Logik in der Informatik I Michael Schenke | Logik in der Informatik 22/11/18 | Seite 1

Inhalt Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Der logische Folgerungsbegriff Kalküle Normalformen

Unstrukturierte Aussagen Aussagenlogik Unstrukturierte Aussagen

I.1 Syntax Junktoren (, , , , ) Beschreibung der korrekten Schreibweise: Der Inhalt ist für die Syntax nicht von Bedeutung. Symbolvorrat: Variablen (p, q, p1, …) Junktoren (, , , , )  : Negation  : Konjunktion („und“)  : Disjunktion („oder)  : Implikation Bei der Formel F1  F2 sagt man, F1 sei eine hinreichende Bedingung für F2 und F2 eine notwendige Bedingung für F1.  : Äquivalenz, Bikonditional Die Reihenfolge entspricht der Bindehierachie.

Induktive Definition, Induktiver Beweis Die Menge AForm der aussagenlogischen Formeln ist wie folgt definiert: Jede Aussagenlogische Variable ist eine aussagenlogische Formel. Sind F1, F2  AForm, so sind auch (F1  F2), (F1  F2), (F1  F2), (F1  F2), (F1), aussagenlogische Formeln.

I.2 Semantik Beschreibt den korrekten Inhalt einer Aussage Syntax + Semantik ≙ richtige Interpretation einer aussagenlogischen Formel Die Semantik wird zunächst auf Variablen definiert, dann auf immer größeren Teilformeln (induktiv, extensional, bottom up).

𝔹 = {0,1} (boolesche Werte). I.2 Semantik Jeder AL-Formel wird durch die Semantik ein Wahrheitswert zugeordnet. Die Aussagen können nur wahr oder falsch sein. Der semantische Bereich ist deshalb definiert über 𝔹 = {0,1} (boolesche Werte).

Eine Belegung ordnet jeder Variablen einen Wahrheitswert zu. I.2 Semantik Eine Belegung ordnet jeder Variablen einen Wahrheitswert zu. Belegungen: AVar -> 𝔹  sei die Menge aller Belegungen (Sigma). Typische Belegungen sind , .

I.2 Semantik Formel Entsprechend für die anderen Junktoren. Allgemeine Bedeutung (Meaning M) einer Formel M: AForm X   𝔹 M (p, ) =  (p) M (F1  F2, ) = M (F1, )  M (F2, ) : 𝔹 x 𝔹 𝔹 (für rechte Seite der Gleichung) Entsprechend für die anderen Junktoren.

I.2 Semantik Konjunktion Beispiel einer Wahrheitstafel: Belegung p q p ∧ q 1 2 1 3 4 AVar = {p,q} = {1 , 2 , 3 , 4} Dann gilt: M(p  q)(i) = M(p)(i)  M(q)(i) ǁ ǁ i (p) i (q) mit  : 𝔹 x 𝔹 𝔹 ,  ,:  x  ->  Mit:  | 0 | 1  | 0 | 1 ________ ________ 0 | 1 | 1 0 | 1 | 0 1 | 0 | 1 1 | 0 | 1 Aus wahrem darf nichts falsches folgen!

I.2 Semantik Disjunktion Weiteres Beispiel einer Wahrheitstafel : Sind p und q zwei Aussagen, dann ist die Disjunktion p ∨ q eine falsche Aussage genau dann, wenn sowohl p als auch q falsch sind. Andernfalls ist sie wahr. p q p ∨ q 1

I.2 Semantik Implikation Weiteres Beispiel einer Wahrheitstafel : Sind p und q zwei Aussagen, dann ist die Implikation p  q eine falsche Aussage genau dann, wenn p wahr aber q falsch ist. Andernfalls ist sie wahr. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle: p q p  q 1

I.2 Semantik Formel Unter Benutzung der Semantik kann eine Reihe von allgemeingültigen Formeln bewiesen werden. So gilt: Satz Für alle Formeln F1, F2 gilt F1  F2 genau dann, wenn (F1  F2)  (F2  F1) gilt. „Statt F1  F2 zu sagen, kann man auch sagen, dass F1 eine hinreichende Bedingung für F2 und dass F2 eine hinreichende Bedingung für F1 ist, also (F1  F2)  (F2  F1).“ * * http://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik

