Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Geometrie II 2 Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Aufgabe II 2 In einem Koordinatensystem beschreibt die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene die Meeresober- fläche (1 LE entspricht 1 m). Zwei U-Boote 𝑈 1 und 𝑈 2 bewegen sich geradlinig jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. Die Position von 𝑈 1 zum Zeitpunkt 𝑡 ist gegeben durch 𝑥 = 140 105 −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 (𝑡 in Minuten seit Beginn der Beobachtung). 𝑈 2 befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt 𝐴(68 135 −68) und erreicht nach drei Minuten den Punkt 𝐵(−202 −405 −248).

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Wie weit bewegt sich 𝑈 1 in einer Minute? Woran erkennen Sie, dass sich 𝑈 1 von der Meeresoberfläche weg bewegt? Welchen Winkel bildet die Route von 𝑈 1 mit der Meeresoberfläche? (4 VP) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von 𝑈 2 in m min . Begründen Sie, dass sich die Position von 𝑈 2 zum Zeitpunkt 𝑡 beschreiben lässt durch 𝑥 = 68 135 −68 +𝑡∙ −90 −180 −60 . Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide U-Boote in gleicher Tiefe? (4 VP)

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Welchen Abstand haben die beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn? Aus Sicherheitsgründen dürfen sich die beiden U-Boote zu keinem Zeitpunkt näher als 100 m kommen. Wird dieser Sicherheitsabstand eingehalten? (4 VP) Die Routen der beiden U-Boote werden von einem Satelliten ohne Berücksichtigung der Tiefe als Strecken aufgezeichnet. Diese beiden Strecken schneiden sich. Wie groß ist der Höhenunterschied der zwei Routen an dieser Stelle? (4 VP)

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Lösung: Wie weit bewegt sich 𝑼 𝟏 in einer Minute In einer Minute legt 𝑈 1 genau einmal die Länge des Richtungsvektors zurück. Es folgt −60 −90 −30 = −60 2 + −90 2 + −30 2 = 12600 ≈112,25. Ergebnis: 𝑈 1 legt in einer Minute etwa 112,25m zurück.   Wegbewegung von der Meeresoberfläche Die Höhenkoordinate ist für jede Minute 𝑡 gegeben durch 𝑥 3 =−170−30𝑡. Mit größer werdendem 𝑡 nimmt 𝑥 3 immer mehr ab, d.h. 𝑈 1 entfernt sich von der Meeresoberfläche (nach unten). 𝑈 1 : 𝑥 = 140 105 −170 +𝑡∙ −60 −90 −30

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Winkel zwischen der Route von 𝑼 𝟏 und der Meeresoberfläche 𝐸: 𝑥 3 =0 ist eine Gleichung die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene (der Meeresoberfläche). Winkelformel Gerade/Ebene: sin 𝛼 = 𝑛 ⋅ 𝑢 𝑛 ⋅ 𝑢 wobei 𝑢 der Richtungsvektor der Geraden und 𝑛 der Normalenvektor der Ebene ist. Es gilt 𝑛 = 0 0 1 und 𝑢 = −60 −90 −30 und somit 𝑛 =1, 𝑢 =112,25 und 𝑛 ⋅ 𝑢 = 0⋅ −60 +0⋅ −90 +1⋅ −30 =30. Es folgt sin 𝛼 = 30 112,25 ≈0,267. Mit dem GTR erhält man 𝛼≈15,5°. Ergebnis: Der Winkel zwischen der Route von 𝑈 1 und dem Meeresspiegel beträgt etwa 15,5°.

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 𝐴(68 135 −68) 𝐵(−202 −405 −248) Geschwindigkeit von 𝑼 𝟐 Es gilt 𝐴𝐵 = −202 −405 −248 − 68 135 −68 = −270 −540 −180 = −270 2 + −540 2 + −180 2 =630 In 3 Minuten werden 630m zurückgelegt, in einer Minute sind es dann 210m. Ergebnis: 𝑈 2 hat eine Geschwindigkeit von 210 m min .

