Paradoxien in der Stochastik Anna Chekhanova Markus Dietz Fakultät 1 Institut für Stochastik Prüferstraße 6 09599 Freiberg 25. Frühjahrsakademie Mathematik 2018 26. Februar 2018

Geburtstagsparadoxon Wenigstens 366 Personen nehmen an einer Veranstaltung teil. Man kann mit 100%-Sicherheit behaupten (Schaltjahre lassen wir außer acht), dass wenigstens 2 von ihnen am selben Tag des Jahres ihren Geburtstag haben. Wie viele Personen sind benötig um mit 50%-Wahrscheinlichkeit behaupten zu können, dass mindestens 2 Personen Geburtstage am selben Tag haben? Bei nur 23 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit 51%. Bei 40 Personen ist die Wahrscheinlichkeit 89 %. Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

Geburtstagsparadoxon Sei 𝑘 – Anzahl der Personen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Versammelten unterschiedliche Geburtstage haben, beträgt: 365 𝑘 ∙𝑘! 365 𝑘 = 365! 365−𝑘 !∙ 365 𝑘 . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 Versammelten denselben Geburtstag haben, beträgt: 𝑃=1− 365! 365−𝑘 !∙ 365 𝑘 . Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

Geburtstagsparadoxon - mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben Mit der Anwendung der Stirlingformel 𝑘!≈ 2𝜋𝑘 𝑘 𝑒 𝑘 , 𝑘→∞. bekommt man die Wahrscheinlichkeit: 𝑃=1− 365! 365−𝑘 !∙ 365 𝑘 ≈1− 365 365−𝑘 365,5−𝑘 ∙ 𝑒 −𝑘 . Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

Geburtstagsparadoxon - mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben 𝒏 P 10 0,1169425 15 0,25289401 17 0,31500003 20 0,41143059 23 0,50728967 30 0,70631024 40 0,89122875 45 0,940974 50 0,97037251 55 0,98626173 57 0,99012204 60 0,9941224 68 0,99872632 70 0,99915953 75 0,99971986 Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

Geburtstagsparadoxon - genau zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei aus einer Gruppe an dem selben Tag Geburtstag haben, beträgt: 𝑃= 𝑘 2 ∙365∙ 364 𝑘−2 ∙ 𝑘−2 ! 365 𝑘 = 𝑘 2 ∙365∙ 364! 364−(𝑘−2) ! 365 𝑘 𝑃= 𝑘! 𝑘−2 !∙2 ∙ 365! 366−𝑘 !∙ 365 𝑘 . Nach der Anwendung der Stirlingformel 𝑘!≈ 2𝜋𝑘 𝑘 𝑒 𝑘 , bekommt man die Näherung für die Wahrscheinlichkeit: 𝑃≈ 𝑘 𝑘−2 𝑘+0,5 ∙ 365 366−𝑘 365,5−𝑘 ∙ (𝑘−2) 2 366−𝑘 ∙ 0,5𝑒 −1−𝑘 .

Geburtstagsparadoxon - genau zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben Anzahl Wahrscheinlichkeit Anzahl Wahrscheinlichkeit 5 0,027248205 8 0,072649967 10 0,111854858 13 0,178214485 15 0,223684096 18 0,287303133 20 0,323352251 27 0,386451398 28 0,386526177 29 0,384441547 33 0,356867343 37 0,306257244 60 0,033999498 70 0,006857443 80 0,000946627 85 0,000304973 150 1,26838E-14 Für 𝑛=28 beträgt die Wahrscheinlichkeit 38,6%. Ab diesen Wert fällt die Zahlenfolge streng monoton; d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Personen aus einer Gruppe am selben Tag Geburtstag haben, wird kleiner. Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

Geburtstagsparadoxon - für einen bestimmten Tag Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das jemand heute, am 26. Februar seinen Geburtstag hat? - Die Wahrscheinlichkeit beträgt: 𝑝= 1 365 ~ 0,27%. Wahrscheinlichkeit am 26. Februar NICHT Geburtstag zu haben: 𝑞=1−𝑝=1− 1 365 ~ 99,73%. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von zwei Personen am 26. Februar Geburtstag hat, beträgt: 𝑃=1− 𝑞 2 . Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von 𝑛 Personen am 26. Februar Geburtstag hat, beträgt: 𝑃=1− 𝑞 𝑘 .

Geburtstagsparadoxon - für einen bestimmten Tag Anzahl Wahrscheinlichkeit 50 0,128181743 80 0,197062881 100 0,239932926 200 0,422298043 300 0,560907764 400 0,666260449 500 0,746335556 900 0,915342142 1000 0,93565435 2000 0,995859637 5000 0,999998897 10000 1 Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

Geburtstagsparadoxon - für einen bestimmten Tag Aus der Formel: 𝑃=1− 𝑞 𝑘 , kann man ausrechnen, wie viele Personen man benötigt, um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu erzielen: 𝑘= ln⁡(1−𝑃) ln⁡(1− 1 365 ) . Für die Wahrscheinlichkeit 55% benötigt man: 𝑘= ln⁡(1−0,55) ln⁡(1− 1 365 ) ≈291.

Das Unabhängigkeitsparadoxon Ein Junge soll drei Tennis-Matchs mit seinem Vater und seiner Mutter spielen, und er soll dabei mindestens zwei Matchs nacheinander gewinnen. Die zugelassenen Reihenfolgen sind „Vater – Mutter – Vater“ oder „Mutter – Vater – Mutter“. Der Vater spielt besser als die Mutter. Der Junge darf selber die für ihn günstigere Reihenfolge wählen. Intuitiv denkt man: „Mutter – Vater – Mutter“ sollte bessere Chancen für Gewinn liefern. Andererseits muss der Junge gegen den Vater unbedingt gewinnen. Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik

Das Unabhängigkeitsparadoxon Sei 𝑝 𝑣 – Wahrscheinlichkeit, dass Junge den Vater besiegt; 𝑝 𝑚 – Wahrscheinlichkeit, dass Junge die Mutter besiegt (0< 𝑝 𝑣 < 𝑝 𝑚 ). Die Wahrscheinlichkeit der Gewinnchancen für Reihenfolge „V – M – V“ beträgt: 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 1− 𝑝 𝑣 + 1− 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 + 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 =2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 . Die Wahrscheinlichkeit der Gewinnchancen für Reihenfolge „M – V – M“ ist: 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 1− 𝑝 𝑚 + 1− 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 + 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 =2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 . Da 𝑝 𝑣 < 𝑝 𝑚 → 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 < 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 , daraus folgt 2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 > 2 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 − 𝑝 𝑚 𝑝 𝑣 𝑝 𝑚 . Das heißt für den Jungen ist es günstiger die Reihenfolge „V – M – V“ auszuwählen.

Einen schönen und interessanten Aufenthalt in Freiberg!

Verwendete Quellen: Gábor J. Szekely. Paradoxa klassische und neue Überraschungen aus der Wahrscheinlichkeits-rechnung und mathematischer Statistik.- Thun; Frankfurt am Main: Deutsch, 1990. Wikipedia Institut für Stochastik \ A. Chekhanova, M. Dietz \ Paradoxien in der Stochastik