Fundamentals of Analog and Digital Design ET-IDA-134 Lecture-2 Circuit Analysis and Storage Elements (Transient Analysis) Ch-3,Ch-4, Ch-6, Ch-7, Ch-8 05.08.2015, v2 Prof. W. Adi Source: Analog Devices, Digilent course material

Recommended Textbook: Course Contents Recommended Textbook: Agarwal, Anant, and Jeffrey H. Lang. Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits. San Mateo, CA: Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, July 2005. ISBN: 9781558607354. View e-book versionElsevier companion site: supplementary sections and examples Lecture Material: - Provided in the class. Source: Digilent/Analog Devices Course material - Suplimentary advanced analog and digital design topics with laboratory Laboratory: - Digilent Analog Discovery with lab‘s kit.

Lecture 7 (optional) Review: Overview of Nodal and Mesh analysis Circuit techniques to date Overview of Nodal and Mesh analysis Nodal Analysis Related educational materials: Chapter 3.1, 3.2

Circuit analysis methods introduced so far Voltage-current relations: Ohm’s Law Kirchoff’s Current Law (KCL) Kirchoff’s Voltage Law (KVL) Circuit Reduction But circuit reduction is just a way of applying Ohm’s Law, KCL, and KVL to simplify the analysis by reducing the number of unknowns!

Example Circuit Circuit reduction techniques don’t apply Large number of unknowns, if we use exhaustive application of KVL, KCL, and Ohm’s Law

Two new analysis techniques Next: Nodal Analysis Mesh Analysis Nodal analysis and mesh analysis provide rigorous ways to define a (relatively small) set of unknowns and write the circuit governing equations in terms of these unknowns

Nodal analysis – overview Identify independent nodes The voltages at these nodes are the node voltages Use Ohm’s Law to write KCL at each independent node in terms of the node voltages Solve these equations to determine the node voltages Any desired circuit parameter can be determined from the node voltages

Mesh analysis – overview Identify mesh loops The currents around these loops are the mesh currents Use Ohm’s Law to write KVL around each loop in terms of the mesh currents Solve these equations to determine the mesh currents Any desired circuit parameter can be determined from the mesh currents

Important observation Nodal analysis and mesh analysis are not fundamentally “new” analysis techniques We are still applying KVL, KCL, and Ohm’s Law! Nodal and mesh analysis simply allow us to identify a reduced set of unknowns which completely characterize the circuit  we can write and solve fewer equations to simplify our analysis!

Nodal Analysis We will illustrate the nodal analysis technique in the context of an example circuit:

Nodal Analysis Step 1: Identify a reference node Label the reference node voltage as VR = 0V The reference node is arbitrary! You are merely identifying the node to which all subsequent voltages will be referenced

Nodal Analysis Step 2: “Kill” sources and identify independent nodes Short-circuit voltage sources Open-circuit current sources The remaining nodes are “independent” Label voltages at these nodes

Nodal Analysis Step 3: Replace sources and label “constrained” voltages The constrained voltages are at dependent nodes Voltage sources “constrain” the difference in voltage between nodes they interconnect

Nodal Analysis Step 4: Apply KCL at each independent node

Nodal Analysis Step 5: Use Ohm’s Law to write the KCL equations in terms of node voltages

Nodal Analysis Step 5: continued

Nodal Analysis Step 6: Solve the system of equations to determine the node voltages The node voltages can be used to determine any other desired parameter in the circuit

Nodal Analysis – checking results Checking results in step 5: In general, in the equation for node “X”, the multiplicative factor on the node voltage VX will be the sum of the conductances at node “X” The multiplicative factors on all other node voltages in the equation will be the negative of the conductances between node “X” and the respective node voltage

Nodal Analysis – checking results

Nodal Analysis – shortcuts It is common to combine steps 4 and 5 Apply KCL and Ohm’s Law simultaneously You can, if you wish, choose your current directions independently each time you apply KCL For example, you can assume that all currents are leaving the node, each time you apply KCL

Shortcuts applied to our example Previous Results:

Nodal analysis – example 2 Use nodal analysis to find i in the circuit below

Example 2 – continued

Example 2 – What if we mis-identify independent nodes?

