Technische Informatik I

Präsentation zum Thema: "Technische Informatik I"—  Präsentation transkript:

1 Technische Informatik I
(für Bachelor) (INF 1210) - Teil 2 Vorlesung 1: Dynamische Schaltvorgänge , v12 Prof. W. Adi Themen: Dynamische Schaltvorgänge 1. Ordnung: RC, RL Dynamische Schaltvorgänge 2. Ordnung: RCL Quellen: Zum Teil aus der Unterlagen des Kurse „EECS 42 aus University of California, Berkeley)“ Zum Teil aus „Technische Informatik II Skript, Prof. Ernst TU Braunschweig“

2 Schaltvorgänge der 1. Ordnung
Eine Schaltung, die nur Quelle, Widerstand und Induktivität in Serie enthält wird eine RL Schaltung genannt. Eine Schaltung, die nur Quelle, Widerstand und Kondensator in Serie enthält wird eine RC Schaltung genannt. Das Zeitverhalten für beide Schaltungen wird analysiert. R R i i Us Us L C RC Schaltung RL Schaltung

3 RC Schaltung Wasserpumpen Simulation
Us C Motor mit konstantem Drehmoment Us Wassermodell für eine Schaltung mit Spannungsquelle, Widerstand und Kondensator. Entsprechen Pumpe, Verengung und Behälter.

4 Zur Erinnerung: Der Spannungsverlauf auf einer Induktivität für eine sprunghafte Strom-Veränderung: UL= L dIL/dt UL IL Der Stromverlauf in einen Kondensator für eine sprunghafte Spannungs-Veränderung: IC = C dUC/dt UC IC Grundsätzlich gilt: Ein unendlich schneller Strom- oder Spannungs- Sprung ist nicht realisierbar! U,I t Für idealen Sprung dU/dt =∞ oder dI/dt =∞ Begründung: Falls dU/dt oder dI/dt unendlich groß wird, steigt die Spannung bzw. der Strom durch den Kondensator bzw. durch die Induktivität auf einen Unendlich hohen Wert. Dies ist physikalisch nicht realisierbar!

5 Definitionen der Übergänge
Ist in L oder C einer RL- oder RC-Schaltung Energie gespeichert, so ist der natürliche Übergang „ natural response“ als der Strom- oder Spannung- zeitverlauf am Widerstand des Netzwerkes (ohne Quelle) nach einschalten zu definiert. R i Beispiel: Ein geladener Kondensator C wird durch das Schließen eines Schalters entladen. u C t = 0 Besonders interessant in der Datentechnik ist das Übergangs-Schaltverhalten: Die Sprungantwort „Step Response“ einer RL oder RC Schaltung ist der Strom- und Spannungsverlauf nach einem Strom- oder Spannung-Stufensprung aus der Quelle oder unmittelbar nach dem Zustandswechsel eines Schalters. DB:Erster Absatz bin ich mir unsicher, ob das gemeint ist… MH: Ich hab das mal so umgeschrieben, wie ich denke, dass es gemeint ist Fazit: Wir Sind uns hier beide nicht sicher, ob wir durch unsere Korrektur die von Ihnen gewünschte Information richtig wiedergeben. Es wäre gut, wenn Sie diese Folie noch einmal einsehen! R i Stufensprung Quelle U oder I u Impuls- Quelle C t Beispiel: Spannung-Stufensprung an einer RC Schaltung

6 Bitte beachten: Jede Schaltung der 1. Ordnung kann auf eine einzelne, äquivalente Quelle, verbunden mit einer einzelnen, äquivalenten Spule (Induktion) oder einem Kondensator vereinfacht werden. RTh VTh ITh RTh L C ↔ RL Äquivalente Schaltung RC Äquivalente Schaltung