I.2 Semantik Formel Beweis für M(F1 F2) = M((F1 F2)  (F2 F1)) Sei   . Es gibt also vier Fälle: M(F1)() =0, M(F2)() =0. M(F1)() =0, M(F2)() =1. M(F1)() =1, M(F2)() =0. M(F1)() =1, M(F2)() =1. Wahrheitstabelle auf nachfolgender Seite

 M((F1 F2)  (F2 F1))() = M((F1  F2))() f.a.  □ I.2 Semantik Formel Belegung F1 F2 F1  F2 1 1 2 3 4 Belegung F1 F2 (F1  F2)  (F2 F1) 1 0 > 1 < 0 2 3 4  M((F1 F2)  (F2 F1))() = M((F1  F2))() f.a.  □

I.2 Semantik Formel Definition Satz Sei F  A-Form, dann sei (F) = { | M(F)() =1} die Erfüllungsmenge, also die Menge aller Belegungen, die F wahr machen. Satz (F1  F2) = (F1)  (F2) (F1  F2) = (F1)  (F2) (F1  F2) = (F2)  ( \ (F1))

I.2 Semantik Formel Beweis von (F1  F2) = (F1)  (F2): Sei    (F1  F2). Dann ist M(F1  F2) () = 1, also auch M(F1)()  M(F2) () = 1 und dann M(F1)() = 1 und M(F2)() = 1. Also ist    (F1) und    (F2) und somit    (F1)   (F2). Alle Schlüsse sind auch umkehrbar. □

I.3 Der logische Folgerungsbegriff Merksatz Ein Modell ist (bei jeder Logik) eine feste Interpretation der interpretationsfähigen Bestandteile. Die Aussage „M ist ein Modell für die Formelmenge S“ wird abgekürzt durch M╞ S. Definition Seien S eine Formelmenge und G eine Formel (in einer beliebigen Logik). Dann ist G eine Folgerung aus S (S╞ G), wenn jedes Modell, das S wahr macht, auch G wahr macht. S╞ G  Für alle M: M╞ S => M╞ G

I.4 Kalküle Definition a) Ein Kalkül ist eine Menge von Regeln. b) Eine Regel ist ein Tripel 𝑃𝑟𝑒𝑐 𝐶𝑜𝑛𝑐 𝐶𝑜𝑛𝑑 Prec: endliche Menge von Formeln -> precondition, Vorbedingung Conc: eine Formel -> conclusion, Folgerung Cond: eine entscheidbare Nebenbedingung -> condition, (Neben-) Bedingung

I.4 Kalküle Beispiele: Jedes Axiomensystem ist ein Kalkül, z.B.: Euklidische Geometrie 𝑃1, 𝑃2 𝑠𝑖𝑛𝑑 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒, 𝑃1 ≠ 𝑃2 𝐸𝑥. 𝐺, 𝐺 𝑖𝑠𝑡 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒, 𝑃1 ∈ 𝐺, 𝑃2 ∈ 𝐺 SLD-Kalkül mit nur einer Regel 𝐵1, …, 𝐵𝑛 𝐴 ←𝐴1 ⋀ 𝐴2 ⋀…⋀ 𝐴𝑚 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑚, 𝐵2, …, 𝐵𝑛 ⊝ ⊝ ist allgemeinster Unifaktor von A und B1, n1, m0,… Verschiedene Kalküle für Aussagenlogik Prädikatenkalkül

I.4 Kalküle Regeln (Auswahl) F  G ≙  F  G  (F  G) ≙  F   G   F ≙ F FG ≙ GF (FG)H ≙ F(GH) (FG)H ≙ (FH)(GH) F  F ≙ true Ftrue ≙ F Ftrue ≙ true

I.4 Kalküle 1 (p  q)  ((r  p)  (r  p)) 2  (p  q)  ((r  p)  (r  q)) 3  (p  q)  ( (r  p)  (r  q)) 4  ( p  q)  (( r  p)  ( r  q)) 5 ( p   q)  (( r   p)  ( r  q) 6 (p   q)  ((r   p)  ( r  q)) 7 ((p   q)  q)  ((r   p)   r) 8 ((p  q)  ( q  q))  (r   r)  ( p   r) 9 ((p  q)  true)  (true  ( p   r)) 10 (p  q)  ( p   r) 11 p  p  q   r 12 true  q   r 13 true

