Fehlerrechnung

absoluter u. relativer Fehler Messunsicherheit Standardabweichung Motivation Kenngrößen Mittelwert absoluter u. relativer Fehler Messunsicherheit Standardabweichung Standardabweichung des Mittelwerts Vertrauensgrenze 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥  Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Motivation Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

Warum Statistik ? Welche dieser zwei Zirkelkästen würden Sie eher bestellen? 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Warum Statistik ? Abnahme eines neuen Segments der ISS: 2 bar Überdruck einen Monat lang stabil? Grenzwert:1,9 bar, gemessener Wert 1,93 bar. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Ist die Mess-Ungenauigkeit ± 0,001 bar  genehmigt. ± 0,05 bar  Probleme: Menschenleben / x Mio. € Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Kenngrößen Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Begriffe Grundgesamtheit = Menge aller möglichen Messungen Stichprobe = zufällige Aus­wahl aus Grundgesamtheit Messwert = Ergebnis einer Messung Messreihe mit n Messwerten = eine mögliche Stichprobe 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Beispiel: Qualitätsprüfung Funktionsprüfung bei jedem Produkt: Messwerte bilden eine Grundgesamtheit. Funktionsprüfung an einigen, willkürlich ausgewählten Produkten: Messwerte bilden eine Stichprobe. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Fehler-Arten Welche Fehler können auftreten? Gemessenes Ergebnis  „wahrer Wert“.  Jedes Messergebnis ist fehlerhaft. Unterschied: systematische und statistische (zufällige) Fehler. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Systematischer Fehler Systematische Fehler = Abweichungen vom wahren Wert mit konstantem Betrag und Richtung.  Bei Kenntnis des systematischen Fehlers können alle Messwerte korrigiert werden. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Beispiel: Zeiger-Messgerät: Beim Ablesen eines analogen Amperemeters wird ständig von rechts auf den Zeiger geschaut – der systematische Fehler hierdurch verkleinert alle Messergebnisse um denselben Wert. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Statistischer Fehler Statistische Fehler = Abweichungen verschiedener Größe und (zufällige Fehler) Richtung.  Messwerte können in Bezug auf statistische Fehler nicht korrigiert werden. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Beispiel Zeiger-Messgerät: Beim Ablesen des Wärmeverbrauchs einer Woh-nung mit Hilfe des Wärmemengenzählers üben Exposition zur Sonne, die Lage und die Feuchte des Raums oder benachbarte Geräte einen nicht berechenbaren Einfluss auf den Messwert aus. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Mess-Unsicherheit f. Messunsicherheit Δx = statistische + systematische Fehler. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Statistische Fehler Systematische Fehler Mess-Unsicherheit x Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Erwartungswert Erwartungswert und Mittelwert Die Stichprobe liefert n Messwerte. Die Messwerte beinhalten eine Mess-Unsicherheit. Die Mess-Unsicherheit beschreibt die Schwankung der n Messwerte um den Mittelwert. Der Mittelwert bezieht sich auf die Stichprobe, nicht auf die Grundgesamtheit. Der Mittelwert der Grundgesamtheit heißt „Erwartungswert“ oder „wahrer Wert“. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Beispiel Dartpfeile auf Scheibe Der Mittelwert der Pfeilpositionen (Mittelwert) ist nicht der Mittelpunkt der Dartscheibe (wahrer Wert). Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Grundgesamtheit = Menge aller möglichen Messungen Stichprobe = zufällige Aus­wahl aus Grundgesamtheit Messwert = Ergebnis einer Messung Systematische Fehler = Abweichungen vom wahren Wert mit konstantem Betrag und Richtung. Statistische Fehler = Abweichungen verschiedener Größe und (zufällige Fehler) Richtung. Messunsicherheit Δx = statistische + systematische Fehler. Der Mittelwert der Grundgesamtheit = Erwartungswert , wahrer Wert. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Mittelwert Aufgabe Berechnung des Mittelwertes Nimmt man eine Messsreihe auf, dann wird der Mittelwert 𝑥 der Messreihe als arithmetisches Mittel aus den Messwerten gebildet. Bei n Einzelmessungen ist: 𝑥 = 1 𝑛 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 +... = 1 𝑛 1 𝑛 𝑥 𝑖 Klausurnoten Ermitteln Sie den Notendurchschnitt von 41 Studenten, bei denen die Notentabelle so aussieht: Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 Häufigkeit 2 3 4 6 8 7 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Taschenrechner 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Mittelwert Aufgabe Lernziel: Mittelwert berechnen können. Schwingungsdauer Im folgenden Video schwingt ein Sand-Pendel. Ermitteln Sie aus den ersten n=10 Schwingungen den Mittelwert seiner Schwingungsdauer. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Fehlerstreuung Fehlerstreuung = Differenz aus Mittel- und Messwert. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± 𝛥 𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 xi > 0 , wenn der Messwert zu groß ausgefallen ist; xi < 0 bei zu kleinem Messwert. Bildet man die Summe  xi , gleichen sich die Abweichungen aus: Die Summe aller Fehlerstreuungen ist Null. 𝑖=1 𝑛 𝛥 𝑥 𝑖 =0  Kontrolle sowohl für die Richtigkeit von Mittelwerts und Fehler. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Fehlerstreuung Beispiel: Messungen der Dicke x des Pendels (n = 11, =14,2 mm) Messwerte xi in mm 14,1 - 0,1 13,8 -0,4 14,3 +0,1 14,2 0,0 14,5 +0,3 -0,1 14,4 +0,2 13,9 -0,3 Summe 156,2 𝛥 𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥  𝒙 𝑖=1 𝑛 𝛥 𝑥 𝑖 =0 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Fehlerstreuung Aufgabe Schwingungsdauer Bestimmen Sie die absoluten Fehler aus der Messung mit dem Sand- Pendel. Ist die Summe Null ? Messwerte ti in s in s Summe  ti 0,0 𝛥 𝑡 𝑖 = 𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖=1 𝑛 𝛥 𝑡 𝑖 =0 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Absoluter / relativer Fehler Absoluter Fehler = Abweichung von 𝒙 in Einheiten der Messgröße. [𝑥] = s, m, kg, … Beispiel: Das Mess-Ergebnis lautet T = 2,081s  0,019 s Relativer Fehler = absoluter Fehler im Verhältnis zum Mittelwert der Messgröße. 𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑥  𝑥 𝑥 = 0,91 % Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Absoluter / relativer Fehler Aufgabe Das Ergebnis einer Messreihe aus n Einzelwerten besteht aus dem Mittelwert 𝑥 und dem absoluten Fehler: x= x ±Δx … oder dem Mittelwert 𝑥 und dem relativen Fehler: x= x ± Δx x Schwingungsdauer Wie sieht das Ergebniss der Messung für die Schwingungsdauer T des Sand-Pendels aus? Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Absoluter / relativer Fehler Quiz Absoluter Fehler Relativer Fehler T = 2,081s  0,019 s T = 2,081s  0,91 % Typisch: Der relative Fehler ist ein Verhältnis und kann auch in Grad / cm / % angegeben werden. Vorteil: Die relativen Fehler von Messgrößen verschie- dener Art sind miteinander nicht / vergleichbar. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Was hat eine Messreihe mit einer Grundgesamtheit zu tun? Eine Messreihe ist ein Teil einer Grundgesamtheit. Welche beiden Fehler-Arten gibt es? Systematische und statistische Fehler. Was ist eine Mess-Unsicherheit? Sie umfasst den systematischen und statistischen Fehler. Wie hängen Mittelwert, Erwartungswert und wahrer Wert miteinander zusammen? Der Mittelwert ergibt sich aus den Messdaten. In Kombination mit dem Fehler wird er zum Erwartungswert. Dieser ist im Idealfall identisch mit dem wahren Wert. Welcher Fehler wird ohne Einheit angegeben, der absolute oder der relative Fehler? Der relative Fehler. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Deutsche Frauen Aufgabe Körpergröße der Frau Laut einer Statistik des sozio- ökonomischen Panels (SOEP) aus dem Jahr 2006 liegt der Mittelwert der Größe bei Frauen in Deutschland bei 165,4 cm mit einem Fehler von 4,5 cm. Wie groß ist der relative Fehler? Wie groß ist der absolute Fehler? Stellen Sie das Mess-Ergebnis in beiden Formen dar. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Mess-Unsicherheit Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Messunsicherheit 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Statistische Fehler Systematische Fehler Mess-Unsicherheit x Man unterteilt die Mess-Unsicherheit in drei verschiedene Kategorien, je nach Umfang der Stichprobe. Die Mess-Unsicherheiten haben in jeder Kategorie eine andere Bezeichnung. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Standardabweichung n > 1.000 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Wenn mindestens 1.000 Messungen gemacht wurden, ist die Standardabweichung σ das Maß für die Streuung der einzelnen Messergebnisse um den Mittelwert. 𝑥= 𝑥 ±𝜎 Aus wird: x= x ±Δx 𝑥= 𝑥 ±𝜎 𝜎= 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑛−1 Aus der Mess-Unsicherheit „absoluter Fehler“ wird: „Standardabweichung“ Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Standardabweichung des Mittelwerts 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Wenn zwischen 100 und 1.000 Messungen gemacht wurden, gibt man als Maß für die Zuver­läs­sigkeit der Messung die Standardabweichung des Mittelwertes σm an: 𝑥= 𝑥 ± 𝜎 𝑚 , 𝑚𝑖𝑡 𝜎 𝑚 = ±𝜎 𝑛 𝑥= 𝑥 ± 𝜎 𝑚 Aus der Mess-Unsicherheit „absoluter Fehler“ wird: „Standardabweichung des Mittelwerts“ Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Vertrauensbereich 7 < n < 100 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Je weniger Messungen gemacht wurden, umso eher wird auch der Mittelwert zu einer groben Schätzung. Die Standardabweichung des Mittelwerts muss je nach n erhöht werden. Der Korrekturfaktor t = f(n) ist tabelliert. Man erhält den Vertrauensbereich a. 𝑥= 𝑥 ±𝑎,𝑎= 𝜎 𝑚 ⋅𝑡= ±𝜎 𝑛 ⋅𝑡 Aus der Mess-Unsicherheit „absoluter Fehler“ wird: „Vertrauensbereich“ 𝑥= 𝑥 ±𝑎 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Deutsche Frauen Aufgabe Mess-Ungenauigkeit des Sand-Pendels Wie heißt die Mess-Unsicherheit, die wir als absoluten Fehler beim Sand-Pendel ermittelt haben? Wie groß ist der absolute Fehler, wenn wir ihn als Standard- Abweichung behandeln? Wie groß ist der absolute Fehler, wenn wir ihn als Standard- Abweichung des Mittelwerts behandeln? Wie groß ist der absolute Fehler, wenn wir ihn als Vertrauensbereich behandeln? Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Anmerkungen Eine Stichprobe im Taschen-Rechner (TR) n  40 (mehr geht nicht). n < 100 Mess-Ungenauigkeit = Vertrauensgrenze a Behandelt man die Vertrauensgrenze wie eine Standardabweichung, muss man im TR die „Standardabweichung der Stichprobe“ wählen, also „xn-1“ . NICHT die Standardabweichung der Grundgesamtheit wählen (kleinerer Wert), also NICHT „xn“! Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Anmerkungen Student-t-Verteilung Standardabweichung mit dem TR. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Normalverteilung Bei kleinen n ergibt die graphische Auftragung der Messwerte ein „Histogramm“. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Bei n > 1.000: Stichprobe  Grundgesamtheit. Verteilung der Messwerte wird glatter. Sie nähert sich einer Normalverteilung. Die Normalverteilung (blaue Kurve) wird beschrieben durch: 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 −1 2 𝑥−µ 𝜎 2 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Normalverteilung Die Normalverteilung ist y-Achsen- symmetrisch und wird oft „Glockenkurve“ genannt. Das Histogramm (n < 1.000) hat einen Mittelwert 𝑥 . 