Nodal analysis – example 3 Use nodal analysis to determine v in the circuit below

Example 3 – Alternate reference node

Lecture 8 (optional) Review: Mesh Analysis Nodal analysis Supernodes Additional nodal analysis examples Mesh Analysis Related educational materials: Chapter 3.2, 3.3

Review: Nodal Analysis Choose reference node Identify independent nodes Label “constrained” voltages Apply KCL at independent nodes Write the KCL equations in terms of node voltages Solve equations to determine the node voltages Determine desired circuit parameters from node voltages

Supernodes In example 3 of lecture 7, we applied KCL at a supernode

Supernodes – continued Example: A node is defined as having a single, unique voltage We can, however, apply KCL at supernodes which contain multiple nodes

Supernodes in nodal analysis Supernodes are especially useful in nodal analysis when dependent nodes (voltage sources) are present Define a supernode containing the dependent nodes The supernode contains the voltage source and the nodes to which it is connected Apply KCL at the supernode

Supernodes are useful, but not required Supernodes are not essential for nodal analysis, as long as you account for all currents Need to explicitly include currents through voltage sources Lecture 7, Example 3:

Lecture 7, Example 3 – alternate approach

Example 1 Determine the voltage across the 6 resistor

Example 1 – alternate approach

Example 2 Use nodal analysis to write a set of equations from which you can determine the current through the 6 resistor.

Mesh analysis – review Identify mesh loops The currents around these loops are the mesh currents Use Ohm’s Law to write KVL around each loop in terms of the mesh currents Solve these equations to determine the mesh currents Any desired circuit parameter can be determined from the mesh currents

Nodal and mesh analysis – comparison Nodal analysis: Define independent nodes Apply KCL at independent nodes Use Ohm’s Law to write KCL in terms of node voltages Mesh analysis: Define “mesh loops” Apply KVL around the mesh loops Use Ohm’s Law to write KVL in terms of mesh currents

Mesh Analysis We will illustrate the mesh analysis technique in the context of an example circuit:

Mesh Analysis Step 1: Choose mesh loops and identify mesh currents Kill sources (short voltage sources, open-circuit current sources) Recommendation: mesh loops should not have other loops in their interior

Mesh Analysis Step 2: Replace sources and write constrained loops Constrained loops go through current sources Constrained loops are somewhat arbitrary, but their direction and magnitude must be consistent with the source through which they pass

Mesh Analysis Step 3: Apply KVL around the mesh loops Use Ohm’s Law to write voltage drops in terms of mesh currents Voltage polarities in KVL must be consistent with that loop’s mesh current

Mesh Analysis Step 3: continued

Mesh Analysis Step 4: Solve the equations for mesh currents Use mesh currents to determine the circuit parameters of interest Note: The total current in an element is the sum of the mesh currents in the element

Lecture 9 (optional) Review: Constrained loops Mesh analysis Constrained loops Additional mesh analysis examples Related educational materials: Chapter 3.3

Review: Mesh Analysis Choose mesh loops and identify mesh currents Kill sources Identify enclosed, non-overlapping areas in circuit Circuit elements bounding these areas form mesh loops Mesh currents flow around the mesh loops Replace sources, identify constrained loops Apply KVL around mesh loops Use Ohm’s Law to write KVL in terms of mesh currents Solve equations to determine the mesh currents Use mesh current to determine desired parameters

Constrained Loops Constrained loops go through current sources They identify known currents in the circuit Constrained loops are somewhat arbitrary, but: Each current source creates a constrained loop The direction and magnitude of the constrained loop must be consistent with the source through which it passes

Mesh Analysis – Example 1 Use mesh analysis to determine the current i4

Example 1 – continued

Example 1 – alternate constraint loops

Example 1 – more alternate constraint loops

Mesh analysis – example 2 Determine i10, the current through the 10 resistor

Example 2 – alternate approach

Mesh analysis – example 3 Use mesh analysis to determine the current i

Example 3 – continued

Mesh analysis – example 4 Use mesh analysis to determine the current i10

Example 4 – continued

Lecture 10 Signals and systems Linear systems and superposition Thévenin and Norton’s Theorems Related educational materials: Chapter 4.1 - 4.5

