Übungsblatt 6 – Aufgabe 1 Elektrisches Feld einer dickwandigen Hohlkugel Betrachten Sie eine dickwandige, nicht-leitende Hohlkugel mit dem Innenradius 𝑅 𝑖 und dem Außenradius 𝑅 𝑎 . Die Hohlkugel trägt eine positive Gesamtladung 𝑄 , die sich homogen auf das Volumen der Hohlkugel verteilt. Berechnen Sie das elektrische Feld 𝐸 ( 𝑟 ) als Funktion des Abstandes vom Zentrum der Hohlkugel für die Bereiche: Im inneren Hohlraum der Hohlkugel, also für 𝑟 < 𝑅 𝑖 Außerhalb der Hohlkugel, also für 𝑟 > 𝑅 𝑎 Innerhalb des Volumens der Hohlkugel, also für 𝑅 𝑖 < 𝑟 < 𝑅 𝑎 𝐸 ( 𝑟 )=0 𝐸 ( 𝑟 )= 1 4𝜋 𝜀 0 ∙ 𝑄 𝑟 2 ∙ 𝑟 𝑟 𝐸 ( 𝑟 )= 1 4𝜋 𝜀 0 ∙ 𝑄 𝑟 2 ∙ 𝑟 3 − 𝑅 𝑖 3 𝑅 𝑎 3 − 𝑅 𝑖 3 ∙ 𝑟 𝑟 Übungsblatt 6 - Elektrizität und Magnetismus Übungsblatt 5

Übungsblatt 6 – Aufgabe 2 Elektrisches Feld eines unendlich langen Vollzylinders Betrachten Sie einen massiven, unendlich langen und nicht- leitenden Vollzylinder mit Radius 𝑅 0 . Der Vollzylinder sei positiv homogen geladen mit einer Raumladungsdichte 𝜌 𝐶 𝑚 3 . Berechnen Sie das elektrische Feld 𝐸 ( 𝑟 ) als Funktion des Abstandes von der Achse des Vollzylinders für die Bereiche: Außerhalb des Vollzylinders, also für 𝑟 > 𝑅 0 Innerhalb des Vollzylinders, also für 𝑟 < 𝑅 0 𝐸 𝑟 ⊥ = 𝜌∙ 𝑅 0 2 2∙ 𝜀 0 ∙𝑟 ∙ 𝑟 ⊥ 𝑟 ⊥ 𝐸 𝑟 ⊥ = 𝜌∙𝑟 2∙ 𝜀 0 ∙ 𝑟 ⊥ 𝑟 ⊥ Übungsblatt 6 - Elektrizität und Magnetismus Übungsblatt 5

Übungsblatt 6 – Aufgabe 3 Elektrisches Potential eines elektrischen Dipols Zwei Punktladungen 𝑄 1 =−𝑄 und 𝑄 2 =+𝑄 ( 𝑄>0 ) sind in einer Linie im Abstand von 𝑙=2𝑎 auf der x-Achse angeordnet. 𝑄 1 befindet sich am Ort 𝑥 1 =+𝑎 und 𝑄 2 am Ort 𝑥 2 =−𝑎 . Berechnen Sie das elektrische Potential 𝜙 für alle Punkte auf der y-Achse, ermitteln Sie also 𝜙(𝑥=0, 𝑦 , 𝑧=0) Berechnen Sie das elektrische Potential 𝜙 für alle Punkte auf der x-Achse mit 𝑥>𝑎 , ermitteln Sie also 𝜙 𝑥, 𝑦=0=𝑧 Berechnen Sie mit Hilfe des in Teilaufgabe b) ermittelten Potentials das elektrische Feld 𝐸 für alle Punkte auf der x-Achse mit 𝑥>𝑎 , ermitteln Sie also 𝐸 𝑥, 𝑦=0=𝑧 𝜙 𝑦 =0 𝜙 𝑥 = −𝑄 4𝜋 𝜀 0 ∙ 2𝑎 𝑥 2 − 𝑎 2 𝐸 𝑥 = −𝑄∙2𝑎 4𝜋 𝜀 0 ∙ 2𝑥 𝑥 2 − 𝑎 2 2 𝐸 𝑦 =0= 𝐸 𝑧 siehe auch Übungsblatt 5, Aufgabe Nr. 1 Übungsblatt 6 - Elektrizität und Magnetismus