7 Eingeschwungener Zustand „Steady-State“
Im eingeschwungenen Zustand verändern sich in einer Schaltung weder Strom noch Spannung. D.h du/dt = 0 und di/dt=0, (da Strom und Spannung –Quellen in diese Zeitraum als (Konstante) Gleichstromquellen gelten). Im eingeschwungenen Zustand verhält sich eine Induktivität für Gleichstrom wie eine Kurzschlussverbindung uL=L di/dt = 0 ITh ITh RTh L ITh RTh L uL= 0 Im eingeschwungenen Zustand verhält sich eine Kapazität für Gleichstrom wie eine offene Verbindung ic= C du/dt = 0 MH: Hier ist aber nur der eingeschwungene Zustand für den Gleichstromfall gemeint oder? Falls ja, sollte dies erwähnt werden. RTh UTh C RTh UTh C ic= 0

8 Natürliche Übergangsantwort einer RL Schaltung
Betrachtet wird die folgende Schaltung, bei der der Schalter für t < 0 geschlossen war und dann ab t=0 geöffnet wird: t = 0 i u Ro Io L R Notation: 0– ist der Zeitpunkt kurz vor dem Ausschalten 0+ ist der Zeitpunkt kurz nach dem Ausschalten Strom in der Induktivität bei t = 0– ist Io [ iL(t=0-) = Io noch im Eingeschwungener Zustand]

9 Lösung für Stromverlauf (t  0)
Für t > 0, reduziert sich die Schaltung wie folgt: Nach Anwendung der Maschengleichung an der RL Schaltung L di/dt + i R = 0 * ergibt sich folgende Lösung: oder , i u Io Ro L R wobei i(0) der Strom zum Zeitpunkt t=0 ist, => i(0) = I0. Sei I0 =1 A und R/L = K wobei K Konstant ist, da R und L sich zeitlich nicht ändern, dann ist i(t) = e – K t . Wie sieht i(t) dann aus? ) Das ist eine Differentialgleichung der 1.Ordnung deren Lösung kein Bestandteil dieser Vorlesung ist.

10 Wie sieht i(t)=e- kt aus?
Für t=0 => e- kt= e- 0 =1 e-kt Für t=1/k => e-k*1/k = e- 1 = 0.37 0.37 Für t=∞, e-k*∞ = e-∞ = 0

11 Zeitkonstante t Der Strom- und Spannungsverlauf an der Induktivität war: Der Zeitpunkt, zu dem der Exponent -1 wird, d.h i(t) =I0 e-1 nennt man die Zeitkonstante t Bei t = t, beträgt der Wert des Stroms das (1/e ≈ 0.37)-fache vom Anfangswert. Bei t = 5t, beträgt der Strom weniger als 1% seines Anfangswertes.

12 Wie sieht e-t/t aus? t Beispiel für t = 10-4 s e-t/t
Tangente: d i(t)/dt = -1/t e-t/t Für t=0 d i(t)/dt = -1/t e-0 = -1/t e-t/t -1/t ist die Anfangs-Kurven-Tangente der exponentiellen Funktion mit Anfangswert= e0 = 1 e-t/t t = t = 0,0001 s ist die benötigte Zeit um 37% des Anfangsstromwertes zu erreichen. 0.37 tan a = -1/t t =5t a t t = 0,0001Sekunde

13 Berechnung der Spannung für (t > 0)
Io Ro L R Beachten Sie, dass sich die Spannung u sprunghaft ändert! : u(t) u(0+)=I0 R u(0-)=0 t t

14 Natürlicher Übergangsverlauf für eine RC Schaltung
Betrachtet wird die folgende RC Schaltung, bei der der Schalter für t < 0 geschlossen ist, und dann ab t=0 umgeschaltet wird : t = 0 Ro u Uo R C Notation: 0– ist der Zeitpunkt kurz vor der Umschaltung 0+ ist der Zeitpunkt kurz nach der Umschaltung Spannung in der Kapazität bei t = 0– ist U0

15 Lösung für Spannungsverlauf (t  0)
Für t > 0, vereinfacht sich die Schaltung wie folgt: Anwendung der Maschengleichung an der RC Schaltung u + R * I =0 oder u + R * C du/dt =0 ergibt folgende Lösung: i u Ro Uo C R u(0)=Uo

16 Lösung für Stromverlauf (t > 0)
i u Ro Uo C R Bemerkung: Strom ändert sicht sprunghaft:

17 Die Zeitkonstante t Spannungsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit ist:
Die Zeitkonstante wird als t definiert, wobei Bei t = t, reduziert sich die Spannung auf das (e-1 ≈ 0.37) -fache des Anfangswertes. Bei t = 5 t, verringert sich die Spannung auf weniger als 1% des Anfangswertes. (Wobei R in Ohm, C in Farad, und t in Sekunden gemessen wird)