Review: System representation of circuits In lecture 1, we claimed that it is often convenient to use a systems-level analysis: We can define inputs and outputs for a circuit and represent the circuit as a system The inputs and outputs are, in general, functions of time called signals

What’s the difference? Previously, our circuit analysis has been for a specific input value Example: Determine the current i

System-level approach Let the voltage source be the “input” and the current the “output” Represent as system: Output can be determined for any value of Vin

Linear Systems In lecture 1, we noted that linear systems had linear relations between dependent variables A more rigorous definition:

Linear system example Dependent sources are readily analyzed as linear systems:

System representation of circuit – example 1 Determine the input-output relation for the circuit (Vin is the input, VX is the output)

Example 1 – continued Determine VX if Vin is: (a) 14V (b) 5cos(3t) – 12e-2t

Superposition Special case of linear circuit response: If a linear circuit has multiple inputs (sources), we can determine the response to each input individually and sum the responses

Superposition – continued Application of superposition to circuit analysis: Determine the output response to each source Kill all other sources (short voltage sources, open-circuit current sources) Analyze resulting circuit to determine response to the one remaining source Repeat for each source Sum contributions from all sources

Superposition – example 1 Determine the current i in the circuit below

Two-terminal networks It is sometimes convenient to represent our circuits as two-terminal networks Allows us to isolate different portions of the circuit These portions can then be analyzed or designed somewhat independently Consistent with our systems-level view of circuit analysis The two-terminal networks characterized by the voltage-current relationship across the terminals Voltage/current are the input/output of the system

Two-terminal networks – examples Resistor: System representations: Voltage-current relation:

Two-terminal network examples – continued Resistive network: Resistor + Source:

Thévenin and Norton’s Theorems General idea: We want to replace a complicated circuit with a simple one, such that the load cannot tell the difference Becomes easier to perform & evaluate load design

Thévenin and Norton’s Theorems – continued We will replace circuit “A” of the previous slide with a simple circuit with the same voltage-current characteristics Requirements: Circuit A is linear Circuit A has no dependent sources controlled by circuit B Circuit B has no dependent sources controlled by circuit A  

Thévenin’s Theorem Thévenin’s Theorem replaces the linear circuit with a voltage source in series with a resistance Procedure:

Thévenin’s Theorem – continued Notes: This is a general voltage-current relation for a linear, two-terminal network Voc is the terminal voltage if i = 0 (the open-circuit voltage) RTH is the equivalent resistance seen at the terminals (the Thévenin resistance)

Creating the Thévenin equivalent circuit Identify and isolate the circuit and terminals for which the Thévenin equivalent circuit is desired Kill the independent sources in circuit and determine the equivalent resistance RTH of the circuit Re-activate the sources and determine the open-circuit voltage VOC across the circuit terminals Place the Thévenin equivalent circuit into the original overall circuit and perform the desired analysis

Thévenin’s Theorem – example 1 Replace everything except the 1A source with its Thévenin equivalent and use the result to find v1

Example 1 – continued

Lecture 11 Thévenin’s Theorem Norton’s Theorem and examples Background and justification Examples Norton’s Theorem and examples Source Transformations Maximum Power Transfer Related educational materials: Chapter 4.5, 4.6

Thévenin’s Theorem We want to replace a complicated circuit with a simple one without affecting the load We can do this by taking advantage of superposition

Thévenin’s Theorem Lecture 10: Any linear circuit can be represented by an ideal voltage source in series with a resistance, without affecting any “load” connected to the circuit Why?

Thévenin’s Theorem – “Derivation” Represent circuit “B” (load) as a current source, providing some voltage Note that we haven’t changed the i-v characteristics at terminals!

