Vorlesung Eigenspannungen in Bauteilen und Werkstoffen Einfluss der elastischen Anisotropie

0. Inhalt/Organisatorisches Eigenspannungen (Ursachen, Auswirkungen, Einteilung, Messung, Beispiele, …) (1) Grundlagen der Elastizitätstheorie (tensorielle Eigenschaften von Kristallen) (2) Röntgenographische Verfahren (3-9) Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen (3) Bestimmung der (absoluten) Dehnungen (4) Beugungsverfahren – Euler-Wiege (w/c-Modus) (5) Beugungsverfahren – GAXRD (6) Beugungsverfahren – Auswertung allgemeiner Spannungszustand (7) Vom Dehnungstensor zum Spannungstensor – elastische Anisotropie (8) Fehler bei der Spannungsbestimmung (9) nicht-röntgenographische Verfahren (10-11) Ultraschalltechnik (10) magnetische Verfahren (11) sonstige Verfahren (12) Literatur: I.C. Noyan, J.B. Cohen, Residual Stress, Springer 1987 V. Hauk, Structural and Residual Stress Analysis by Nondestructive Methods, Elsevier 1997 U. Welzel, J. Appl. Cryst. 38 (2005) 1

8. Einfluß der elastischen Anisotropie Was kann man mit Röntgenbeugung messen? Netzebenenabstände dfy Und was benötigt man zur Bestimmung des Spannungstensors skl? Dehnungen efy bzw eij Elastizitätstensor Cijkl bzw. Sijkl spannungsfreien Gitterparameter

8. Einfluß der elastischen Anisotropie bisher: alle Auswertungen und Analysen unter Annahme der elastischen Isotropie (n, E) die meisten Materialien/Proben sind elastisch anisotrop d.h. der Elastizitätstensor hat mehr als 2 unabhängigen Komponenten für jede {hkl} ergeben sich andere S1(hkl) und ½S2(hkl) Ursachen der elastischen Anisotropie: Auftreten einer Textur richtungsabhängige Kornwechselwirkung dadurch werden die sin2y-Plots nicht-linear

8. Einfluß der elastischen Anisotropie texturiertes Kupfer

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 stellen die Verbindung zwischen sij und eij im Sinne der röntgenographischen Eigenspannungsmessung her sind abhängig von {hkl}-Netzebene elastischen Eigenschaften des Polykristalls elastische Eigenschaften des Einkristalls können berechnet oder gemessen werden im elastisch isotropen Fall ergibt die Mittelung über alle Orientierungen 𝑆 1 =− 𝜈 𝐸 1 2 𝑆 2 = 1+𝜈 𝐸

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 zur Berechnung benötigt man die elastischen Konstanten der Einkristalle sowie ein Modell der Kornwechselwirkung Voigt (homogene Dehnung) Reuss (homogene Spannung) Kröner-Eshelby (Kugel in isotroper Matrix) Neerfeldt-Hill (Mittelung von Voigt und Reuss) XEC werden abhängig von der betrachteten Netzebene Problem: Makroskopisch (beprobtes Volumen) Isotropie  E, n Quasi-isotropie (Kristallite anisotrop, Probe isotrop)  XEC = f(hkl)  sin2y linear Anisotropie  XSF  sin2y nichtlinear

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Voigt (homogene Dehnung)

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Voigt (homogene Dehnung) Reuss (homogene Spannung)  XEC hkl-unabhängig

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Voigt (homogene Dehnung) für kubische Symmetrie: Reuss (homogene Spannung) für kubische Symmetrie 𝑆 1 = 2 𝑆 0 𝑆 11 +2 𝑆 12 +5 𝑆 12 𝑆 44 6 𝑆 0 +5 𝑆 44 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 12 + 𝑆 0 Γ ℎ𝑘𝑙 1 2 𝑆 2 = 5 𝑆 11 − 𝑆 12 𝑆 44 6 𝑆 0 +5 𝑆 44 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 11 − 𝑆 12 −3 𝑆 0 Γ ℎ𝑘𝑙 𝑆 0 = 𝑆 11 − 𝑆 12 − 𝑆 44 2 Γ ℎ𝑘𝑙 = ℎ 2 𝑘 2 + 𝑘 2 𝑙 2 + ℎ 2 𝑙 2 ℎ 2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 2

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Voigt (homogene Dehnung) für alle Kristallsymmetrien: 𝑆 1 =− 3(𝑥+4𝑦−2𝑧) 2(𝑥−𝑦+3𝑧)(𝑥+2𝑦) 1 2 𝑆 2 = 15 2𝑥−2𝑦+6𝑧 𝑥= 𝐶 11 + 𝐶 22 + 𝐶 33 𝑦= 𝐶 12 + 𝐶 23 + 𝐶 13 𝑧= 𝐶 44 + 𝐶 55 + 𝐶 66

