Kapitel 6: Einführung in die DFT SiSy, DFT, 1 Ideal abgetastetes Signal Fourier-Spektrum zeitdiskretes Signal N Werte im Zeitfenster [0,NTs) N Werte X(f = m·fs / N) im Frequenzbereich [0,fs) Diskrete FT

Kapitel 7: Einführung in die DFT SiSy, DFT, 2 DFT Inverse DFT Die DFT berechnet aus N Abtastwerten x[n] im Zeitfenster der Länge TDFT = NTs N komplexe Spektralwerte im Frequenzbereich [0,fs) Frequenzauflösung Δf = fs / N ist umgekehrt proportional zur Länge des Zeitfensters TDFT = NTs

Berechnung der DFT Definition DFT "DC"-Komponente SiSy, DFT, 3 Definition DFT "DC"-Komponente Frequenz "AC"-Komponente @ fs/N Zeit "AC"-Komponente @ 2fs/N oft betrachtet man die normierten DFT-Frequenzkomponenten X[m]/N

DFT-Beispiel zur Frequenzauflösung SiSy, DFT, 4 Zeitbereich Frequenzbereich

DFT-Beispiel zur Frequenzauflösung SiSy, DFT, 5 Zeitbereich Frequenzbereich TDFT = 4·Ts 0.5 fs/2 fs Δf = fs/4 T0 = 4·Ts => f0 = fs/4 0.5 fs/2 fs Δf = fs/8 TDFT = 8·Ts

DFT-Beispiel zur Frequenzauflösung SiSy, DFT, 6 Zeitbereich xa(t)=(1/t0)·e-t/to t0=RC=10s Ts = 1s TDFT = 32s Frequenzbereich IXa(f)I = I1/(1+j2πf·t0)I Δf =1/TDFT= 1/32 Hz fs =1/Ts= 1 Hz

DFT-Beispiel SiSy, DFT, 7 N = 16 TDFT = NTs ∆f = fs / N

Approximation der FR mit der DFT SiSy, DFT, 8 Zeitbereich N Samples von 1 Periode T0 eines periodischen Signals x(t) mit der Grundfrequenz f0 (Abtastfrequenz fs = N·f0) DFT-Spektralbereich N äquidistante Spektralwerte im Frequenzbereich [0,fs) Frequenzauflösung Δf = fs/N = f0 normierte DFT-Spektralwerte X[m]/N, m = 0…N/2, stimmen mit komplexen cm-Koeffizienten der FR bzw. der Harmonischen von x(t) überein cm = X[m]/N

Approximation der FR mit der DFT SiSy, DFT, 9 Zeitbereich: N = 8 Abtastwerte x[n] von 1 Periode eines cos-Signals Zeit / T0 Frequenzbereich: N = 8 Spektralwerte X[n]/N im Bereich [0,fs[ c[1] c[-1] c[2] c[3] c[-3] c[-2] c[0] Frequenz / f0 f0 fs=8f0

Eigenschaften der DFT Zeitbereich Frequenzbereich SiSy, DFT, 10 Zeitbereich diskret (abgetastet) periodisch Frequenzbereich periodisch diskret DFT Zeitfenster-Sequenz Die DFT berechnet das Spektrum der periodisch fortgesetzten, diskreten Zeitfenster-Sequenz.

auslaufendes Spektrum Leakage SiSy, DFT, 11 Unpassende Fensterlänge => Sprungstellen durch period. Fortsetzung 5 x 50Hz-Perioden auslaufendes Spektrum (Leakage) 4.75 x 50Hz-Perioden Hanning-Fenster nicht normiert 4.75 x 50Hz-Perioden

auslaufendes Spektrum auslaufendes Zeitfenster Leakage SiSy, DFT, 12 5 x 50Hz-Perioden auslaufendes Spektrum (Leakage) 4.75 x 50Hz-Perioden auslaufendes Zeitfenster vermindertes Leakage 4.75 x 50Hz-Perioden

Auswirkung der Fensterung auf die DFT SiSy, DFT, 13 N=64 Punkt DFT-Spektren eines 1000 Hz cos-Signals (fs = 10 kHz) (Rechteck) Hamming-Fenster breitere Hauptkeule weniger Leakage

Filterfunktion der DFT SiSy, DFT, 14 Δf = fs/N = 200 Hz Nullstellen bei n·Δf

Recheneffizienz SiSy, DFT, 15 Berechnung von 1. DFT-Linie => N komplexe Multiplikationen DFT Berechnung aller N DFT-Linien erfordert N2 komplexe Multiplikationen mit FFT-Algorithmus: nur N·log2(N) komplexe Multiplikationen Zahlenbeispiel mit N = 1024 ohne FFT: ca. 1 Mio. komplexe Multiplikationen mit FFT: nur ca. 10’000 komplexe Multiplikationen