“Derivation” – continued Kill independent sources in circuit A Get equivalent resistance seen at terminals a-b Resulting voltage across terminals: v1=RTH·i

“Derivation” – continued 2. Replace sources in circuit A and kill current source representing circuit B Get voltage seen at terminals a-b Resulting voltage across terminals: v2 = voc

“Derivation” – continued 3. Superimpose v1 and v2 Get expression for voltage at terminals of circuit A Represent as a conceptual “circuit”

Creating the Thévenin equivalent circuit Identify the circuit for which the Thévenin equivalent circuit is desired Kill sources and determine RTH of the circuit Re-activate the sources and determine VOC Place the Thévenin equivalent circuit into the original overall circuit and perform the desired analysis Note: a slightly different process is necessary if the circuit contains dependent sources

Thévenin’s Theorem – example 1 Replace everything except the load resistor R with its Thévenin equivalent

Example 1 – Get RTH

Example 1 – Get Voc

Example 1 – Thévenin circuit

Norton’s Theorem Norton’s Theorem: any linear circuit can be modeled as a current source in parallel with a resistor

Norton’s Theorem – “Derivation” Represent circuit “B” (load) as a voltage source, providing some current Note that we still haven’t changed the i-v characteristics at terminals!

“Derivation” – continued Kill independent sources in circuit A Get equivalent resistance seen at terminals a-b Resulting voltage across terminals:

“Derivation” – continued 2. Replace sources in circuit A and kill voltage source representing circuit B Get current seen at terminals a-b Resulting current: i2 = -isc

“Derivation” – continued 3. Superimpose i1 and i2 Get expression for voltage at terminals of circuit A Represent as a conceptual “circuit”

Creating the Norton equivalent circuit Identify the circuit for which the Norton equivalent circuit is desired Kill sources and determine RTH of the circuit Re-activate the sources, short the output terminals, and determine isc Place the Norton equivalent circuit into the original overall circuit and perform the desired analysis Note: a slightly different process is necessary if the circuit contains dependent sources

Norton’s Theorem – example 1 Replace everything except the load resistor R with its Norton equivalent

Example 1 – Get RTH

Example 1 – Get isc

Example 1 – Norton circuit

Source Transformations The Thévenin and Norton equivalent circuits both represent the same circuit They have the same voltage-current characteristics

Source Transformations – continued We can equate the two representations Solving for i from the Thévenin equivalent Equating this current with the Norton Equivalent circuit: So that:

Using Source Transformations in Circuit Analysis Any voltage source in series with a resistance can be modeled as a current source in parallel with the same resistance and vice-versa

Source Transformation – example Use source transformations to determine the voltage v

Maximum Power Transfer We can use Thevenin’s Theorem to show how to transfer the maximum amount of power to a load Problem: choose RL so that RL receives the maximum power For maximum power transfer, choose RL = RTH

Maximum Power Transfer – example Choose R so that maximum power is delivered to the load Previously found the loaded Thévenin equivalent circuit:

Lecture 12 (parts A & B) Review: Derivation of maximum power transfer Source transformations Maximum power transfer Derivation of maximum power transfer Thévenin theorem examples Operational Amplifiers Related educational materials: Chapters 4.5, 4.6, 5.1-5.4

Using Source Transformations in Circuit Analysis Any voltage source in series with a resistance can be modeled as a current source in parallel with the same resistance and vice-versa

Maximum Power Transfer The load receives the maximum amount of power if RL = RTH Why?

Maximum Power Transfer – Derivation Delivered power: Load voltage:

Maximizing power Set derivative of power to zero: Chain rule: Set numerator to zero:

Maximum Power Delivered Delivered power: Letting RL = RTH:

Example 1: Maximum power transfer (a) Determine the load resistance, R, which absorbs the maximum power from the circuit. (b) What is the maximum power delivered to the load?

Example 1(a): Load Design

Example 1(b): Power delivered

Example 2 Determine the Norton equivalent of the circuit of example 1

Lecture 14 Introduction to dynamic systems Basic time-varying signals Energy storage Basic time-varying signals Related educational materials: Chapter 6.1, 6.2

Review and Background Our circuits have not contained any energy storage elements Resistors dissipate energy Governing equations are algebraic, the system responds instantaneously to changes

Dynamic Systems We now consider circuits containing energy storage elements Capacitors and inductors store energy The circuits are dynamic systems They are governed by differential equations Physically, they are performing integrations If we apply a time-varying input to the system, the output may not have the same “shape” as the input The system output depends upon the state of the system at previous times