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Eshelby-Kröner-Modell: kugelförmiger Einschluß in isotroper Matrix 𝜀 𝑖𝑗 = 𝑆 𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝑡 𝑖𝑗𝑘𝑙 〈 𝜎 𝑘𝑙 〉 t… Unterschied zwischen dem Einschluss und der Matrix Dehnung, welche durch den Unterschied der elastischen Konstanten des Einschlusses zu denen der Matrix erzeugt wird ist abhängig von der Einschlussform und seine elastischen Konstanten für die Mittelung über die gesamte Probe: 𝜀 𝑖𝑗 = 𝑆 𝑖𝑗𝑘𝑙 〈 𝜎 𝑘𝑙 〉=〈 𝑆 𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝑡 𝑖𝑗𝑘𝑙 〉〈 𝜎 𝑘𝑙 〉 𝑡 𝑖𝑗𝑘𝑙 =0

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Neerfeldt-Hill-Modell: arithmetisches (geometrisches) Mittel von Reuss und Voigt Voigt- und Reuss-Modelle erzeugen Spannungs- bzw. Dehungsdiskontinuitäten an den Grenzflächen 𝑋 𝑁𝐻 =𝑓 𝑋 𝑅 + 1−𝑓 𝑋 𝑉 die XNH für f = 0.5 liegen nahe der Kröner‘schen XK bei deutlich geringerem Rechenaufwand

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 allgemeine Bildungsvorschrift: für alle Kristallsysteme für Voigt/Reuss/Kröner-Modell 𝑆 1 = 1 2 𝛾 𝑖 𝛾 𝑗 𝛿 𝑚𝑛 − 𝛾 𝑚 𝛾 𝑛 𝐴 𝑖𝑗𝑚𝑛 0 1 2 𝑆 2 = 1 2 𝛾 𝑖 𝛾 𝑗 3 𝛾 𝑚 𝛾 𝑛 − 𝛿 𝑚𝑛 𝐴 𝑖𝑗𝑚𝑛 0 gi … Koordinaten der Netzebenennormalen im Kristallsystem (Messrichtung) d … Kronecker symbol A0ijmn … Tensorkomponenten 𝐴 𝑖𝑗𝑚𝑛 0 = 𝑐 Ω −1 𝑖𝑗𝑚𝑛 𝑠 𝑖𝑗𝑚𝑛 𝑆+𝑡 𝑖𝑗𝑚𝑛 Voigt Reuss Kröner 𝑡 Ω = 𝑐 Ω −𝐶+𝐶𝑤 −1 𝑐 Ω −𝐶 𝑆=0 w … isotroper Tensor mit: 𝑤 1111 +2 𝑤 1122 = 3𝜅+4𝐺 3𝜅 ; 𝑤 1212 = 5 3𝜅+4𝐺 4 3𝜅+6𝐺

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Zsh. Orientierungsparameter und hkl

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 In U

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch quasi-isotrope Proben röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓 = 𝑎 3𝑘 𝑎 3𝑙 𝜀 𝑘𝑙 = 𝑑 𝜙𝜓 − 𝑑 0 𝑑 0 = 𝜀 11 cos 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 12 sin 2𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 13 cos 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 22 sin 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 23 sin 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 33 cos 2 𝜓 für makroskopisch isotrope oder quasi-isotrope Proben: sin2y = linear 𝜀 𝑖𝑗 = 1 2 𝑆 2 𝜎 𝑖𝑗 + 𝛿 𝑖𝑗 𝑆 1 𝜎 𝑘𝑘 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝜀 𝜙𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝑑 𝜙𝜓 ℎ𝑘𝑙 − 𝑑 0 𝑑 0 = 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 sin 2 𝜓 𝜎 11 cos 2 𝜙 + 𝜎 12 sin 2𝜙 + 𝜎 22 sin 2 𝜙 + 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 𝜎 13 cos 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜎 23 sin 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜎 33 cos 2 𝜓 + 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝜎 11 + 𝜎 22 + 𝜎 33

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2 Spannungen und Dehnungen einzelner Kristallite sind verschieden vom mech. Mittel: daher: 𝜎 𝑖𝑗 → 𝜎 𝑖𝑗 Dehnungen, welche mittels Beugung ermittelt wurden sind stets verschieden von den mittleren mechanischen Dehnungen, aufgrund der intrinsischen Kristallanisotropie

8. Einfluß der elastischen Anisotropie aus den röntgenographischen elastischen Konstanten (S1, ½S2) werden röntgenographische Spannungsfaktoren Fij (XSF) Problem: die Ursachen für die Anisotropie müssen quantitativ behandelt werden (ODF, richtungsbhängige Kornwechselwirkung, Einkristalle, etc.) geeignete Modelle entwickeln können am ehesten im Rahmen einer nicht-linearen Anpassungen „behandelt“ werden 𝜀 33 𝜙𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝐹 𝑖𝑗 𝜙,𝜓,ℎ𝑘𝑙 〈 𝜎 𝑖𝑗 〉 makroskopisch, elastisch anisotrope Proben

