Untersumme unter der Normalparabel www.matheportal.wordpress.com Parliamo.altervista.org
Untersumme unter f(x) = x² lim 𝑛→∞ 𝑈 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑂 𝑛 = 0 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡
f((n-1)∙ 𝑥 𝑛 ) = ((n−1)∙ 𝑥 𝑛 )² Man unterteilt das Intervall [0;x] in n Teile, also ist jeder Abschnitt lang! erste Rechteck: Breite: 𝑥 𝑛 Höhe: f( 𝑥 𝑛 ) = ( 𝑥 𝑛 )² zweite Rechteck: Breite: 𝑥 𝑛 Höhe: f(2∙ 𝑥 𝑛 ) = (2∙ 𝑥 𝑛 )² letztes Rechteck: Breite: 𝑥 𝑛 Höhe: f((n-1)∙ 𝑥 𝑛 ) = ((n−1)∙ 𝑥 𝑛 )² Untersumme: Un= 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 + 2∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 + 3∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 +… + (𝑛−2)∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 + (𝑛−1)∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 2 𝑥 𝑛 2 (n-1)∙ 𝑥 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑈 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑂 𝑛 = 0 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡
Un= 0+ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 + 2∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 + 3∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 + …… + (𝑛−2)∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 + (𝑛−1)∙ 𝑥 𝑛 2 ∙ 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 3 +2² ∙ 𝑥 𝑛 3 + 3² ∙ 𝑥 𝑛 3 +…...+ (n-2)² ∙ 𝑥 𝑛 3 + (n-1)² ∙ 𝑥 𝑛 3 = 𝑥 𝑛 3 ∙ (1 + 2² + 3² + ….. + (n-2)² + (n-1)²) = 𝑥 𝑛 3 ∙ 1 6 ∙ (n−1) ∙ n ∙ (2n−1) 1² + 2² + 3² + … +(n−1)² = 1 6 ∙ (n−1) ∙ n ∙ (2n−1) = 𝑥 3 6 ∙ ( 𝑛−1 𝑛 ∙ 𝑛 𝑛 ∙ 2𝑛−1 𝑛 ) = 𝑥 3 6 ∙ (1 − 1 𝑛 ) ∙1∙ (2− 1 𝑛 ) für n →∞ 𝑥 3 6 1 2 lim 𝑛→∞ 𝑈 𝑛 = 𝑥 3 6 ∙ 2 = 𝑥 3 3