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 𝑈 2 : 𝑥 = 68 135 −68 +𝑡∙ −90 −180 −60 Begründung für die Geradengleichung von 𝑼 𝟐 In der Geradengleichung ist der Ortsvektor von A der Stützvektor. Einen Richtungsvektor habe wir oben mit 𝐴𝐵 = −270 −540 −180 bestimmt. Wenn wir durch 3 teilen, ändert sich dadurch lediglich die Länge des Richtungsvektors aber nicht die Richtung. Daher ist 𝑢 = −90 −180 −60 wie in der Geradengleichung ebenfalls ein möglicher Richtungsvektor. 𝐴(68 135 −68)

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 𝑈 1 : 𝑥 = 140 105 −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 Zeitpunkt für gleiche Tiefe Höhenkoordinaten von 𝑈 1 : 𝑥 3 =−170−30𝑡 Höhenkoordinaten von 𝑈 2 : 𝑥 3 =−68−60𝑡 Gleichsetzen und t bestimmen: −170−30𝑡=−68−60𝑡 ⇒ 30𝑡=102 ⇒ 𝑡=3,4 Ergebnis: Nach 3,4 Minuten befinden sich 𝑈 1 und 𝑈 2 in gleicher Tiefe. 𝑈 2 : 𝑥 = 68 135 −68 +𝑡∙ −90 −180 −60

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 𝑈 1 : 𝑥 = 140 105 −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 c) Abstand der beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn Zu Beobachtungsbeginn befindet sich 𝑈 1 im Punkt 𝐶 140 105 −170 und 𝑈 2 im Punkt 𝐴 68 135 −68 . Der Abstand dieser beiden Punkte ist 𝐴𝐶 = 140 105 −170 − 68 135 −68 = 72 −30 −102 = 72 2 + −30 2 + −102 2 ≈128,4 Ergebnis: Bei Beobachtungsbeginn haben die U-Boote einen Abstand von etwa 128,4m.

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Werden die Sicherheitsbestimmungen eingehalten? Aus der Geradengleichung liest man ab, dass 𝑈 1 sich zum Zeitpunkt 𝑡 im Punkt 𝑃 𝑡 140−60𝑡 105−90𝑡 −170−30𝑡 und 𝑈 2 im Punkt 𝑄 𝑡 68−90𝑡 135−180𝑡 −68−60𝑡 68−90𝑡 135−180𝑡 −68−60𝑡 befindet. Der Abstand ist 𝑑 𝑡 = 𝑃𝑄 = 68−90t 135−180t −68−60t − 140−60t 105−90t −170−30t = −72−30t 30−90t 102−30t = −72−30t 2 + 30−90t 2 + 102−30t 2 Das Minimum dieses Abstands lässt sich mit dem GTR bestimmen. 𝑈 1 : 𝑥 = 140 105 −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 𝑈 2 : 𝑥 = 68 135 −68 +𝑡∙ −90 −180 −60

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Geben Sie obigen Ausdruck bei Y1 im GTR ein uns lassen Sie sich den Graphen im 𝑥-Intervall 0;100 und im 𝑦-Intervall 0;300 zeichnen. Mit {2ND CALC minimum} bestimmen Sie im Intervall 0;100 den minimalen Abstand der beiden U-Boote. Sie erhalten bei 𝑡=0,32 den Wert 123,28. Hinweis: Streng genommen ist dies noch kein Beweis dafür, dass die Sicherheitsbestimmungen eingehalten werden, da wir mit dem GTR nur den Zeitabschnitt zwischen 0 und 100 Minuten untersucht haben. Formal müssten wir 𝑑′ 𝑡 =0 setzen und damit das Minimum finden. Das Ergebnis ist dasselbe, wir ersparen uns aber hier die Details. Ergebnis: Der minimale Abstand zwischen den beiden U-Booten beträgt 123,28m, d.h. die Sicherheitsbestimmungen werden eingehalten.

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Höhenunterschied Ohne Berücksichtigung der Tiefenkoordinate sind die Geradengleichungen für die U-Boote wie folgt gegeben: U 1 : 𝑥 = 140 105 +𝑠⋅ −60 −90 und U 2 : 𝑥 = 68 135 +𝑡⋅ −90 −180 ; 𝑠,𝑡∈ℝ Gleichsetzen liefert:   140 105 +𝑠⋅ −60 −90 = 68 135 +𝑡⋅ −90 −180 ⇔ 72 −30 =𝑠⋅ 60 90 +𝑡⋅ −90 −180

Wahlteil 2012 – Geometrie II 2 Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem: I. 60𝑠−90𝑡 = 72 II. 90𝑠−180𝑡 = −30 Lösung: 𝑠=5,8 und 𝑡=3,067 (ermittelt mit dem GTR). Die 𝑥 3 -Koordinate von 𝑈 1 erhalten Sie, indem Sie den Wert 5,8 in die Geradengleichung einsetzen. Es gilt 𝑥 3 =−344. Analog erhalten Sie die 𝑥 3 -Koordinate für 𝑈 2 mit 𝑥 3 =−252. Der Höhenunterschied beträgt dann −252− −344 =92. Ergebnis: Der Höhenunterschied der beiden U-Boote beträgt 92m.