Logik in der Informatik V Michael Schenke | Logik in der Informatik 08/11/18 | Seite 1

Inhalt Epistemische Logik Multimodale epistemische Aussagenlogik Nicht-monotone Logik

Epistemische Logik Wissen und Glauben

VIII. Epistemische Logik Logik von Glauben und Wissen (Knowledge and Belief) KF ⟺BF ∧F □F ∧□(F→G) ⟹□G ✓ KF ∧K F→G ⟹KG X implizites Wissen BF ∧B F →G ⟹BG X implizites Glauben Terme: Individuenvariablen t1, … , tn Formeln: p (t1,…,tn) Junktoren, Quantoren F Formel  BF Formel

VIII. Epistemische Logik Das System G G0: Alle gültigen Formeln der Prädikatenlogik sind Elemente von G. G1: B F → G → BF → BG impliziter Glaubensbegriff G2: BF → ¬B ¬F „□F → ⋄F“ Abschwächung zu System T G3: ∀x BF →B ∀x F Barcansche Formel G4: BF →BBF S4 G5: ¬BF →B¬BF S5 ¬□F →□ ¬□F  ⋄ ¬𝐹→□⋄ ¬𝐹

VIII. Epistemische Logik Semantik M=(U,W,R, φ) ↳U:Individuenbereich (Universum) ↳W: mögliche Welten ↳R: Zugangsrelation ↳φ:Formsx W →𝔹 mit φ(. , w): Forms →𝔹 ist für alle w ∈W eine PL−Interpretation der Formeln in Forms φ(u , .): W →𝔹 ist für alle u∈U konstant. M,w ⊨BF ⟺F.a. w ′ mit wR w ′ gilt M, w ′ ⊨F

VIII. Epistemische Logik Semantik Definition Eine Relation R heißt euklidisch, genau dann wenn gilt: w1 R w2  (w1 R w3  w2 R w3) Wenn zwei Welten benachbart sind, haben sie auch dieselben Nachbarn R heißt seriell, wenn für alle w ex. w‘ mit wRw‘ Bemerkungen: Jede euklidische Relation ist transitiv. Jede reflexive euklidische Relation ist symmetrisch (also eine Äquivalenzrelation).

VIII. Epistemische Logik Das System G Definition Für eine Formel F des Systems G gelte ⊨G F (F ist G gültig), genau dann wenn M ⊨F gilt für alle M mit euklidischer und serieller Zugangsrelation. Bemerkung: Wenn wir definieren KF ⟺BF ∧F, dann könnte eine Gültigkeit definiert werden, die Modelle betrachtet mit einer seriellen Äquivalenzrelation.

Multimodale epistemische Aussagenlogik

IX. Multimodale epistemische Aussagenlogik Einführung von Modalitäten K1, … , Kn M=(W, R1, …,Rn , A) Gültigkeit M,w ⊨K𝑖F ⟺F.a. w ′ mit wR𝑖 w ′ gilt M, w ′ ⊨F

IX. Multimodale epistemische Aussagenlogik Definition „gemeinsames Wissen“ ⊨E M F ⟺F.a. i ∈M ⊨K𝑖F ⊨E 0 M F ⟺ ⊨E M F ⊨E i+1 M F ⟺⊨E M E i M F ⊨C M F ⟺F.a. i ⊨E i M F // gemeinsames Wissen

IX. Multimodale epistemische Aussagenlogik Definition „verteiltes Wissen“ ⊨DMF ⟺Es ex. i ∈M ⊨K𝑖F ⊨D 0 M F ⟺F ⊨D i+1 M F ⟺DMD i M F ⊨DMF ⟺F.a. i ⊨D i M F //verteiltes Wissen

Änderung nach Neuerkenntnis Nicht monotone Logik Änderung nach Neuerkenntnis

Beispiel: Tweety, der KI-Vogel X. Nicht monotone Logik Beispiel: Tweety, der KI-Vogel Es bedeuten: V(x) x ist ein Vogel P(x) x ist ein Pinguin F(x) x kann fliegen Aussagen: V x →F x P x → ¬F x P x →V(x)

X. Nicht monotone Logik Beispiel: Tweety, der KI-Vogel Instantiierung: V(Tweety) V(Tweety)  F(Tweety) Neues Faktum: P(Tweety) Neue Erkenntnis: Tweety ist ein Pinguin. Das führt zur Änderung. P(Tweety)  F(Tweety) Tweety ist ein Vogel und kann fliegen Pinguine können nicht fliegen Tweety ist ein Pinguin Daraus folgt: Tweety kann nicht fliegen

X. Nicht monotone Logik Cn M = F M⊨F Damit ist auch Cn M ⊆Forms Sei M eine Formelmenge, M ⊆Forms. Dann sei Cn M = F M⊨F Damit ist auch Cn M ⊆Forms und somit Cn eine Abbildung Cn: P Forms ⟶P(Forms) Konsequenzoperator Cn= Kosequenzoperator Cn (M) = Konsequenzmenge von M

X. Nicht monotone Logik Jede Menge hat eine natürliche Ordnungsrelation auf ihren Teilmengen M1, M2 ⊆M (M1, M2 ∈P M ) M1 ≤M2 ⟺M1 ⊆M2 Definition: Eine Logik, in der Cn monoton ist, heißt monotone Logik.

