Wahrscheinlichkeitstheorie Evaluation und Forschungsstrategien – SoSe 19 Anna Enbrecht, Lukas Pieper, Jemima Preuß

Agenda 01 02 03 05 Grundbegriffe Axiome Additions- und Multiplikationssätze Stochastische Unabbhängigkeit 03 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Theorem von Bayes 05

Grundbegriffe Axiome

Formen der Wahrscheinlichkeit Subjektive Wahrscheinlichkeit = aufgrund von Vermutungen / inneren Überzeugungen Objektive Wahrscheinlichkeit = auf Basis statistischer Beobachtungen Zufallsexperiment beliebig oft wiederholbarer Vorgang nach einer ganz bestimmten Vorschrift ausgeführt Ergebnis vom Zufall abhängig  nicht im Voraus eindeutig bestimmbar (Kreyszig, 1973, S. 50)

Menge der Elementarereignisse (Ω) Grundbegriffe = Ergebnis eines Zufallsexperimentes Elementarereignis = Menge aller mit einem Zufallsexperiment verbundenen Elementarereignisse Menge der Elementarereignisse (Ω) = Teilmenge zusammengefasster Elementarereignisse Ereignis ω1=1, ω2=2, ω3=3, ω4=4, ω5=5, ω6=6 Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}={1,2,3,4,5,6} A: „Gerade Augenzahl“ ⇒ A={2,4,6}

Beispiel Schüler Nr. IQ Schulart (D) (A) (B) 2 3 7 (C) 9 6 1 (E) 4 5 8 D = die 3 intelligentesten Schüler E = die 3 am wenigsten intelligentesten Schüler A = Gymnasium B = Realschule C = Hauptschule Schulart Schüler Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 IQ 101 108 115 92 93 99 103 86 95 94 (D) (A) (B) 2 3 7 (C) 9 10 6 A 1 (E) 4 5 8 B A ={1, 2, 3} B ={4, 5, 6, 7} C ={8, 9, 10} D ={2, 3, 7} E ={8, 9, 10} C Aus den 10 Schülern wird Schüler 1 oder 2 oder 3 ausgewählt  Ereignis A tritt ein

Grundbegriffe Sicheres Ereignis Unmögliches Ereignis = Das Ereignis, das alle Elemente von Ω enthält Sicheres Ereignis = Das Ereignis, das kein Element enthält Unmögliches Ereignis F: „Person ohne Schulbesuch“ F = {} oder

Vereinigung von Ereignissen A ODER D A ∪ D = {1, 2, 3, 7} A UND D A ∩ D = {2, 3} A UND D A ∩ D = {2, 3} A UND B UND D A ∪ B ∪ D = {}

Wahrscheinlichkeit Laplace (1749 – 1827): Wahrscheinlichkeit ordnet dem Eintreten eines Ereignisses einen numerischen Wert zwischen 0 und 1 zu. Je näher die Wahrscheinlichkeit an der Zahl 1 ist, desto eher wird das Ereignis eintreten. Die klassische Methode zur Wahrscheinlichkeitsberechnung: Laplace (1749 – 1827): Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse gleich sind. Kurzform:

Wahrscheinlichkeit Mises (1936): Die statistische Methode zur Wahrscheinlichkeitsberechnung: Mises (1936): Berechnung der Wahrscheinlichkeiten anhand der relativen Häufigkeitsverteilungen statistischer Merkmale P(Ai): statistische Wahrscheinlichkeit für das i-te Ereignis ni: absolute Häufigkeit des i-ten Ereignisses im Datensatz hi: relative Häufigkeit des i-ten Ereignisses im Datensatz

Beispiel Klasse Größe der Personen in cm Absolute Häufigkeit Relative Kumulierte relative i von bis unter ni hi= n/ni 1 149 158 5 0,25 2 167 0,5 3 176 4 0,2 0,7 185 0,1 0,8 194 ∑ - 20 Wahrscheinlichkeitsbestimmung anhand empirischer Daten

Axiome Kolmogoroff (1933): 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A ∪ B) = P (A) + P(B) Mathematischer Umgang mit Wahrscheinlichkeiten 1. Für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A gilt: 2. Die Wahrscheinlichkeit eine sicheren Ereignisses ist 1 3. Sind zwei Ereignisse A und B disjunkt, gilt: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A ∪ B) = P (A) + P(B)

