Seminar Geometrie SS 2003 Eulersche Charakteristik (Wiederholung/Ergänzung) Möbiusband Einbettungen Elisabeth Oettl / Paul Anton Wallner

Wiederholung: χ = (Punkte) – (Kurvenstücke) + (Flächenstücke) – (Volumenstücke) Hohlkugel S2, χ=2 2 Halbkugeln (χ=1) + 1 Äquator(χ=0) Hyperkugel S3, χ=0 2 Volumen (χ=-1) + 1 Kugel(χ =2) Hyperkugel S4, χ=2 Hypersphärischer Raum, der sich in der Zeit zyklisch ändert. 2 Halbkugeln (χ=1) + Hyperkugel (χ=0)

Die Eulersche Charakteristik einer Hyperkugel SN ist 2, wenn N gerade ist, und 0, wenn N ungerade ist!

Möbiusband Ich fühl mich wie ein Möbiusband, daß keine Innenseite fand. Ich bin sehr groß, aber dennoch seitenlos. Kein Innen, kein Außen. Kein Ja, kein Nein. Was mag ich sein? Ich bin nicht Nichts und auch nicht Etwas. Ich bin halt nur ein Möbiusband, © Gerald Knezicek

Möbiusband = Möbiusband !? Zylinderstück und durchbohrte Scheibe sind topolologisch ident. Charakteristik χ=0 Möbiusband = nicht orientierbar Vergleich zweier Möbiusbänder Spiegelbilder = enantiomorph

Rand auf Rand Geschlossene Kurve χ=0 Band (egal ob ein- oder zweiseitig) χ=0 Eigentlich müsste man zwei Möbiusbänder entlang ihrer Ränder (=geschossene Kurve) zusammenfügen können!

Flächen können von ihren Rändern aus wachsen und bilden eine geschlossene Fläche! Diese durchdringt dabei sich selbst! Selbstdurchdringungskurve ist kein Rand! Oberfläche läuft kontinuierlich weiter!

Die Charakteristik ist 0, weil sie aus zwei Möbiusbänder (χ=0) und einer geschl. Kurve (χ=0)besteht. halbeklein_zu_moeb.avi

Man kann unschwer eines der beiden Bänder erkennen! futurama_escher.avi

Einbettungen Def.: Flächen, die sich in unserem Raum selbst durchdringen, nennt man Einbettungen! Eine geschl. Kurve ist eine eindimensionale geom. Figur, welche weder Anfang noch Ende besitzt. Jordan-Kurve: geschl. Kurve, die sich nicht selbst schneidet

Man kann eine Kurve nicht durch die Anzahl ihrer Schnittpunkte charakterisieren! Durch kontinuierliches Deformieren kann man Paare von Schnittpunkten erzeugen oder verschwinden lassen!

Die Zahl der Drehungen bleibt invariant ! Die Gesamtrotation des Pfeils aller drei Kurven ist gleichbleibend 360°! Diese Eigenschaft nennt man reguläre Homotopie in der Ebene (Zahl der Drehungen des Tangentenpfeils bleibt erhalten)!

Achter-Figur: Gesamtrotation = 0° Es hängt immer vom Raum ab, in dem das Objekt dargestellt ist! In der Ebene ist es unmöglich, die beiden Schnittpunkte wegzubringen! Auf der Kugel hingegen?!

Gewisse Dinge sind in einem Darstellungsraum unmöglich, in einem Raum mit anderer Topologie dagegen möglich!

homer_3d_divx.avi Fragen: Gibt es Sachen, die in unserer Raum-Zeit definitiv möglich oder unmöglich sind? Kennen wir die Topologie unserer Raum-Zeit? Gibt es Eigenschaften, die unabhängig vom Darstellungsraum sind? homer_3d_divx.avi