Projekt Graphentheorie Eulerpfad Dorothee Martin, Anjali Magin, Verena Möhler, Eva Muszar Algorithmus: Wie findet man einen Eulerpfad? Was ist ein Eulerpfad? Ein Eulerpfad ist ein Weg durch einen Graphen, der jede Kante genau einmal durchläuft. Ein bekanntes Beispiel hierfür: Wenn die Anfangs- und Endknoten eines Eulerpfades identisch sind, heißt er Eulerkreis. 1. Überprüfe, ob in dem ausgewählten Graphen ein Eulerpfad oder ein Eulerkreis existiert. Ist dies nicht der Fall, breche an dieser Stelle ab. Schritt 3 Das Haus des Nikolaus 2. Unterteile den Graphen in mehrere Zyklen, so dass alle Kanten des Graphen verwendet werden. Schritt 2 Gehe zu einem benachbarten Knoten desselben Zyklus und markiere die begangene Kante. Schritt 4 3. Wähle wie folgt einen Knoten in einem Zyklus aus: Existiert ein Eulerkreis, wähle einen beliebigen Knoten; existiert ein Eulerpfad, wähle einen der Knoten mit ungeradem Grad. 5. Wiederhole den vorherigen Schritt so lange, a) bis du zu einem Knoten kommst, der auch in einem anderen Zyklus, in dem noch keine Kante begangen wurde, verwendet wird. Wähle diesen Zyklus als den in Schritt 6 zu bearbeitenden. b) bis alle Kanten des Zyklus begangen sind. Wähle nun einen beliebigen an den eben erreichten Knoten angrenzenden Zyklus als den in Schritt 6 zu bearbeitenden. Begriffserklärungen: Ein Graph besteht aus Knoten sowie Kanten, die die Knoten verbinden. Zwei Knoten sind benachbart, wenn sie durch eine Kante verbunden sind. Der Grad eines Knoten gibt an, wie viele Kanten an diesen angrenzen. Ein Weg ist eine Folge von Knoten über Kanten in einem Graphen. Ein Algorithmus ist eine systematische Anweisung, um eine Fragestellung definitiv zu beantworten. Ein Zyklus ist ein Weg, bei dem Anfangs- und Endknoten identisch sind und sonst keine Knoten und Kanten mehrfach verwendet werden. In welchen Graphen gibt es Eulerpfade/Eulerkreise? Hat der Graph genau zwei Knoten mit ungeradem Grad, gibt es einen Eulerpfad, aber keinen Eulerkreis. Die beiden Knoten mit ungeradem Grad müssen Anfangs- und Endknoten sein, denn alle anderen Knoten müssen begangen und verlassen werden, dazu muss der Grad gerade sein, sonst landet man in einer Sackgasse. Einen Eulerkreis gibt es, wenn alle Knoten einen geraden Grad haben. Gehe nun über eine noch nicht markierte Kante zu einem benachbarten Knoten im neuen Zyklus und markiere wiederum die dabei begangene Kante. Schritt 6 7. Wiederhole Schritt 5 und 6 bis du bei einem Knoten bist, dessen Kanten schon alle verwendet wurden. Fertig!