LTD Systeme M d Q Tavares , TB425 dqtm@zhaw.ch

Applied Mathematics (SiSy) SiSy Overview Signals step / impulse / rect / sinc continuous / discret periodic / aperiodic deterministic / random representation in time / frequency domains power and energy in freq domain Systems linearisation feedback and stability discretisation Transforms FR ; FT ; DFT/FFT : Laplace : Z-Transformation : DCT : Applications Biomedical / Operational Research/ Sensorics & Messtechnik Automation / Location & Telecommunication Systems Data Compression & Cryptography / Image Processing / Audio Synthesis & Analysis Statistical Signal Processing LTI DGl; BSB; ZVD; h(t); g(t); G(ω); G(s) u(t) U(ω) u[n] U(z) y(t) Y(ω) y[n] Y(z) LTD DzGl; BSB; ZVD; g[n]; G(ω); G(z) ω t f S-Plane Control (RT) Telecomm (NTM) SigProc (DSV, ASV) Z-Plane n Applied Mathematics (SiSy) x y Mathematics

Inhalt Einführung LTD Systeme (Vergleich mit kontinuierlichen LTI Systemen) Darstellungsarten Z-Transformation Übertragungsfunktion Diskretisierungsmethode

LTI Kontinuierliches System Darstellungsarten u(t) y(t) U(ω); U(f) U(s) y(t) Y(ω); Y(f) Y(s) Differentialgleichung Impulsantwort Schrittantwort Frequenzgangfunktion Übertragungsfunktion Blockschaltbild Zustandsvariablen

LTD Diskretes System Darstellungsarten u[n] y[n] U(ω); U(f) Y(ω); Y(f) U(z) y[n] Y(ω); Y(f) Y(z) Differenzengleichung Impulsantwort Schrittantwort Frequenzgangfunktion Übertragungsfunktion Signalflussdiagramm (Blockschaltbild) Zustandsvariablen

Lichtregelungsmodell Signal Generator Gitter Regler Sollwert ysoll Lampe Licht-sensor Stellgrösse u - Messgrösse yM X Y Z GR GL K2

Digital Signalverarbeitung fs fs fg < fs/2 fg < fs/2 ADC „DSP“ DAC mit ZOH Anti-Aliasing- Filter Post-Filter Diskretes System Zahlenfolge u[n] Zahlenfolge y[n]

Beispiel-1 :Differenzengleichung Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen R x(t) C y(t) τ·dy(t)/dt + y(t) = x(t) Lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme => Differenzengleichungen x[n] y[n] dy(t)/dt ≈ (1/Ts) · [ y[n] - y[n-1] ] Ts b0 y[n] = b0·x[n] - a1·y[n-1] b0 = Ts/(Ts+τ) und a1 = b0-1. -a1

Differenzengleichung und Signalflussdiagramm x[n-1] x[n-N] x[n] Ts ... Ts b0 b1 bN-1 bN ... y[n] -aM -aM-1 -a1 Ts ... Ts y[n-M] y[n-1] Nicht-rekursive Systeme (FIR-/Transversalfilter) Rekursive Systeme (IIR-Filter)

Diskrete Systeme : Eigenschaften Welche sind LTD? Diskretes Systeme uk xk Welche sind rekursiv? Aufpassen mit verschiedenen Notationen

Beispiel-2 : Übung : Bestimmen den System-Typ und zeichnen das Flussdiagramm

Beispiel-3 : Zustandsraumdarstellung Kuhherde

Beispiel-3 : Zustandsraumdarstellung Kuhherde

Beispiel-3 : Zustandsraumdarstellung Kuhherde

Stoss- oder Impulsantwort Anregung : PI-Regler ek uR_k

Beispiel-4 : Impulsantwort

Impulsantwort und Faltungssumme h[n] (Impulsantwort) LTD- System 1 n n Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] für beliebige Eingangsfolgen x[n] x0[n] = x[0]·δ[n] => y0[n] = x[0]·h[n] xk[n] = x[k]·δ[n-k] => yk[n] = x[k]·h[n-k]

Faltung (Beispiel) Approximation RC-Tiefpass 1. Ordnung, RC=1s, fs=10 Hz: b0 = 0.0909 und a1 = -0.9091. y[10]

