und seine mathematischen Folgen Ein Kartentrick und seine mathematischen Folgen

Kartentrick/Gliederung Der Trick Das Mathematikseminar als Projektrahmen Der Projektablauf Die Ergebnisse Zusammenfassende Betrachtung Weiterführende Problemstellungen 9/18/2018 Kartentrick/Gliederung R. Mertenbacher

Das Mathematikseminar I. Wahlkurs für interessierte SchülerInnen (hier 6. - 8. Jgst.) einstündig pro Woche Inhalte: Jahresthema (z.B. Mathematik und Spiele) Mathematikwettbewerbe (Mathematikolympiade; Känguru ...) 9/18/2018 Kartentrick/Rahmen R. Mertenbacher

Das Mathematikseminar Sterzing (Südtirol) II. Workshop Projektunterricht Wettbewerbstraining Ortserkundung 9/18/2018 Kartentrick/Rahmen R. Mertenbacher

Sortierung der Karten bei s=3 Stapeln und k=7 Karten pro Stapel 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Auftauchende Fragen (I) Geht der Trick auch mit einer anderen Karten- bzw. Stapelanzahl? Bleibt das Verfahren gleich? Auf welche Fixzahl stabilisiert sich jeweils das Verfahren? Wie viele Schritte sind nötig? 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Bezeichnungen s = Stapelanzahl, ungerade, damit es einen mittleren Stapel gibt k = Kartenanzahl pro Stapel n = ks = Anzahl aller Karten z = Platznummer der Karte, die man sich merkt m = Anzahl der notwendigen Schritte bis der Trick beendet wird x = Fixzahl, d.h. Nummer des Platzes, auf dem letztlich alle Karten zu liegen kommen 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Sortierung der Karten bei s=3 Stapeln und k=3 Karten pro Stapel 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Sortierung der Karten bei s=3 Stapeln und k=5 Karten pro Stapel 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Sortierung der Karten bei s=5 Stapeln und k=5 Karten pro Stapel 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Nötige Anzahl m von Schritten in Abhängigkeit von der Stapelanzahl s und der Kartenanzahl k pro Stapel 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Auftauchende Fragen (II) Muss k  s sein? Vorsicht! Gilt immer x = 0,5(sk + 1)? Ist m = 3, falls k > s und m = 2, falls k = s? 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Definition Definition: <a> ist diejenige größte ganze Zahl, die kleiner a ist. Beispiele: <3,5> = 3; <3> = 2; Bemerkung: <a> = [a] - [[a]:a] 9/18/2018 Kartentrick/Ablauf R. Mertenbacher

Kartentrick/Ergebnisse Satz f(z) = 0,5(s + 1)k - <z:s> für z  {1; ...; n} 9/18/2018 Kartentrick/Ergebnisse R. Mertenbacher

Hilfssatz Die Funktion mit der Gleichung f(z) = 0,5(s + 1)k - <z:s>; z  {1; ...; n} hat folgende Eigenschaften: a) f(x) = x für alle x = 0,5(sk + 1) b) f(1)  f(z) für alle z  {1; ...; n} c) f ist monoton fallend d) Für die Wertemenge W von f gilt: W = {0,5(s - 1)k + 1; ...; 0,5(s + 1)k} = = {0,5(s - 1)k + 1; ...; 0,5(s - 1)k + k} Daraus folgt: |W| = k 9/18/2018 Kartentrick/Ergebnisse R. Mertenbacher

Kartentrick/Ergebnisse Bemerkung 1 Ist s ungerade, i{1; 2; ...; s} und (z - i):s eine ganze Zahl, so gilt: (z - i):s = <z:s> 9/18/2018 Kartentrick/Ergebnisse R. Mertenbacher

Bemerkung 2 Für ungerade k und s mit k  3 und s  3, sowie für pN gelten die Identitäten: a) <k:2 + 1:2s> = (k - 1):2 b) <1:s + (sp - k):2> = (sp - k):2 9/18/2018 Kartentrick/Ergebnisse R. Mertenbacher

Kartentrick/Ergebnisse Hauptsatz Es sei n = sk ungerade mit den natürlichen Zahlen s  3 und k  3, außerdem sei f eine Funktion mit f: D = {1; ...; n}  N z  f(z) = 0,5(s + 1)k - <z:s> Dann gilt: fm(z) = 0,5(n + 1) für alle zD mit m = p+1, wobei pN so gewählt werden kann, dass sp - 1 < k  sp. 9/18/2018 Kartentrick/Ergebnisse R. Mertenbacher

Kartentrick/Ergebnisse Beispiel s = 11 Stapel k = 10001 Karten pro Stapel m = 4 + 1 = 5 denn 1331 = 113 < 10001 < 114 = 14641 9/18/2018 Kartentrick/Ergebnisse R. Mertenbacher

Satz m = <(ln k):(ln s) + 1> + 1 9/18/2018 Kartentrick/Ergebnisse R. Mertenbacher

Kartentrick/Zusammenfassung Vorgehensweise Problem in Zahlentabellen umsetzen! Erste Vermutungen anhand der Daten! Beweise? Gesetzmäßigkeiten bzw. Formeln ableiten! Größere Datenmengen mit PC-Unterstützung analysieren! Mathematisch exakte Beweise sind zu führen! 9/18/2018 Kartentrick/Zusammenfassung R. Mertenbacher

Kartentrick/Weiterführung bllabbllaa 18.09.2018 Weitergehende Fragen Was passiert, wenn k gerade ist? Was passiert, wenn s gerade ist? Wie sieht das Verfahren aus, wenn nicht der mittlere Stapel gewählt wird? Gibt es auch ein Verfahren, wenn s nicht Teiler von n ist? 9/18/2018 Kartentrick/Weiterführung R. Mertenbacher jaja