Wahrscheinlichkeit Die subjektive Methode zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung: Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten nach subjektiver Einschätzung: Basis: subjektives Urteil, Glauben, Überzeugung aufgrund von Erfahrungen und bisherigen Kenntnisse

ÜBUNG

Additions- und Multiplikationssätze Stochastische Unabbhängigkeit

.50 .50 Das komplementäre Ereignis 𝒑 𝑨 = 𝒑(𝟏−𝑨) Beispiel > Münzwurf 𝒑 𝑨 = 𝒑(𝟏−𝑨) .50 .50 Münze fällt auf Kopf Ereignis A Münze fällt auf Zahl Ereignis B Beispiel > Münzwurf

Spielraum aller Ereignisse Das Additionstheorem 𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒑(𝑨)+𝒑(𝑩) .50 .20 Die Kugel bleibt auf Grün (Null) liegen Ereignis A .05 Die Kugel bleibt auf Schwarz liegen Ereignis B Die Kugel bleibt auf Rot liegen Ereignis C Spielraum aller Ereignisse Beispiel > Roulette

Das Multiplikations-Theorem 𝒑(𝑪∩𝑩) = 𝒑 𝑪 ∗𝒑(𝑩) .20 .20 Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte eine 9 oder 10 ist Ereignis A .50 .50 .05 .05 Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte ein Bube ist Ereignis B Durchgang °1 Durchgang °2 Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte Herz ist Ereignis C Beispiel > Poker

Stochastische Unabhängigkeit & bedingte Wahrscheinlichkeiten “Ist dann gegeben, wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses B nicht vom Auftreten von A abhängt” – Malte Persike Stochastische Unabhängigkeit Wenn bereits eine Information gegeben ist, welche Auskunft über Wahrscheinlichkeiten geben kann Beispiel: Anna hat beim Blackjack Karten gezählt und weiß jetzt, dass man mit Buben kaum noch rechnen kann Bedingte Warscheinlichkeiten 𝒑 𝑩 = 𝒑 𝑩 𝑨) 𝒑 𝑩 𝑨) = 𝒑(𝑨∩𝑩) 𝒑(𝑨)

Übersicht A = Kopf B = Zahl Das Additionstheorem Was passiert, wenn Grün und Schwarz Erfolg bringen? 𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒑(𝑨)+𝒑(𝑩) Das komplementäre Ereignis Was passiert, wenn die Münze nicht auf Kopf fällt? 𝒑 𝑨 = 𝒑(𝟏−𝑨) A = Kopf B = Zahl Das Multiplikationstheorem Was passiert, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen? 𝒑(𝑨∩𝑩) = 𝒑 𝑨 ∗𝒑(𝑩) Elementare Fragen Sind die Ereignisse disjunkt? Welche Ereignisse können stattfinden? Sind die Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander?

ÜBUNG

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Theorem von Bayes

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsbaum

Wahrscheinlichkeitsbaum

Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Multiplikationssatz p(A∩B) = p(A) ∗ p(B|A)

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit p(B1) = p(A1) ∗ p(B1|A1) + p(A2) ∗ p(B1|A2) + p(A3) ∗ p(B1|A3) oder p(B1) = p(A1∩B1) + p(A2∩B1) + p(A3∩B1)

ÜBUNG

In Kürze Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit verrät uns, wie man in einem mehr- stufigen Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Ast einem Elementarereignis. Ein Ereignis entspricht mehreren Elementarereignissen. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der 2. Pfadregel.

Satz von Bayes

Satz von Bayes Multiplikationssatz: p(B|A) x p(A) = p(A|B) x p(B) Umformen zum Satz von Bayes: p A|B = p B|A x p A p(B) und p B|A = p A|B x p B p(A)

ÜBUNG

Danke für die Aufmerksamkeit !

Quellen Textquellen https://www.colourbox.com/vector/two-black-dice-cubes-on-white-background-vector-vector-9723482 https://www.mathebibel.de/ereignis-ereignisraum https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_von_Mises T. Krickhahn. Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler für Dummies (1. Auflage 2013). Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. J. Bortz & C. Schuster. Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Auflage 2010). Springer-Verlag Belin Heidelberg New York. Vorlesungsinhalte der Statistik-Vorlesung bei Malte Persike Bildquellen https://lernbasar.de/verschlungene-pfade.php https://de.123rf.com/photo_62342437_fragezeichen-und-mann-3d-darstellung-auf-wei%C3%9Fem-hintergrund.html http://atfd.pbworks.com/w/page/108560893/Wahrscheinlichkeit