist ‚RUN‘ billiger. V* ≈ 1330 kWh KGO = KRUN ≈ 455 € Vergleiche mit der Berechnung von Folie 22! Die folgende Folie 24 zeigt, dass diese Aufgabe auf einem DIN-A4-Blatt Platz hat. Überprüfe, ob das Wesentliche gezeigt ist! 1

24 Berechnung des Strompreises
I = II Gleichsetzen 0,2595x = 0,2205x |-0,2205x Herr Meyer hat einen jährlichen Stromverbrauch (V) von 980 kWh. Der Stromversorger ‚GO‘ berechnet einen monatlichen Grundpreis (GP) von 9 € und einen Arbeitspreis (AP) von 25,95 Cent/kWh. 0,039x = 160 |-108 0,039x = 52 |:0,039 KRUN = 1333,3 *0, Ehepaar Spar verbraucht 1905 kWh pro Jahr und hat beim Stromversorger ‚RUN‘ einen Arbeitspreis von 22,05 Cent/kWh. Sein Grundpreis beträgt 160 € pro Jahr. V*  x = 1333,3 kWh KRUN = KGO = 454 € Herr Spar rät Herrn Meyer, zum Anbieter ‚RUN‘ zu wechseln. Stufe 3 „Zahlt Herr Meyer weniger, wenn er zum Anbieter ‚RUN‘ wechselt?“ Stufe 1 Skizzen-Modelle: I € kWh. RUN II € kWh GO Funktions-gleichungen: RUN GO II y = 0,2205x ? V* ? Tabellen-Modell: Stufe 2 Familie Spar I y = 0,2595x Herr Meyer Welche Aufgaben-teile gehören zu den Schritten 1-4 des Modellierungskreis-laufes? Kringel auf AB zu Folie 24 Jahresverbrauch von Herrn Meyer: 980 kWh. KGO = 980 *0,2595€ +108 € = 362,31 € K = V*VP + GP Herr Meyer sollte nicht wechseln! ‘GO‘ ist billiger. Jahreskosten: Bestimmungsgleichungen: Jahresverbrauch von Familie Spar: 1905 kWh. I KGO = xGO [kWh]*0,2595 [€/kWh] € KRUN = *0,2205€ +160 € = 580,05 € 1 Familie Spar sollte auch nicht wechseln! Für Fam. Spar ist ‚RUN‘ billiger. II KRUN = xRUN [kWh]*0,2205 [€/kWh] € Stufe 4

25 Löse die folgende Aufgabe auf deinem AB
Löse die folgende Aufgabe auf deinem AB! Gehe übersichtlich nach dem 4-Stufen-Prinzip vor! Es gibt zwei Lösungs- Formen zu dieser Aufgabe. Hast du eine davon? Aufgabe gelöst? Willst du dein Denken überprüfen? Erst dann ...KLICK! Diese Aufgabe hast du im 6. Schuljahr schon gelöst: Stufe 3 Kannst du kurz begründen, dass für die Mutter überhaupt ein Anteil übrig bleibt? Klara und Felix packen ihre Satteltaschen für eine Fahrradtour. bzw: Die Mutter teilt einen ganzen Brotlaib für die Verpflegung. Stufe 1 Klara bekommt die Hälfte. Felix erhält ein Drittel des Laibes. Wie groß ist der Anteil, den die Mutter für sich zurück behält? Oder: Die Mutter behält einen Rest für sich. 1/3 + 1/2< 1 Wie würdest du die bildliche Darstellung ergänzen bzw. verändern? Wie heißt in beiden Aufgaben der Hauptnenner (HN)? …… KLICK! Bilder helfen zum besseren Verständnis! HN = 6 Stufe 2 (Versuche, die Aussagen im Text und die Frage mit Hilfe der bildlichen Darstellung in eine Mathematik-Aufgabe zu übersetzen!) Wie heißt die Rechenaufgabe hierzu? Rechne! Die mathematischen Formen haben zum Ziel geführt. Zurück zur Sprache: Stufe 4 Formuliere einen Antwortsatz! KLICK! 1(Ganzes) „Die Mutter behält 1/6 des Brotlaibes.“ ? Überprüfe, ob das Ergebnis stimmen kann! Zurück zu deinem AB! Kennzeichne jetzt die vier Stufen des Modellie-rungskreislaufes! (Kringel!) Vergleiche dann (erst) mit unserem Vorschlag! 1/2 1/3 ? Dies wäre eine Möglichkeit der bildlichen Darstellung. 1/2 Dabei sind die Brot-Anteile wichtig, nicht die Personen! 1

26 1

27 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 1

28 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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