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Die Normalverteilung (n > 1.000) hat den Erwartungswert µ. µ 𝑥 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Normalverteilung In der Funktion für die Normalverteilung ist σ die Standardabweichung, µ der Erwartungswert x die Messgröße (Variable). 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± 𝑓 𝑥 = 1 𝜎∙ 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑥−µ 𝜎 2 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Standardabweichung Die Standardabweichung  ist ein Maß für die Streuung der Messwerte um den Erwartungswert. Sie wird folgendermaßen berechnet: 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Dazu werden die Fehlerstreuungen quadriert, bevor sie addiert werden, denn sonst käme Null heraus. Die Wurzel macht die Quadratur dann wieder rückgängig. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Standardabweichung Die Standardabweichung σ bestimmt die spezielle Gestalt der Normalverteilung. Kleinere Werte von σ lassen den Graphen der Normalverteilung um den Erwartungswert herum steiler verlaufen. Die Fläche unter der Kurve bleibt konstant. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Statistische Sicherheit Statistische Sicherheit Die Standardabweichung gibt die Streuweite an, bei der die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zu finden, bei 68,3% liegt. Die 68,3% ist die statistische Sicherheit P. Im Bereich von  2 um den Erwartungswert herum liegt die statistische Sicherheit bei 95,4%. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Körpergröße Beispiel: Körpergröße von dt. Frauen Laut der Statistik (Folie Deutsche Frauen) liegt der Mittelwert der Durchschnittsgröße bei Frauen in Deutschland bei 165,4cm, und die Standardabweichung bei σ = 4,5cm. Damit sind von allen deutschen Frauen 68% zwischen 160,9cm (μ-σ) und 169,9cm (μ+σ) 95% zwischen 156,4cm (μ-2σ) und 174,4cm (μ+2σ) 99,7% zwischen 151,9cm (μ-3σ) und 178,9cm (μ+3σ) Da über 1.000 Frauen vermessen wurden, darf man den Mittelwert durch den wahren Wert µ ersetzen. 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Fehlerrechnung Aufgabe Ganoven Nach einem Einbruch in Stade versuchten die Ganoven in der engen Altstadt zu entkommen. Doch der Wagen klemmte sich fest, drei Komplizen konnten flüchten. Der Fahrer kam nicht heraus und wurde der Polizei durch die Heckklappe zugeführt. Eine vorbereitende Messung der Fluchtwegbreite mit Fehlerrech-nung hätte dieses Malör verhindern können... Der Wert der Straßenbreite wurde mehrfach nicht gemessen. Die Werte wären gewesen: 100cm / 99,5cm / 100,3cm / 99,8cm / 99,3cm/ 100,1cm / 100,3cm/ 101cm / 99,9cm/100,1cm. Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert 100,03 cm b) die Standardabweichung (trotz kleinem n)  = 0,469.16 cm Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Standardabweichung des Mittelwerts 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Wenn zwischen 100 und 1.000 Messungen gemacht wurden, wird die Streuung der Messwerte durch die Standardabweichung des Mittelwertes σm angegeben: 𝑥= 𝑥 ± 𝜎 𝑚 , 𝑚𝑖𝑡 𝜎 𝑚 = ±𝜎 𝑛 𝑥= 𝑥 ± 𝜎 𝑚 Beachten Sie: m enthält  Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Stablänge Messung einer Stablänge Verifizieren Sie die folgenden Ergebnisse (trotz n < 100). 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Vertrauensbereich 7 < n < 100 𝑥  𝑚 a ? i 𝑥 ± Je weniger Messungen gemacht wurden, umso eher wird auch der Mittelwert zu einer Näherung. Die Standardabweichung des Mittelwerts muss je nach n erhöht werden. Der Korrekturfaktor t = f(n) ist tabelliert. Man erhält den Vertrauensbereich a. 𝑥= 𝑥 ±𝑎, 𝑚𝑖𝑡 𝑎= 𝜎 𝑚 ⋅𝑡= ±𝜎 𝑛 ⋅𝑡 𝑥= 𝑥 ±𝑎 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Stablänge Aufgabe Stablänge Wie groß ist der Vertrauensbereich a dafür, dass der spontan gemessene Messwert der Stablänge mit 68,3% (bzw. 95,5%) Sicherheit beim Erwartungswert liegt? 