Dynamic System – example Heating a frying pan

Dynamic System Example – continued The rate at which the temperature can respond is dictated by the body’s mass and material properties The heat out of the mass is governed by the difference in temperature between the body and the surroundings: The mass is storing heat as temperature

Dynamic System Example – continued

Time-varying signals We now have to account for changes in the system response with time Previously, our analyses could be viewed as being independent of time The system inputs and outputs will become functions of time Generically referred to a signals We need to introduce the basic time-varying signals we will be using

Basic Time-Varying Signals In this class, we will restrict our attention to a few basic types of signals: Step functions Exponential functions Sinusoidal functions Sinusoidal functions will be used extensively later; we will introduce them at that time

Step Functions The unit step function is defined as: Circuit to generate the signal:

Scaled and shifted step functions Scaling Multiply by a constant Shifting Moving in time

Example 1 Sketch 5u0(t-3)

Example 2 Represent v(t) in the circuit below in terms of step functions

Exponential Functions An exponential function is defined by  is the time constant  > 0

Exponential Functions – continued Note: f(t) decreases by 63.2% every  seconds Our exponential functions will generally be limited to t≥0: or:

Effect of varying 

Exponential Functions – continued Why are exponential functions important? They are the form of the solutions to ordinary, linear differential equations with constant coefficients

Schaltvorgänge der 1. Ordnung Eine Schaltung, die nur Quelle, Widerstand und Induktivität in Serie enthält wird eine RL Schaltung genannt. Eine Schaltung, die nur Quelle, Widerstand und Kondensator in Serie enthält wird eine RC Schaltung genannt. Das Zeitverhalten für beide Schaltungen wird analysiert. R R i i Us Us L C RC Schaltung RL Schaltung

RC Schaltung Wasserpumpen Simulation Us C Motor mit konstantem Drehmoment Us Wassermodell für eine Schaltung mit Spannungsquelle, Widerstand und Kondensator. Entsprechen Pumpe, Verengung und Behälter.

Zur Erinnerung: Der Spannungsverlauf auf einer Induktivität für eine sprunghafte Strom-Veränderung: UL= L dIL/dt UL IL Der Stromverlauf in einen Kondensator für eine sprunghafte Spannungs-Veränderung: IC = C dUC/dt UC IC Grundsätzlich gilt: Ein unendlich schneller Strom- oder Spannungs- Sprung ist nicht realisierbar! U,I t Für idealen Sprung dU/dt =∞ oder dI/dt =∞ Begründung: Falls dU/dt oder dI/dt unendlich groß wird, steigt die Spannung bzw. der Strom durch den Kondensator bzw. durch die Induktivität auf einen Unendlich hohen Wert. Dies ist physikalisch nicht realisierbar!

Definitionen der Übergänge Ist in L oder C einer RL- oder RC-Schaltung Energie gespeichert, so ist der natürliche Übergang „ natural response“ als der Strom- oder Spannung- zeitverlauf am Widerstand des Netzwerkes (ohne Quelle) nach einschalten zu definiert. R i Beispiel: Ein geladener Kondensator C wird durch das Schließen eines Schalters entladen. u C t = 0 Besonders interessant in der Datentechnik ist das Übergangs-Schaltverhalten: Die Sprungantwort „Step Response“ einer RL oder RC Schaltung ist der Strom- und Spannungsverlauf nach einem Strom- oder Spannung-Stufensprung aus der Quelle oder unmittelbar nach dem Zustandswechsel eines Schalters. DB:Erster Absatz bin ich mir unsicher, ob das gemeint ist… MH: Ich hab das mal so umgeschrieben, wie ich denke, dass es gemeint ist Fazit: Wir Sind uns hier beide nicht sicher, ob wir durch unsere Korrektur die von Ihnen gewünschte Information richtig wiedergeben. Es wäre gut, wenn Sie diese Folie noch einmal einsehen! R i Stufensprung Quelle U oder I u Impuls- Quelle C t Beispiel: Spannung-Stufensprung an einer RC Schaltung