I.4 Kalküle Beobachtungen: Viele Regeln genutzt Versuche, Kalküle mit weniger Regeln zu finden. Hier wurde schon vorausschauend vorgegangen und nicht mechanisch. Bei mechanischem Vorgehen würde eine Lösung in exponentieller Zeit gefunden werden. Man braucht eine weitere Regel der Form: „Wird in einer existierenden Regel/ in einem Kalkül, eine Formel an jeder Stelle durch eine andere Formel ersetzt, so ist auch das Ergebnis ein korrekter Schluß“

Zwei fundamentale Prinzipien von Prädikaten- und Aussagenlogik I.4 Kalküle Zwei fundamentale Prinzipien von Prädikaten- und Aussagenlogik Zweiwertigkeitsprinzip (wahr/ falsch) Extensionalitätsprinzip Nach dem Extensionalitätsprinzip hängt der Wahrheitswert einer Aussage nur von den Wahrheitswerten ihrer Bestandteile ab, nicht jedoch vom inhaltlichen Sinn (ihrer Intension).

I.4 Kalküle Modus Ponens: 𝑝, 𝑝→𝑞 𝑞 Hilbert Kalkül: (p  p)  p q  (p  q) (p  q)  (p  q) (p  r)  ((p  q)  (r  q)) + Extensionalitätsprinzip + MP

I.4 Kalküle Definition: Sei K ein Kalkül, dann bedeute Ⱶk die Ableitbarkeit in K. Es muß also unterschieden werden zwischen M╞ F (Folgerung, logische Wahrheit) und M ⱵkF (Ableitbarkeit in K, operationelles Schließen)

I.4 Kalküle Definition Ein Kalkül k heißt korrekt, wenn für alle Formelmengen M und Formeln F gilt: M Ⱶk F => M ╞ F. Ein Kalkül k heißt vollständig, wenn für alle Formelmengen M und Formeln F gilt: M ╞ F => M Ⱶk F.

I.4 Kalküle Ein Beispiel für einen korrekten und vollständigen Kalkül ist der SLD-Kalkül. Grundlegender Schluß: Seien M Formelmenge, q Anfrage. Gilt M╞ q, dann dann auch M   q ╞ false Modus Tollens: 𝑝 →𝑞, ¬𝑞 ¬𝑝

I.5 Normalformen Literal Ein Literal ist eine Aussagenvariable (positives Literal) oder die Negation einer Aussagenvariablen (negatives Literal). Die Formeln p und ¬p sind Literale.

I.5 Normalformen Disjunktive Normalform Die DNF ist eine Disjunktion aus Konjunkten Ein Konjunkt ist eine Konjunktion aus positiven oder negativen Literalen, mit positiven Literalen pij und qij also (p11  p12  …  p1m1  q11  q12   q1n1) (p21  p22  …  p2m2  q21  q22   q2n2) ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ( pk1  pk2  …  pkmk  qk1  qk2   qknk)

I.5 Normalformen Kanonische Disjunktive Normalform Kommt in jedem Konjunkt einer DNF jede Variable genau einmal vor (entweder als positives oder als negatives Literal), so spricht man von einer Kanonischen Disjunktiven Normalform.

I.5 Normalformen Konjunktive Normalform Die KNF ist eine Konjunktion aus Disjunkten. Ein Disjunkt ist eine Disjunktion aus positiven oder negativen Literalen, mit positiven Literalen pij und qij also (p11  p12  …  p1m1  q11  q12   q1n1) (p21  p22  …  p2m2  q21  q22   q2n2) ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ( pk1  pk2  …  pkmk  qk1  qk2   qknk)

I.5 Normalformen Kanonische Konjunktive Normalform Kommt in jedem Disjunkt einer KNF jede Variable genau einmal vor (entweder als positives oder als negatives Literal), so spricht man von einer Kanonischen Konjunktiven Normalform.