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Koordinatensysteme in der Kristallographie Kristallographisches Koordinatensystem i. Allg. nicht kartesisch Translationsgitter Beschreibung von Kristallstrukturen Kristallphysikalisches Koordinatensystem kartesisch Tensoren physikalischer Eigenschaften Symmetrieoperationen „Probenkoordinatensystem“ Laborkoordinatensystem kartesisch einbetten physikalischer Phänomene „zum Rechnen und Messen“ Reziprokes Gitter streng durch kristallographisches Koordinatensystem definiert Beugungsphänomene Gitterebenen

Vektoren im allgemeinen kristallographischen Koordinatensystem Betrag eines Vektors 𝑠 2 = 𝑠 2 = 𝑠 𝑇 𝑮 𝑠 Winkel zwischen Vektoren cos 𝜙 = 1 | 𝑟 |⋅| 𝑠 | 𝑟 𝑇 𝑮 𝑠 Volumen der Elementarzelle 𝑉 𝐸𝑍 2 = det 𝑮

Vektoren im allgemeinen kristallographischen Koordinatensystem cos 𝜙 = 1 | 𝑟 |⋅| 𝑠 | 𝑟 𝑇 𝑮 𝑠 Winkel zwischen Vektoren: geg.: 𝑎=3.5 Å 𝑏=4.8 Å 𝑐=5.1 Å 𝛼=77.2° 𝛽=86.4° 𝛾=102.7° 𝑐 𝑟 =[121] 𝑠 = 4 2 1 𝑎 𝑏

als Mittel zur Kristallstrukturuntersuchung erkannt: P.P. Ewald (1913) Das reziproke Gitter erdacht von J.W. Gibbs: 1881 als Mittel zur Kristallstrukturuntersuchung erkannt: P.P. Ewald (1913) Theorie zum reziproken Gitter und der Beugungstheorie: P.P. Ewald (1921) P.P. Ewald (1888-1985) https://www.researchgate.net/profile/Sergei_Podorov/publication/273927256/figure/fig1/AS:294841041866756@1447306990586/Peter-Paul-Ewald-1888-1985-After-Authier-2009.png P.P. Ewald, Z. Krist. 56 (1921) 129

Das reziproke Gitter Definition 𝑎 ∗ ⋅ 𝑏 = 𝑎 ∗ ⋅ 𝑐 =0 => 𝑎 ∗ ist senkrecht zur von 𝑏 und 𝑐 aufgespannten Ebene 𝑏 ∗ ⋅ 𝑎 = 𝑏 ∗ ⋅ 𝑐 =0 => 𝑏 ∗ ist senkrecht zur von 𝑎 und 𝑐 aufgespannten Ebene 𝑐 ∗ ⋅ 𝑎 = 𝑐 ∗ ⋅ 𝑏 =0 => 𝑐 ∗ ist senkrecht zur von 𝑎 und 𝑐 aufgespannten Ebene 𝑎 ∗ ⋅ 𝑎 = 𝑏 ∗ ⋅ 𝑏 = 𝑐 ∗ ⋅ 𝑐 =1 => definiert Richtungssinn und Länge der reziproken Gittervektoren

wichtig für diese Vorlesung: Fläche im direkten Raum Das reziproke Gitter Fourier-Transformation von Objekten = Überführung in den reziproken Raum wichtig für diese Vorlesung: Fläche im direkten Raum => Punkt im reziproken Raum C. Giacovazzo, Fundamentals of Crystallography, Oxford University Press (2002)

Das reziproke Gitter reziproke Gitterparameter (allgemein) 𝑎 ∗ = 𝑏×𝑐 𝑉 = 𝑏𝑐 sin 𝛼 𝑉 𝑏 ∗ = 𝑎×𝑐 𝑉 = 𝑎𝑐 sin 𝛽 𝑉 𝑐 ∗ = 𝑏×𝑐 𝑉 = 𝑎𝑏 sin 𝛾 𝑉 cos 𝛼 ∗ = cos 𝛽 cos 𝛾 − cos 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾 cos 𝛽 ∗ = cos 𝛼 cos 𝛾 − cos 𝛽 sin 𝛼 sin 𝛾 cos 𝛾 ∗ = cos 𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛾 sin 𝛽 sin 𝛼 𝑉=𝑎𝑏𝑐 1− cos 2 𝛼 − cos 2 𝛽 − cos 2 𝛾 +2 cos 𝛼 cos 𝛽 cos 𝛾 𝑮 ∗ = 𝑮 −1 = 𝑎 ∗ ⋅ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ ⋅ 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ ⋅ 𝑐 ∗ 𝑏 ∗ ⋅ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ ⋅ 𝑏 ∗ 𝑏 ∗ ⋅ 𝑐 ∗ 𝑐 ∗ ⋅ 𝑎 ∗ 𝑐 ∗ ⋅ 𝑏 ∗ 𝑐 ∗ ⋅ 𝑐 ∗ 𝑉 ∗ = 1 𝑉

Konstruktion des reziproken Gitters Das reziproke Gitter Konstruktion des reziproken Gitters 𝑎 ∗ ⊥ 𝑏 , 𝑐 𝑏 ∗ ⊥( 𝑎 , 𝑐 ) 𝑐 ∗ ⊥( 𝑎 , 𝑏 ) W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) 1 𝑑 ℎ𝑘𝑙 2 = 1 𝑉 2 ℎ 2 𝑏 2 𝑐 2 sin 2 𝛼 + 𝑘 2 𝑎 2 𝑐 2 sin 2 𝛽 + 𝑙 2 𝑎 2 𝑏 2 sin 2 𝛾 +2ℎ𝑘𝑎𝑏 𝑐 2 cos 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛾 +2𝑘𝑙 𝑎 2 𝑏𝑐 cos 𝛽 cos 𝛾 − cos 𝛼 +2ℎ𝑙𝑎 𝑏 2 𝑐 cos 𝛾 cos 𝛼 − cos 𝛽

Das reziproke Gitter B.D. Cullity, Elements of X-ray diffraction, Addison-Wesley (1978)