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch anisotrope Proben Datenpunkte auf der y (sin2y)-Achse sollten sehr viel dichter liegen als bei den linearen sin2y-Darstellungen Fij können berechnet (aus Cijkl) oder gemessen werden Anpassung der Komponenten des Spannungstensors via 𝜒 2 = 𝑖 𝜔 𝑖 [ 𝜀 𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐 𝜎 ,ℎ𝑘𝑙,𝜙,𝜓 − 𝜀 𝑖 𝑚𝑒𝑎𝑠 ℎ𝑘𝑙,𝜙,𝜓 ] → min die Fij stehen mit den XEC in Zusammenhang 𝑚= sin 𝜓 cos 𝜙 sin 𝜓 sin 𝜙 cos 𝜓 𝐹 𝑖𝑗 𝜓,𝜙,ℎ𝑘𝑙 = 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 𝑚 𝑖 𝑚 𝑗 + 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝛿 𝑖𝑗 die Fij erzeugen die Nichtlinearität in den sin2y-Plots

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch anisotrope Proben Ferrit kaltgewalzt 211-Linie

8. Einfluß der elastischen Anisotropie makroskopisch, elastisch anisotrope Proben für Quasi-isotropie ändern sich die Fij zu: 𝐹 𝑖𝑗 0,𝜓,ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 + 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 sin 2 𝜓 0 1 2 ⋅ 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 sin 2 𝜓 0 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 0 1 2 ⋅ 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 sin 2 𝜓 0 𝑠 1 ℎ𝑘𝑙 + 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 cos 2 𝜓 können ebenso wie die XEC experimentell bestimmt werden

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2, XSF: Fij Experimentelle Bestimmung: definitionsgemäß verbinden die XEC‘s s und e einfachste Methode der Bestimmung sind in-situ Zug (einachsig)- oder (4-Punkt-) Biegeversuche: bekannte Lasten! Randbedingungen: Vermeidung (lokaler) plastischer Deformation (Verformungskompatibilität) Annahme, dass plastische Deformation die XEC nicht beeinflussen Oberflächenbehandlung der Probe darf keinen Einfluß auf den Spannungszustand haben zyklische Belastung liefert zuverlässigste Werte Messung beim Zurücknehmen der äußeren Last einfachste Analysen bei einphasigen Proben

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2, XSF: Fij Experimentelle Bestimmung: 1 2 𝑆 2 = 𝜕 𝜕 𝜎 ′ 𝜕 𝜀 𝜓 𝜕 sin 2 𝜓 = 1 𝑑 0 𝜕 𝜕 𝜎 ′ 𝜕 𝑑 𝜓 𝜕 sin 2 𝜓 = 1 𝑑 0 𝜕 𝜕 sin 2 𝜓 𝜕 𝑑 𝜓 𝜕 𝜎 ′ =− cot 𝜃 0 2 𝜕 𝜕 𝜎 ′ 𝜕 2𝜃 𝜕 sin 2 𝜓 𝑆 1 = 𝜕 𝜀 𝜓=0 𝜕 𝜎 ′ = 1 𝑑 0 𝜕 𝑑 𝜓=0 𝜕 𝜎 ′ =− cot 𝜃 0 2 𝜕 2 𝜃 𝜓=0 𝜕 𝜎 ′

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2, XSF: Fij 261 MPa 157 52 MPa a-Fe, Mo-Ka, 732-Reflex

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2, XSF: Fij 𝜕 𝑑 𝜓 𝜕 sin 2 𝜓 𝜎 ′ 𝑑 0 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑑 0 ⋅ 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 𝑑 𝜓=0 − 𝑑 0 𝜎 ′

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2, XSF: Fij 𝜕𝑑 𝜓 𝜕 𝜎 ′ 𝑑 𝜓 𝜙=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑑 0 ⋅ 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 𝑑 0 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑑 0 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 + 𝑑 0 ⋅ 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 sin 2 𝜓 𝜎 ′ 𝜎 ′

8. Einfluß der elastischen Anisotropie röntgenographische elastische Konstanten: XEC: S1, ½S2, XSF: Fij a-Fe, Mo-Ka, 732-Reflex

8. Einfluß der elastischen Anisotropie Übung: Berechnung der röntgenographischen elastischen Konstanten von g-Fe für die Modelle nach Voigt, Reuss und Neerfeldt-Hill für die gemessenen Linien (und isotrop) für Auswertung der Meßdaten Elastizitätstensor C11 = 204 GPa C12 = 133 GPa C44 = 126 GPa

8. Einfluß der elastischen Anisotropie Übung: Berechnung der röntgenographischen elastischen Konstanten von a-Messing für die Modelle nach Voigt, Reuss und Neerfeldt-Hill für die gemessenen Linien (und isotrop) für Auswertung der Meßdaten der Messingprobe Elastizitätstensor (für 35 ma.% Zn) S11 = 2.06 · 10-5 MPa-1 S12 = -8.87 · 10-6 MPa-1 S44 = 1.43 · 10-5 MPa-1