18 Zusammenfassung: Natürliche Übergänge
RL Schaltung Spulenstrom kann sich nicht sprunghaft ändern Zeitkonstante RC Schaltung Kondensator Spannung kann sich nicht sprunghaft ändern Zeitkonstante i u L R C R

19 Übergangsverlauf für Schaltung der 1. Ordnung
Zusammenfassung: Strom und Spannung in RL bzw. RC Schaltung schwinden exponentiell mit der Zeit, mit einer charakteristischen Zeitkonstante t, falls der bisher angelegte Strom oder die Spannung plötzlich abgeschaltet wird. Allgemein: Wenn sich der bestehende Strom oder die Spannung sprunghaft ändern, dann ändert sich die Spannung und der Strom in der RL- oder RC- Schaltung exponentiell mit der Zeit (vom Anfangswert bis zum Endwert). Die charakteristische Zeitkonstante ist t, wie folgt: Wobei x(t) die Schaltungsvariable (Spannung oder Strom), xf der Endwert der Schaltungsvariablen und t0 der Zeitpunkt des Wechsels ist. Dies ist eine sehr nützliche Formel!

20 Wie berechnet man den Übergangsverlauf? 1/2
Identifizieren Sie die Verlaufsvariable: Für RL Schaltung, ist es üblicherweise der Spulenstrom iL(t) Für RC Schaltung, ist es üblicherweise die Kondensatorspannung uc(t) Bestimmen Sie den Anfangswert (bei t = t0+) der Variablen Zu beachten ist, dass iL(t) und uc(t) kontinuierliche Variablen sind: iL(t0+) = iL(t0) und uc(t0+) = uc(t0) Es wird angenommen, das sich die Schaltung vor t0 im eingeschwungenen Zustand befindet. Benutzen Sie die Fakten, das sich eine Spule wie ein Kurzschluss im eingeschwungenen Zustand und sich dagegen ein Kondensator wie eine Leitungsunterbrechung im eingeschwungenen Zustand verhält.

21 Wie berechnet man den Übergangsverlauf? 2/2
Berechnen Sie den Endwert der Variablen (Wert bei t  ∞) Beachten Sie nochmal, das sich eine Spule wie ein Kurzschluss im eingeschwungenen Zustand (t  ∞) und dagegen ein Kondensator wie eine Leitungsunterbrechung im eingeschwungenen Zustand (t  ∞) verhält. 4. Berechnen Sie die Zeitkonstante der Schaltung t = L/R für eine RL Schaltung, wobei R der Thévenin- äquivalente Widerstand von der Spule aus gesehen ist. t = RC für eine RC Schaltung wobei R der Thévenin- äquivalente Widerstand vom Kondensator aus gesehen ist.

22 Beispiel R t = RC = 2.5 ms UAusg C UEin
4V Ein Spannungsimpuls mit der Breite 5 ms und der Höhe 4 V ist auf den Eingang der folgenden Schaltung geschaltet, beginnend mit dem Zeitpunkt t = 0: R UAusg UEin C t = RC = 2.5 ms R = 2.5 kΩ C = 1 nF Zuerst, steigt UAusg exponentiell in Richtung 4V. Wenn UEin abnimmt, wird UAusg exponentiell nach 0V abnehmen. Welchen Spitzenwert wird UAusg erreichen? Der Ausgang steigt für 5 ms, oder 2 Zeitkonstanten. Also erreicht er 1 - e-2 oder 86% des Endwertes. 0.86 x 4 V = 3.44 V ist der Spitzenwert von UAusg

23 { Eingang-Ausgang Spannungsverlauf (4 - 4 e-t/2.5ms ) für 0 ≤ t ≤ 5 ms
Berechnung durch Anwendung der Formel: { (4 - 4 e-t/2.5ms ) für ≤ t ≤ 5 ms 3.44 e-(t-5ms)/2.5ms für t > 5 ms UAusg(t) = UEin (t) 4 3,44 V UAusg(t) 3.5 3 2.5 3.44 e-(t-5)/2.5 2 1.5 1 (4 - 4 e-t/2.5 ) 0.5 2 4 5 6 8 10

