Logik in der Informatik III Michael Schenke | Logik in der Informatik 21/11/18 | Seite 1

Inhalt Modale Logik Syntax der Modalen Logik Semantik der Modalen Logik Das System T Die Systeme S4/S5/B Intuitionistische Logik/Monotone Modelle

Modallogik „Mögliche Welten“

III. Modallogik Modaloperatoren p: p ist möglich. (Diamond p) □p: p gilt in jeder möglichen Welt. (Box p) Paradoxien der nicht-materiellen Implikation (p  q)  (q  p) p  (q  p) p  (p  q)

III. Modallogik Beispiel Ampel: rot  gelb rot wird irgendwann gelb gelb  grün gelb wird irgendwann grün Durch Einsetzen: rot  grün Wunsch: rot  grün

III.1 Syntax Zeichen Zusatzdefinition: Satz: AVar (Menge der Aussagevariablen) Junktoren Modaloperator □ Zusatzdefinition: p  □ p Satz: □p   p

III.1 Syntax Definition Die Sprache ML der Modalen Logik ist wie folgt definiert: AVar  ML Sind F, G  ML, dann auch F  G, F  G, F  G, F , F mit Vorrangregeln für Klammern. Ist F  ML dann auch □F, F.

III.2 Semantik Definition Eine Kripke-Struktur (nach Saul A. Kripke) ist ein Tripel M=(W, R, A) W ist eine nicht–leere Menge von möglichen Welten R  W x W Zugangsrelation A: W x Var  𝔹 (A für Assignment) verallgemeinerte Belegung Vorbetrachtung

III.2 Semantik Bemerkung zum Extensionalitätsprinzip M(F  G)() = M(F)()  M(G)() M( F)() = M(F)() = 1-M(F)() Versuch ML mit extensionaler Semantik zu versehen: M(□F)() = □M(F)() mit □: 𝔹𝔹 Problem: Es gibt nur vier Funktionen 𝔹𝔹: zwei Konstanten, id, Negation Vorbetrachtung

III.2 Semantik Ziel Gegeben eine Kripke Struktur M, F  MLForm. Definiere M╞ F. Definiere dazu zunächst M,w╞ F (F ist also in einer festen Welt w gültig.) M,w╞ p  A(W,p) = 1 M,w╞ FG  M,w╞ F und M,w╞ G M,w╞ F  M,w | F M,w╞ □F  Für alle w‘ mit (w,w‘)R gilt M,w‘╞ F Bisher: M: Formel,  M,╞ M(F)()=1 F ist gültig bei Belegung  M, ╞ F

III.2 Semantik Definition p = □ p M,w╞ p Es existiert ein w‘ mit (w,w‘)  R und M,w‘╞ p Satz □p =  p

III.2 Semantik Beweisidee des Satzes: p bedeutet: Es existiert kein w‘ mit (w,w‘)  R und M,w‘╞ p. Also gilt für alle w‘ mit (w,w‘)  R die Aussage M,w‘╞ p. Das heißt nach Definition M,w╞ □p.

III.2 Semantik Allgemeine Gültigkeit in einem Modell M= W,R,A : M ⊨F  F.a. w∈W:M,w ⊨F Allgemeine Gültigkeit einer Formel F ⊨F  F.a. M:M ⊨F ⊨𝑇 -> „T-gültig“

III.2 Semantik ⊨T F  F.a. M mit reflexivem R gilt M⊨F ⊨S4 F  F.a. M mit reflexivem und transitiven R gilt M⊨F ⊨S5 F  F.a. M, dessen R eine Äquivalenzrelation ist, ⊨B F  F.a. M, dessen R reflexiv und symmetrisch ist,