Bitte beachten: Jede Schaltung der 1. Ordnung kann auf eine einzelne, äquivalente Quelle, verbunden mit einer einzelnen, äquivalenten Spule (Induktion) oder einem Kondensator vereinfacht werden. RTh VTh ITh RTh L C ↔ RL Äquivalente Schaltung RC Äquivalente Schaltung

Eingeschwungener Zustand „Steady-State“ Im eingeschwungenen Zustand verändern sich in einer Schaltung weder Strom noch Spannung. D.h du/dt = 0 und di/dt=0, (da Strom und Spannung –Quellen in diese Zeitraum als (Konstante) Gleichstromquellen gelten). Im eingeschwungenen Zustand verhält sich eine Induktivität für Gleichstrom wie eine Kurzschlussverbindung uL=0 ITh ITh RTh L ITh RTh L Im eingeschwungenen Zustand verhält sich eine Kapazität für Gleichstrom wie eine offene Verbindung ic=0 MH: Hier ist aber nur der eingeschwungene Zustand für den Gleichstromfall gemeint oder? Falls ja, sollte dies erwähnt werden. RTh UTh C RTh UTh C

Natürliche Übergangsantwort einer RL Schaltung Betrachtet wird die folgende Schaltung, bei der der Schalter für t < 0 geschlossen war und dann ab t=0 geöffnet wird: t = 0 i u Ro Io L R Notation: 0– ist der Zeitpunkt kurz vor dem Ausschalten 0+ ist der Zeitpunkt kurz nach dem Ausschalten Strom in der Induktivität bei t = 0– ist Io [ iL(t=0-) = Io noch im Eingeschwungener Zustand]

Lösung für Stromverlauf (t  0) Für t > 0, reduziert sich die Schaltung wie folgt: Nach Anwendung der Maschengleichung an der RL Schaltung L di/dt + i R = 0 * ergibt sich folgende Lösung: oder , i u Io Ro L R wobei i(0) der Strom zum Zeitpunkt t=0 ist, => i(0) = I0. Sei I0 =1 A und R/L = K wobei K Konstant ist, da R und L sich zeitlich nicht ändern, dann ist i(t) = e – K t . Wie sieht i(t) dann aus? ) Das ist eine Differentialgleichung der 1.Ordnung deren Lösung kein Bestandteil dieser Vorlesung ist.

Wie sieht i(t)=e- kt aus? Für t=0 => e- kt= e- 0 =1 e-kt Für t=1/k => e-k*1/k = e- 1 = 0.37 0.37 Für t=∞, e-k*∞ = e-∞ = 0

Zeitkonstante t Der Strom- und Spannungsverlauf an der Induktivität war: Der Zeitpunkt, zu dem der Exponent -1 wird, d.h i(t) =I0 e-1 nennt man die Zeitkonstante t Bei t = t, beträgt der Wert des Stroms das (1/e ≈ 0.37)-fache vom Anfangswert. Bei t = 5t, beträgt der Strom weniger als 1% seines Anfangswertes.

Wie sieht e-t/t aus? t Beispiel für t = 10-4 s e-t/t Tangente: d i(t)/dt = -1/t e-t/t Für t=0 d i(t)/dt = -1/t e-0 = -1/t e-t/t -1/t ist die Anfangs-Kurven-Tangente der exponentiellen Funktion mit Anfangswert= e0 = 1 e-t/t t = t = 0,0001 s ist die benötigte Zeit um 37% des Anfangsstromwertes zu erreichen. 0.37 tan a = -1/t t =5t a t t = 0,0001Sekunde

Berechnung der Spannung für (t > 0) Io Ro L R Beachten Sie, dass sich die Spannung u sprunghaft ändert! : u(t) u(0+)=I0 R u(0-)=0 t t

Natürlicher Übergangsverlauf für eine RC Schaltung Betrachtet wird die folgende RC Schaltung, bei der der Schalter für t < 0 geschlossen ist, und dann ab t=0 umgeschaltet wird : t = 0 Ro u Uo R C Notation: 0– ist der Zeitpunkt kurz vor der Umschaltung 0+ ist der Zeitpunkt kurz nach der Umschaltung Spannung in der Kapazität bei t = 0– ist U0