X. Nicht monotone Logik Eigenschaften von Cn: M ⊆ Cn (M) Cn Cn M =Cn(M) In der klassischen Logik gilt: N ⊆ M ⟹Cn N ⊆ Cn (M) Cn ist monoton Hier zu lesen als, F sind Konsequenzen von M: F M ⊨F

X. Nicht monotone Logik Justification-Based Transaction Managment System (JTMS) Definition Ein JTMS ist ein Paar (N,J) mit: N: endliche Menge (Knoten, nodes) J: endliche Menge von Begründungen (justifications) J ⊆P N x P N x N Jede Begründung hat die Form M1 M2 →n ↳M1, M2 ⊆N, n ∈N

X. Nicht monotone Logik JTMS Die Knoten sind die Fakten, über deren Wahrheitsgehalt argumentiert werden soll. M1 M2 →n heißt Begründung von n. ↳ Dabei heißen M1 die In-Knoten, ↳ heißen M2 die Out-Knoten, ↳ heißt n die Konsequenz. M1 sind etablierte Wahrheiten M2 sind Aussagen, die nicht als Wahrheit etabliert wurden

X. Nicht monotone Logik JTMS Beispiel (wieder Tweety): N= V,P,F,¬F J={ ∅ ∅→V , P ∅ →V , V P→F , P ∅→¬F } Definition Ein Modell eines JTMS T=(N,J) ist eine Teilmenge von N. P ∅ →V : Pinguine sind Vögel P →V , kein Widerspruch ∅ V P→F : Ein Vogel, der kein Pinguin ist, kann fliegen

X. Nicht monotone Logik JTMS Definition Seien M ein Modell und M1 M2→n eine Begründung. Diese Begründung heißt gültig (bzgl. M) wenn gilt M1 ⊆M, M2 ∩M= ∅. V P→F , 𝑀={𝑉,𝐹} ✓gültig 𝑀={𝑉,𝑃,¬𝐹} X nicht gültig

X. Nicht monotone Logik JTMS Definition Ein Modell heißt abgeschlossen, genau dann wenn es alle Konsequenzen gültiger Begründungen enthält

X. Nicht monotone Logik JTMS Beispiel J1: V P→F || J2: V ∅→F || J3: P ∅→¬F || J4: ∅ ∅→V Dabei ist, <V|P wichtig für die Gültigkeit und F> wichtig für Abgeschlossenheit

X. Nicht monotone Logik JTMS Beispiel (Weiterführung) {V, F} : J1, J2, J4 nicht gültig: J3 {V, P, F} : J2, J3, J4 nicht gültig: J1 {F, F} : J4 nicht gültig: J1, J2, J3 {V, F} : J1, J2, J4 abgeschlossen {V, P, F} : J2, J3, J4 nicht abgeschlossen {F, F} : J4 nicht abgeschlossen

X. Nicht monotone Logik JTMS Definitionsversuch (nicht sachgemäß) Ein Modell heißt wohlbegründet, wenn für alle nM eine Begründung existiert mit n als Konsequenz. Beispiel: (unerwünschte Situation) A ∅→B B ∅→A M={A,B} Dann sind beide Begründungen gültig, M ist abgeschlossen, M wäre wohlbegründet. Wodurch?

X. Nicht monotone Logik JTMS Definition Ein Modell M heißt fundiert, wenn auf den Elementen von M eine lineare Ordnung definierbar ist n1<n2,<…<nk , so daß für jedes i eine Begründung existiert in der Form INi OUTi→ni mit: Die Begründung ist gültig. OUTi∩M= ∅ INi⊆ n𝑗 j<i Das letzte Beispiel ist damit nicht fundiert.

X. Nicht monotone Logik JTMS Ein Modell darf einen Widerspruchsknoten  enthalten. Dieser dient dazu, unerwünschte Situationen auszuschließen. Beispiel(Tweety): Tweety kann nicht gleichzeitig fliegen und nicht fliegen. Es wird eine neue Begründung eingeführt: J5: {F,F} ∅→

X. Nicht monotone Logik JTMS Definition Ein Modell M heißt zulässig, wenn es abgeschlossen und fundiert ist. Das zulässige Modell darf keinen Widerspruchsknoten enthalten. Beispiel(Tweety): {V,F} ist das einzige zulässige Modell.

X. Nicht monotone Logik JTMS Beispiel (Tweety): Es werde ein neues Faktum festgestellt: Tweety ist ein Pinguin. Es wird eine neue Begründung zum JTMS hinzugefügt: J0: ∅ ∅→P

X. Nicht monotone Logik JTMS Beispiel (Tweety):

X. Nicht monotone Logik JTMS Beispiel (Tweety): Jetzt ist {V, P, F} das einzige zulässige Modell. Das alte {V, F} ist nicht mehr zulässig, denn J0: ∅ ∅→P ist eine gültige Begründung. Daher muß P in jedem abgeschlossenen Modell enthalten sein.

X. Nicht monotone Logik JTMS Beispiel