Übungsblatt 6 – Aufgabe 4 Elektrisches Potential eines kreisförmigen Ringes Betrachten Sie einen dünnen, nicht-leitenden, homogen geladenen kreisförmigen Ring mit einem Radius 𝑅 0 . Die Gesamtladung des Ringes sei positiv und sei gleich 𝑄 . Das Koordinatensystem sei so gewählt, dass die x-Achse parallel zur Ringachse verläuft und der Mittelpunkt des Ringes mit dem Ursprung zusammenfällt. Berechnen Sie das elektrische Potential 𝜙 für alle Punkte auf der x-Achse mit 𝑥>0 , ermitteln Sie also 𝜙 𝑥, 𝑦=0=𝑧 Berechnen Sie mit Hilfe des in Teil- aufgabe a) ermittelten Potentials das elektrische Feld 𝐸 für alle Punkte auf der x-Achse mit 𝑥>0 , ermitteln Sie also 𝐸 𝑥, 𝑦=0=𝑧 . 𝜙(𝑥)= 1 4𝜋 𝜀 0 ∙ 𝑄 𝑥 2 + 𝑅 2 1 2 𝐸 𝑥 = 1 4𝜋 𝜀 0 ∙ 𝑄∙𝑥 𝑥 2 + 𝑅 2 3 2 𝐸 𝑦 =0= 𝐸 𝑧 Übungsblatt 6 - Elektrizität und Magnetismus

Übungsblatt 6 – Aufgabe 5 Hall-Effekt an einem dünnen Kupferstreifen Ein langer dünner Kupferstreifen von 1,8 cm Breite und 1 mm Dicke sei horizontal in der (x,y)-Ebene positioniert. Der Streifen wird senkrecht von einem homogenen Magnetfeld von 1,2 T durchsetzt, welches parallel zur z-Achse gerichtet ist. Wenn längs des Kupferstreifens ein Gleichstrom von 15 A fließt, wird senkrecht dazu – also über die Breite des Kupferstreifens – eine Hallspannung von 1,02 µV gemessen. Bestimmen Sie die Drift- geschwindigkeit 𝑣 𝐷 der Elektronen Bestimmen Sie die Ladungsträgerdichte 𝑛 der Elektronen, also ihre Anzahl pro Volumeneinheit 𝑣 𝐷 = 𝑈 𝐻 𝐵∙𝑏 =4,7∙ 10 −5 𝑚 𝑠 𝑛= 𝐼∙𝐵 𝑈 𝐻 ∙𝑞∙𝑑 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑛= 𝐼 𝑣 𝐷 ∙𝑞∙ 𝑏∙𝑑 ; 𝑛=1,1∙ 10 29 𝑚 −3 Übungsblatt 6 - Elektrizität und Magnetismus

Übungsblatt 6 – Aufgabe 6 Magnetische Kraft auf einen halbkreisförmigen Draht Gegeben sei eine Leiterschleife, bestehend aus einem halbkreisförmigen Anteil mit Radius 𝑅 plus zwei geraden Anschlusstücken mit Länge 𝑠 . Die Leiterschleife liegt in der (x,y)- Ebene mit den geraden Leiterstücken parallel zur y-Achse. Die Leiterschleife befindet sich in einem homogenen Magnetfeld der Größe 𝐵 0 , welches senkrecht zu allen Leiterelementen orientiert ist. Die Richtung des Magnetfeldes 𝐵 0 ist also parallel zur z-Achse. Berechnen Sie die resultierende magnetische Kraft 𝐹 𝑚𝑎𝑔 auf die Leiterschleife , wenn diese von einem Gleichstrom der Größe 𝐼 durchflossen wird. 𝐹 𝑦 =2∙𝐼∙ 𝐵 0 ∙𝑅 Übungsblatt 6 - Elektrizität und Magnetismus