24 Signale im Digitalrechner
Rechenoperationen im Digitalrechner werden durch Impulse bearbeitet. Wir senden saubere Impulse: Spannung Zeit Aber wir empfangen verfälschte Impulse am Ausgang: Spannung Zeit Die Verfälschung liegt hauptsächlich an Kondensator-Ladeprozessen! Jeder Knoten in einer realen Schaltung besitzt eine Kapazität. Der Ladevorgang dieser Kapazitäten limitiert die Schaltgeschwindigkeit!

25 Schaltungsmodell für einen logischen Baustein:
Elementare elektronische Bausteine im Digitalrechner, genannt “logische Gatter”, werden verwendet um alle Rechenfunktionen zu implementieren, wie (NAND, NOR, NOT Gatter) (Jede logische Funktion kann durch Benutzung solcher Elemente implementiert werden). Ein logisches Gatter (wie in späteren Themen zu sehen wird) kann durch eine RC Schaltung vereinfacht modelliert werden: R 1 1 Uin(t) C UAusg. Quelle schaltet zwischen niedrigen Spannungs- (Logik 0) und höheren Spannungs- (Logik 1) Zuständen

26 Übergang der Logik-Stufen
Übergang von “1” zu “0” (Kapazität entladen) Übergang von “0” auf “1” (Kapazität laden) 1 Uhigh 1 ULow UAusg UAusg Uhigh Uhigh 0.63 Uhigh 0.37Uhigh ULow Zeit Zeit RC RC (Uhigh ist der Logik 1 Spannungspegel) (ULow ist der Logik 0 Spannungspegel)

27 Impuls Verzerrung + – R UAusg Uin(t) C
Der Eingangsimpuls muss breit genug sein, andernfalls wird er am Ausgang verzerrt oder sogar nicht erkannt. (Wir müssen so lange warten, bis die Ausgangsspannung einen Wert erreicht, der ausreicht, um die Logik- Stufe zu identifizieren. Erst danach darf sich der Eingang wieder ändern) + – UAusg Uin(t) C Impulsbreite = 0.1RC Impulsbreite = RC Impulsbreite = 10RC 1 2 3 4 5 6 Zeit Vout 1 2 3 4 5 6 Zeit Vout 1 2 3 4 5 6 10 15 20 25 Zeit Vout

28 Vorlesungsende

29 Übungsbeispiel: RC Übergangsverlauf
Berechnen Sie den Strom i(t) und die Spannung u(t). Bei t=0 schaltet der Schalter um, und schaltet nach 0,03 Sekunden zurück: R1 = 10 kΩ t = 0 i u Us = 5 V C = 1 mF R2 = 5 k Ω Berechnung der Spannung u durch Anwendung der Formel Vor dem Einschalten, u(0) = 0 Direkt nach dem sich der Schaltvorgang, u = 0, (entspricht x(t0+) ) 2. Lange Zeit nach dem Einschalten, u(∞) = Us = 5 V (entspricht xf ) 3. Zeitkostante R1C = (104 W)(10-6 F) = 0.01 Sekunden

30 R1 = 10 kW t = 0 i u C = 1 mF Us = 5 V R2 = 5 kW
Jetzt gilt für den Strom i(t), t > 0 Nach dem Ohm‘schen Gesetz, I = U/R

31 t t t/2 t t/2 u(t) t ic(t) t i i u R1 = 10 kΩ 5 V 0.5 mA -0.95 mA
U0= 0 V i u Us = 5 V C = 1 mF U0=4.75 V u(t) R2 = 5 k Ω C = 1 mF t 4.75 V 5 V 0,63x 5 V t t 0.01 S 0.02 S 0.03 S t/2 0.04 S ic(t) 1 mF x 5 k Ω = 0,005 Sec = t / 2 0.5 mA t/2 0.025 mA 0,37x 0.5 mA t t 0.01 S 0.02 S 0.03 S 0.04 S -0.95 mA 4,75V/5 k Ω