III.3 System T Modus Ponens: 𝑝, 𝑝→𝑞 𝑞 Klassische Axiome (in modaler Erweiterung): A1: (p  p)  p A2: q  p  q A3: (p  q)  (q  p) A4: (p  r)  ((p  q)  (r  q)) Modus Ponens: 𝑝, 𝑝→𝑞 𝑞 Formelsubstitution: ⊢𝑇𝐹 ⊢𝑇𝐹 {𝑝/𝐺} , 𝑝∈𝑉𝑎𝑟, 𝐺 ∈𝑀𝐿 𝐹𝑜𝑟𝑚

III.3 Das System T Modale Axiome: A5: □p  p A6: □(p  q)  (□p  □q) Notwendigkeitsregel: ⊢𝑇𝐹 ⊢𝑇□𝐹

III.3 Das System T Zur T-Gültigkeit von A5: Sei M ein Modell mit reflexivem R. Seien wW, F eine Formel. Zu zeigen: M,w ╞ □F  F. Es gelte M,w ╞ □F. Also f.a. w‘ mit (w,w‘)R gilt M,w‘╞ F. Wegen der Reflexivität ist w selber eins der w‘. Damit gilt M,w╞ F.

III.4 Die Systeme S4/S5 System S4 = System T + □p  □□p Wenn p überall gilt, gilt überall, daß p überall gilt. Alternativ: System S4 = System T + p  p System S5 = System T + p  □p Wenn p irgendwo gilt, gilt überall, daß p irgendwo gilt. Alternativ: System S5 = System T + □p  □p

III.4 Das System S4 Zur Korrektheit von □p  □□p bei transitiven Relationen:

III.4 Das System S5 Zur Korrektheit von p  □p bei Äquivalenzrelation:

III.4 Das System B System B = System T + p  □p Wenn p gilt, gilt überall, daß p irgendwo gilt. Alternativ: System B = System T + □p  p

III.4 Das System B Zur Korrektheit von p  □p bei symmetrischen Relationen: Äquivalenzsatz ⊢𝑇 ⇔ ⊨𝑇 ⊢𝑆4 ⇔ ⊨𝑆4 ⊢𝑆5 ⇔ ⊨𝑆5 ⊢𝐵 ⇔ ⊢𝐵

III.5 Intuitionistische Logik In der IL bestrittene Formeln: p  p p  p In der IL erlaubte Formeln: p  p (p  q)  (q  p) p  (p  q) Wird p aus AL als modales p interpretiert, so kann System B als Modell dafür benutzt werden.

III.5 Monotone Modelle Allgemein heißt f monoton ⟺(x ≤y ⟶f x ≤f y ) In der Logik gilt 𝑝 ≤𝑞 ⟺ (𝑝=0 ∧ 𝑞=0)  (𝑝=0 ∧ 𝑞=1)  p  q  (𝑝=1 ∧ 𝑞=1)

III.5 Monotone Modelle Definition Ein Modell M=(W,R,A) heißt monoton, wenn für alle (w1, w2)  R, p  Var gilt A(w1,p)  A(w2,p). (w1, w2)  R geschrieben als w1  w2 A(w1, p)  A(w2, p) ist A(w1,p)  A(w2,p). Damit ist A(.,p) für alle p monoton.

III.5 Monotone Modelle Gültigkeit in einem monotonen Modell M,w ⊨p ⟺A w,p =1 M,w ⊨□p ⟺F.a. w ′ mit w, w ′ ∈R:M, w ′ ⊨p M,w ⊨¬p ⟺F.a. w ′ mit w, w ′ ∈R: M, w ′ ⊭p, also:A w ′ ,p =0 M,w ⊨p ∨ ∧ q⟺M,w ⊨p und oder M,w ⊨q M,w ⊨p ⟶q ⟺M,w ⊨q oder M,w ⊨ ¬p

III.5 Monotone Modelle Satz: In IL gilt p  p Beweis: p  p heißt im System B p  p oder p  □p Es gelte p in einer Welt w. Sei w‘ mit (w,w‘)R beliebig. Wegen der Symmetrie von R gilt dann auch (w‘,w)R. Das heißt M,w‘ ⊨ p, wegen der Beliebigkeit von w‘ also M,w ⊨ □p