𝑎= 𝜎 𝑚 ⋅𝑡= ±𝜎 𝑛 ⋅𝑡 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Stablänge Lösung 𝑎= 𝜎 𝑚 ⋅𝑡= ±𝜎 𝑛 ⋅𝑡 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Quiz Quiz Vertrauensgrenzen … … kommen praktisch nicht vor. Normalverteilungen … … ermöglichen keine Statistik Messwerte außerhalb von 6-Sigma … … sind ein Maß für die Abweichung der Messwerte vom Erwartungswert Weniger als 7 Messwerte … … heißen auch Glockenkurven Die Standardabweichung … … sind ein Maß für die Abweichung der Messwerte vom Mittelwert Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Mess-Unsicherheit Mess-Unsicherheit Standard-abweichung  Quiz statistischer Fehler systematischer Fehler Mess-Unsicherheit 7 < n <100 Vertrauens-wert a 100<n<1000 Standard-abweichung des Mittel-werts m n > 1.000 Standard-abweichung  Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Quiz Quiz Ordnen Sie die Begriffe unter das richtige Diagramm ein. Erwartungswert Grundgesamtheit Histogramm Mittelwert Normalverteilung Stichprobe µ 𝑥 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Um was für einen Fehler handelt es sich, wenn Werte nur ungenau abgelesen werden können? Um einen statistischen (zufälligen) Fehler. Wie heißt die Summe aller absoluten Fehler? Gibt es nicht. Sie ist Null. Wie ist der Zusammen­hang von Mittelwert und wahrem Wert? Der wahre Wert ergibt sich bei der Messung der Grundgesamt-heit. Der Mittelwert ergibt sich aus der Stichprobe. Welche Namen hat die Mess-Unsicherheit einer Messreihe aus über 1.000 Messwerten? Standardabweichung. Welchen Fehler nennt man „Vertrauensgrenze“ ? Den von Messreihen mit weniger als 100 Messwerten. Welche beiden Größen umfasst die Mess-Unsicherheit? Sowohl die statistischen, als auch die systematischen Fehler. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Längenmessung Aufgabe Längenmessung Bestimmen Sie aus dieser Messreihe den Mittelwert die Standardabweichung die Standardabweichung des Mittelwertes die Vertrauensgrenze für eine statistische Wahrscheinlichkeit von 95% (t=2,05) die Vertrauensgrenze für eine statistische Wahrscheinlichkeit von 99,73% (t=3,3) Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Längenmessung Lösung Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Übungs-Aufgaben Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Übungsaufgabe 1 Aufgabe Es liegen folgende Messdaten vor: 325, 342, 331, 273, 353, 326, 324, 333, 322, 324. Berechnen Sie ... den Mittelwert die Standardabweichung die Standardabweichung des Mittelwertes die Vertrauensgrenze für eine statistische Wahrscheinlichkeit von 95% 325,3 20,78 6,57 14,85 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Übungsaufgabe 2 Aufgabe Es liegen folgende Messdaten vor: 246, 248, 244, 245, 248, 247, 246, 243, 244, 247. Berechnen Sie ... den Mittelwert die Standardabweichung die Standardabweichung des Mittelwertes die Vertrauensgrenze für eine statistische Wahrscheinlichkeit von 95% 245,8 1,75 0,55 1,25 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Übungsaufgabe 3 Aufgabe Folgende Noten ergaben sich nach Auswertung der Klausur mit 15 Teilnehmern: 4,0 / 3,3 / 3,7 / 2,0 / 5,0 / 1,3 / 1,0 / 3,3 / 2,7 / 5,0 / 4,0 / 2,7 / 3,0 / 3,7 / 1,3. Geben Sie den Mittelwert an. Wie groß ist die Standardabweichung? Wie nennt man den Fehler dieser Messung mit nur 15 Messwerten? Wie groß ist dieser Fehler bei einem t von 1,04? 3,07 1,26 Vertrauens- grenze 0,337 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Anhang TR-Statistik am Beispiel Casio fx 350 MS. Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello 𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑥 rel. Fehler Mess-Unsicherheiten: Standard-Abweichung Standard-Abweichung des Mittelwerts Vertrauensgrenze 𝜎= 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑛−1 𝜎 𝑚 = ±𝜎 𝑛 𝑎= 𝜎 𝑚 ⋅𝑡= ±𝜎 𝑛 ⋅𝑡 Fehler © Prof. Dr. Remo Ianniello