Faltung (Beispiel 2) RC-Tiefpass-Approximation: b0 = 0.2 und a1 = -0.8 Signal: Sägezahnimpuls Bevor ein Signal x eintrifft (n < 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System). Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen x. Faltung = Signale spiegeln, mit Impulsantwort multiplizieren, Terme aufaddieren.

z-Transformation Laplace-Transformation von x[n]: Substitution: Definition z-Transformation: Eigenschaft: Zeitverschiebung x[n-k] z-k·X(z)

z-Transformation & Impulsantwort Beispiel TPF 1.Ordnung (Differenzengleichung –DzGl- S.8) n = -1 0 1 2 3 … h[n] = 0 b0 -a1·b0 a12·b0 -a13·b0 … H(z) = 0·z1 + b0·z0 -a1·b0·z-1 +a12·b0·z-2 -a13·b0·z-3 … Impulsantwort h[n] = b0 . (-a1)n

Eigenschaften der z-Transformation Linearität (!) Zeitverschiebung (!) Faltung (!) Multiplikation mit Exponentialfolge Multiplikation mit der Zeit Anfangswerttheorem für einseitige z-Trafo Endwerttheorem für einseitige z-Trafo a·x1[n] + b·x2[n] a·X1(z) + b·X2(z) x[n-k] z-k·X(z) x[n] * h[n] X(z) · H(z) an·x[n] X(z/a) n·x[n] -z·dX(z)/dz

Frequenzgang eines LTD-Systems H(z): Übertragungsfunktion (UTF) z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

z-Transformation - Fouriertransformierte Fourier-/Laplace-Transformation: X(f) = X(s = j2πf) Laplace-/z-Transformation: X(s) = X(z = esTs) Fourier-/z-Transformation: X(f) = X(z = ej2πfTs) Beispiel: Approximation RC-Tiefpass 1. Ordnung mit fg=100 Hz fs= 10 kHz, b0= 0.06, a1= -0.94 =>

Frequenzgang eines LTD-Systems H(z): Übertragungsfunktion (UTF) z-Transformierte der Impulsantwort h[n] H(f) IH(f)I Im[H(f)] φ(f) H(f): Frequenzgang H(f) = H(z=ej2πfTs) Fourier-Transformierte von h[n] Polarkoordinatendarstellung => Re[H(f)] IH(f)I: Amplitudengang meistens in dB, d.h. 20*log10(IH(f)I) gerade Funktion, d.h. IH(f)I = IH(-f)I wenn h[n] reell: H(f) = H*(-f) φ(f): Phasengang ungerade Funktion, d.h. φ(f) = -φ(-f) φ(f) = arctan( Im[H(f)] / Re[H(f)] )

Frequenzgang eines LTD-Systems Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs cos(2πf0·nTs) H(f) IH(f0)I·cos[2πf0·nTs+φ(f0)] = IH(f0)I·cos[2πf0·(nTs-Δ0)] wobei Zeitverzögerung Linearer Phasengang H(f) verzögert alle Frequenzkomponenten um Δ=K/2π φ(f) = -K·f

Frequenzgang eines LTD-Systems

z-Transformation der s-Ebene Substitution s-Ebene Re(s) Im(s) Re(z) Im(z) z-Ebene j2π·fs/2 j2π·fs -j2π·fs/2 -j2π·fs Imaginäre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet

Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk PN-Darstellung der UTF Nullstellen der UTF Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk Beispiel: P=ej2πfTs für f=fs/8 x[n] K Ts Ts Ts s2 1 -1 1 -1 s4 f = fs/2 s1 f = 0 + y[n] 3 Pole s3 H(z) = K·(z-1)·(z+j)·(z-j) / z3 H(f=fs/8) = K·s1·s2·s3 / s43 Nullstelle

Vergleich: Laplace-, z- und Fourier-Trafo Demo: dsv1kap4_digisys_vergleich.m

Zusammenfassung LTD-Systeme Faltungssumme Impulsantwort h[n] x[n] y[n] Differenzengleichung X(f) X(z) Y(f) = X(f)·H(f) Y(z) = X(z)·H(z) H(f): Frequenzgang H(z): Übertragungsfunktion <= H(f) = H(z=ej2πfTs)

Z-Transformation : s-z mapping z=exp(s.Ts) H(s) => H(z) Polynom in s Polynom in z (oder z-1) Methoden (Matlab c2d): Matched Poles and Zeros Tustin (or bilinear) approximation Tustin with Frequency Prewarping Zero-Order Hold First-Order Hold Impulse Invariance