Lösung für Spannungsverlauf (t  0) Für t > 0, vereinfacht sich die Schaltung wie folgt: Anwendung der Maschengleichung an der RC Schaltung u + R * I =0 oder u + R * C du/dt =0 ergibt folgende Lösung: i u Ro Uo C R u(0)=Uo

Lösung für Stromverlauf (t > 0) i u Ro Uo C R Bemerkung: Strom ändert sicht sprunghaft:

Die Zeitkonstante t Spannungsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit ist: Die Zeitkonstante wird als t definiert, wobei Bei t = t, reduziert sich die Spannung auf das (e-1 ≈ 0.37) -fache des Anfangswertes. Bei t = 5 t, verringert sich die Spannung auf weniger als 1% des Anfangswertes. (Wobei R in Ohm, C in Farad, und t in Sekunden gemessen wird)

Zusammenfassung: Natürliche Übergänge RL Schaltung Spulenstrom kann sich nicht sprunghaft ändern Zeitkonstante RC Schaltung Kondensator Spannung kann sich nicht sprunghaft ändern Zeitkonstante i u L R C R

Transition Response of First order Systems Summary: The response of each such systems as RL and RC system has a time flow following an exponential function delaying the system response. In General : The first order system response follows the following general formula Where x(t) is the response variable (Voltage or Current)), xf is its final value at t= ∞ t0 is the start time point of the change. A general very useful formula!

Wie berechnet man den Übergangsverlauf? 1/2 Identifizieren Sie die Verlaufsvariable: Für RL Schaltung, ist es üblicherweise der Spulenstrom iL(t) Für RC Schaltung, ist es üblicherweise die Kondensatorspannung uc(t) Bestimmen Sie den Anfangswert (bei t = t0+) der Variablen Zu beachten ist, dass iL(t) und uc(t) kontinuierliche Variablen sind: iL(t0+) = iL(t0) und uc(t0+) = uc(t0) Es wird angenommen, das sich die Schaltung vor t0 im eingeschwungenen Zustand befindet. Benutzen Sie die Fakten, das sich eine Spule wie ein Kurzschluss im eingeschwungenen Zustand und sich dagegen ein Kondensator wie eine Leitungsunterbrechung im eingeschwungenen Zustand verhält.

Wie berechnet man den Übergangsverlauf? 2/2 Berechnen Sie den Endwert der Variablen (Wert bei t  ∞) Beachten Sie nochmal, das sich eine Spule wie ein Kurzschluss im eingeschwungenen Zustand (t  ∞) und dagegen ein Kondensator wie eine Leitungsunterbrechung im eingeschwungenen Zustand (t  ∞) verhält. 4. Berechnen Sie die Zeitkonstante der Schaltung t = L/R für eine RL Schaltung, wobei R der Thévenin- äquivalente Widerstand von der Spule aus gesehen ist. t = RC für eine RC Schaltung wobei R der Thévenin- äquivalente Widerstand vom Kondensator aus gesehen ist.

Beispiel R t = RC = 2.5 ms UAusg C UEin 4V Ein Spannungsimpuls mit der Breite 5 ms und der Höhe 4 V ist auf den Eingang der folgenden Schaltung geschaltet, beginnend mit dem Zeitpunkt t = 0: R UAusg UEin C t = RC = 2.5 ms R = 2.5 kΩ C = 1 nF Zuerst, steigt UAusg exponentiell in Richtung 4V. Wenn UEin abnimmt, wird UAusg exponentiell nach 0V abnehmen. Welchen Spitzenwert wird UAusg erreichen? Der Ausgang steigt für 5 ms, oder 2 Zeitkonstanten. Also erreicht er 1 - e-2 oder 86% des Endwertes. 0.86 x 4 V = 3.44 V ist der Spitzenwert von UAusg

{ Eingang-Ausgang Spannungsverlauf (4 - 4 e-t/2.5ms ) für 0 ≤ t ≤ 5 ms Berechnung durch Anwendung der Formel: { (4 - 4 e-t/2.5ms ) für 0 ≤ t ≤ 5 ms 3.44 e-(t-5ms)/2.5ms für t > 5 ms UAusg(t) = UEin (t) 4 3,44 V UAusg(t) 3.5 3 2.5 3.44 e-(t-5)/2.5 2 1.5 1 (4 - 4 e-t/2.5 ) 0.5 2 4 5 6 8 10

