Abstand windschiefer Geraden Gesucht ist der Abstand zweier sich nicht schneidenden Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 im Raum, also zweier windschiefer Geraden. Die beiden Geradengleichungen sollten in Parameterform vorliegen. Es seien 𝑢 bzw. 𝑣 die Richtungsvektoren von 𝑔 1 bzw. 𝑔 2 und 𝑝 bzw. 𝑞 die Stützvektoren.

Das Verfahren Konstruiere zwei parallele Ebenen 𝐸 und 𝐹, so dass 𝑔 1 in 𝐸 und 𝑔 2 in 𝐹 liegt. Als Stützvektoren für 𝐸 und 𝐹 verwende diejenigen der jeweiligen Geraden. Ein Normalenvektor für beide Ebenen ergibt sich durch 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 . Nun kann man den Abstand paralleler Ebenen mit dem vorher beschriebenen Verfahren bestimmen.

Die Formel Das eben beschriebene Verfahren mündet in der folgenden Abstandsformel: Hierbei ist 𝑝 der Stützvektor von 𝐸, 𝑞 der Stützvektor von 𝐹 und 𝑛 0 der Einheitsnormalenvektor, der senkrecht zu beiden Ebenen steht. Sie können sich also wieder aussuchen, ob Sie lieber das Verfahren abarbeiten oder lieber die Formel anwenden. Mein Vorschlag: Nehmen Sie die Formel! 𝑑= ∣ 𝑞 − 𝑝 𝑛 0 ∣

Rechenbeispiel Gegeben seien die beiden Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 mit 𝑔 1 : 𝑥 = 4 1 0 +𝑠 4 3 −2 ; 𝑔 2 : 𝑥 = 2 3 −1 +𝑡 0 1 2 ; 𝑠,𝑡∈ℝ Gesucht ist der Abstand zwischen 𝑔 1 und 𝑔 2 .

𝑔 1 : 𝑥 = 4 1 0 +𝑠 4 3 −2 𝑔 2 : 𝑥 = 2 3 −1 +𝑡 0 1 2 Lösung Wir berechnen zunächst 𝑛 mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 4 3 −2 4 3 −2 0 1 2 0 1 2 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 = 6 0 4 − −2 8 0 = 8 −8 4 Wir teilen noch durch 4 und erhalten: 𝑛 = 2 −2 1

Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 : 𝑔 1 : 𝑥 = 4 1 0 +𝑠 4 3 −2 ; 𝑔 2 : 𝑥 = 2 3 −1 +𝑡 0 1 2 𝑑= ∣ 𝑞 − 𝑝 𝑛 0 ∣ Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 : ∣ 𝑛 ∣= 2 2 + −2 2 + 1 2 =3 ⇒ 𝑛 0 = 𝑛 ∣ 𝑛 ∣ = 1 3 2 −2 1 Folglich ergibt sich der Abstand der beiden Geraden zu: 𝑑= 4 1 0 − 2 3 −1 ⋅ 1 3 ⋅ 2 −2 1 = 2 −2 1 ⋅ 1 3 ⋅ 2 −2 1 = 4 3 + 4 3 + 1 3 = 9 3 =3

Aufgabe Gegeben seien die beiden Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 mit 𝑔 1 : 𝑥 = 2 3 1 +𝑠 4 2 −1 ; 𝑔 2 : 𝑥 = −2 2 −0,5 +𝑡 2 −1 2,5 ; 𝑠,𝑡∈ℝ Gesucht ist der Abstand zwischen 𝑔 1 und 𝑔 2 .

𝑔 1 : 𝑥 = 2 3 1 +𝑠 4 2 −1 𝑔 2 : 𝑥 = −2 2 −0,5 +𝑡 2 −1 2,5 Lösung Wir berechnen zunächst 𝑛 mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 4 2 −1 4 2 −1 2 −1 2,5 2 −1 2,5 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 = 5 −2 −4 − 1 10 4 = 4 −12 −8 Wir teilen noch durch 4 und erhalten: 𝑛 = 1 −3 −2

Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 : 𝑔 1 : 𝑥 = 2 3 1 +𝑠 4 2 −1 ; 𝑔 2 : 𝑥 = −2 2 −0,5 +𝑡 2 −1 2,5 ; 𝑛 = 1 −3 −2 𝑑= ∣ 𝑞 − 𝑝 𝑛 0 ∣ Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 : ∣ 𝑛 ∣= 1 2 + −3 2 + −2 2 = 14 ⇒ 𝑛 0 = 𝑛 ∣ 𝑛 ∣ = 1 14 1 −3 −2 Folglich ergibt sich der Abstand der beiden Geraden zu: 𝑑= −2 2 −0,5 − 2 3 1 ⋅ 1 14 1 −3 −2 = −4 −1 −1,5 ⋅ 1 14 1 −3 −2 = − 4 14 + 3 14 + 3 14 = 2 14 ≈0,53