Einführung in die e-Funktion www.matheportal.wordpress.com www.matheportal.com Parliamo.altervista.org
Problemstellung Gesucht ist eine exponentielle Funktion, deren Ableitung sich nicht verändert! Also: Gesucht ist die Ableitung von f(x) = ax, sodass gilt: f´(x) = ax a >0, a≠1!
Erstellung der Ableitung von 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 f´(x) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥+ℎ − 𝑎 𝑥 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥 ∙ 𝑎 ℎ − 𝑎 𝑥 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥 ∙ (𝑎 ℎ −1) ℎ = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ da 𝑎 𝑥 kein h enthält, kann man es vorziehen Wenn man will, dass f‘(x) = 𝑎 𝑥 ist, so muss 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ = 1 sein!
Berechnung von 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ = 1 𝑎 ℎ −1 ℎ → 1 für h →0 ah−1 → h für h →0 ah → h+1 für h →0 a → ℎ+1 1 ℎ für h →0 Nun setzt man n = 1 ℎ , d.h. h = 1 𝑛 ! a → 1 𝑛 +1 𝑛 für n →∞
Untersuchung von 1 𝑛 +1 𝑛 1 𝑛 +1 𝑛 für n →∞ Berechnung der Werte: Man erkennt, dass sich der Grenz- wert der Zahl 2,71…. nähert! n (1+ 1 𝑛 )n 1 2 2,25 3 2,3703 4 2,4414 5 2,4883 6 2,5216 7 8 2,5657 9 2,5811 10 2,5937 15 2,6328 20 2,6532 100 2,7048 150 2,7092 200 2,7115 500 2,7156 1000 2,7169 → e
Die Euler‘sche Zahl Wenn man weiter rechnet, erhält man die Zahl 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 +1 𝑛 = e mit: : Quelle: Wikipedia
Zusammenfassung Die Funktion, deren Ableitung gleich bleibt, ist: f(x) = 𝑒 𝑥 mit f‘(x) = 𝑒 𝑥 e ist eine unendliche Zahl mit e ≈2,7812