Signale im Digitalrechner Rechenoperationen im Digitalrechner werden durch Impulse bearbeitet. Wir senden saubere Impulse: Spannung Zeit Aber wir empfangen verfälschte Impulse am Ausgang: Spannung Zeit Die Verfälschung liegt hauptsächlich an Kondensator-Ladeprozessen! Jeder Knoten in einer realen Schaltung besitzt eine Kapazität. Der Ladevorgang dieser Kapazitäten limitiert die Schaltgeschwindigkeit!

Schaltungsmodell für einen logischen Baustein: Elementare elektronische Bausteine im Digitalrechner, genannt “logische Gatter”, werden verwendet um alle Rechenfunktionen zu implementieren, wie (NAND, NOR, NOT Gatter) (Jede logische Funktion kann durch Benutzung solcher Elemente implementiert werden). Ein logisches Gatter (wie in späteren Themen zu sehen wird) kann durch eine RC Schaltung vereinfacht modelliert werden: R 1 1 Uin(t) C UAusg. Quelle schaltet zwischen niedrigen Spannungs- (Logik 0) und höheren Spannungs- (Logik 1) Zuständen

Übergang der Logik-Stufen Übergang von “1” zu “0” (Kapazität entladen) Übergang von “0” auf “1” (Kapazität laden) 1 Uhigh 1 ULow UAusg UAusg Uhigh Uhigh 0.63 Uhigh 0.37Uhigh ULow Zeit Zeit RC RC (Uhigh ist der Logik 1 Spannungspegel) (ULow ist der Logik 0 Spannungspegel)

Impuls Verzerrung R Der Eingangsimpuls muss breit genug sein, andernfalls wird er am Ausgang verzerrt oder sogar nicht erkannt. (Wir müssen so lange warten, bis die Ausgangsspannung einen Wert erreicht, der ausreicht, um die Logik- Stufe zu identifizieren. Erst danach darf sich der Eingang wieder ändern) + – UAusg Uin(t) C Impulsbreite = 0.1RC Impulsbreite = RC Impulsbreite = 10RC 1 2 3 4 5 6 Zeit Vout 1 2 3 4 5 6 Zeit Vout 1 2 3 4 5 6 10 15 20 25 Zeit Vout

Übungsbeispiel: RC Übergangsverlauf Berechnen Sie den Strom i(t) und die Spannung u(t). Bei t=0 schaltet der Schalter um, und schaltet nach 0,03 Sekunden zurück: R1 = 10 kΩ t = 0 i u Us = 5 V C = 1 mF R2 = 5 k Ω Berechnung der Spannung u durch Anwendung der Formel Vor dem Einschalten, u(0) = 0 Direkt nach dem sich der Schaltvorgang, u = 0, (entspricht x(t0+) ) 2. Lange Zeit nach dem Einschalten, u(∞) = Us = 5 V (entspricht xf ) 3. Zeitkostante R1C = (104 W)(10-6 F) = 0.01 Sekunden

R1 = 10 kW t = 0 i u C = 1 mF Us = 5 V R2 = 5 kW Jetzt gilt für den Strom i(t), t > 0 Nach dem Ohm‘schen Gesetz, I = U/R

t t t/2 t u(t) t t/2 ic(t) t i i u R1 = 10 kΩ 5 V 0.5 mA -0.95 mA U0= 0 V i u Us = 5 V C = 1 mF U0=4.75 V u(t) R2 = 5 k Ω C = 1 mF t 4.75 V 5 V 0,63x 5 V t t 0.01 S 0.02 S 0.03 S t/2 0.04 S ic(t) 1 mF x 5 k Ω = 0,005 Sec = t / 2 0.5 mA t/2 0.025 mA 0,37x 0.5 mA t t 0.01 S 0.02 S 0.03 S 0.04 S -0.95 mA 4,75V/5 k Ω