Beweis der Orthogonalität von Vektoren www.matheportal.wordpress.com www.matheportal.com
Wann sind 2 Vektoren senkrecht zueinander? Ein Dreieck ist rechtwinklig genau dann, wenn a² + b² = c². Die Vektoren 𝑎 und 𝑏 sind rechtwinklig zueinander genau dann, wenn 𝑎 2 + 𝑏 2 = −𝑎 + 𝑏 2 −𝒂 + 𝒃
Herleitung der Formel: 𝑎 2 + 𝑏 2 = −𝑎 + 𝑏 2 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 2 + 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 2 = − −𝑎 1 + 𝑏 1 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 3 + 𝑏 3 2 𝑎 1 2 + 𝑎 2 2 + 𝑎 3 2 2 + 𝑏 1 2 + 𝑏 2 2 + 𝑏 3 2 2 = (−𝑎 1 + 𝑏 1 ) 2 + (−𝑎 2 + 𝑏 2 ) 2 + (−𝑎 3 + 𝑏 3 ) 2 2 ( 𝑎 1 2 + 𝑎 2 2 + 𝑎 3 2 ) + (𝑏 1 2 + 𝑏 2 2 + 𝑏 3 2 ) = (−𝑎 1 + 𝑏 1 ) 2 + (−𝑎 2 + 𝑏 2 ) 2 + (−𝑎 3 + 𝑏 3 ) 2 𝑎 1 2 + 𝑎 2 2 + 𝑎 3 2 + 𝑏 1 2 + 𝑏 2 2 + 𝑏 3 2 = ( 𝑎 1 2 − 2 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑏 1 2 ) + ( 𝑎 2 2 − 2 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑏 2 2 ) +( 𝑎 3 2 − 2 𝑎 3 𝑏 3 + 𝑏 3 2 ) 0 = − 2 𝑎 1 𝑏 1 − 2 𝑎 2 𝑏 2 − 2 𝑎 3 𝑏 3 /: (−2) 0 = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑎 3 𝑏 3
Ergebnis Die Vektoren 𝑎 = 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 und 𝑏 = 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 sind rechtwinklig zueinander 𝑎 1 ∙𝑏 1 + 𝑎 2 ∙𝑏 2 + 𝑎 3 ∙𝑏 3 = 0. Man nennt 𝑎 ∙ 𝑏 =𝑎 1 ∙𝑏 1 + 𝑎 2 ∙𝑏 2 + 𝑎 3 ∙𝑏 3 das Skalarprodukt der Vektoren 𝑎 = 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 und 𝑏 = 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 . Zwei Vektoren und sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.