Bilineare sz-Transformation Potenzreihe Nach dem ersten Glied abgebrochen Nicht lineare Transformation!! Genauer je kleiner |z-1| wird

„Mapping“ der Bilineare sz-Transformation s-Ebene z-Ebene (Innenseite) Dreht nur einmal rund um dem Einheitskreis  kein Aliasing-Effekt!! Im Re Im Re z-Ebene s-Ebene

z-Ebene s-Ebene Beispiel : Zusammenhang zwischen: „analoge Frequenzachse“  „digitale Frequenzachse“ s-Ebene z-Ebene Beispiel : z-Transformation bilineare sz- Transformation Im Re z-Ebene 115° Verzerrung der Frequenzachse (warping)  Vorverzerrung (prewarping)

Bilineare Transformation sz-Trafo f-Trafo: j2πfanalog = j(2/Ts)·tan(πfdigitalTs) kein Aliasing ! aber Frequenzstauchung ! IHa(f)I fanalog fanalog -fs/2 fs/2 prewarping fdigital fDB IH(f)I fdigital fDB fs/2

Übung: TP 1.Ordnung Frequenzgang Impulsantwort PZ-Map Wie sehen sie aus? Frequenzgang Impulsantwort PZ-Map 1) Bestimmen HD(z) Durch die bilineare sz-Transformation 2) Skizze von PZ-Map und Schätzung von │HD() │ 3) Skizze des Blockdiagramms (oder Signalflussdiagramm) , und Berechnung von h[n]. Überprüfen Sie ihre Antworte mit Matlab.

Übungen Übung 5: Digitale Systeme im Zeit- und Frequenzbereich Übung 6: Diskrete Fourier Transformation (DFT) Einige MATLAB Befehle für Deklaration & Analyse von LTD Systeme b : Vektor mit Koeffizienten des Zählers von H(z) a : Vektor mit Koeffizienten des Nenners von H(z) System Antwort zum Eingangssignal u[n] y_n = filter( b, a, u_n) Plot von Frequenzgang freqz( b, a) Plot von PN-Diagramm in Z-Ebene zplane( b, a)

Z-Transformation : s-z mapping z=exp(s.Ts) H(s) => H(z) Polynom in s Polynom in z (oder z-1) Methoden (Matlab c2d): Matched Poles and Zeros Tustin (or bilinear) approximation Tustin with Frequency Prewarping Zero-Order Hold First-Order Hold Impulse Invariance

Diskrete Modelle kontinuierlicher Systeme => Annäherung eins LTI-Systems durch ein diskretes LTD-System Möglichkeiten: Ableitung durch Euler-Differenzenverfahren in Differentialquotienten ersetzen Bmk: nur für geringe Ordnung und kleine Ts genau. Zeitverhalten des kontinuierlichen Systems für bekannte Anregungssignal (e.g. Impuls- oder Schrittantwort) als diskrete Folge approximieren Bmk : Anfällige (susceptible) zum Aliasing. Interessant für Fs >> fmax dy(t)/dt ≈ (1/Ts)·[y(nTs)-y((n-1)Ts)] LTI H(s) u(t) u[k] U(z) y(t) y[k] Y(z) Ts LTD H(z)

Diskrete Modelle kontinuierlicher Systeme => Annäherung eins LTI-Systems durch ein diskretes LTD-System Möglichkeiten: Gegeben kontinuierliches System und D/A-A/D Methoden, die äquivalente diskrete System bestimmen Ts LTI H(s) u[k] y[k] D/A mit ZOH A/D HD(z) = HZOH(z)

Diskrete Modelle kontinuierlicher Systeme Methoden (Matlab c2d): Tustin (or bilinear) approximation w/ and w/o prewarping num = 1; den = [M b k]; sys_c = tf(num,den); sys_d1 = c2d(sys,Ts,‘tustin‘) sys_d2 = c2d(sys,Ts,‘prewarp‘) Impulse Invariance sys_d3 = c2d(sys,Ts,‘imp‘) Bmk : Gewichtung des LTI-Impulsantwort not included in Matlab function Zero-Order Hold sys_d4 = c2d(sys,Ts,‘zoh‘)