Laplace Transformation Kapitel 7 Anhang: Laplace Transformation SiSy, Rumc, 7A-1 Referenz Martin Meyer, „Signalverarbeitung“, 6. Auflage, Vieweg, 2011. Laplace Transformation kann als analytische Fortsetzung der FT aufgefasst werden komplexe Frequenzvariable s = σ+jω, wobei ω = 2πf ist „allgemeiner“ als die Fouriertransformation einige Signale sind Laplace-, aber nicht Fourier-transformierbar ist besser geeignet für die Systembeschreibung als die FT die FT ist aber besser geeignet für die spektrale Signaldarstellung

Definition Laplace Transformation SiSy, Rumc, 7A-2 Zweiseitige Laplace Transformation wobei s = σ+jω und ω = 2πf Einseitige Laplace Transformation wobei 0- ganz wenig kleiner als 0 ist Einseitige und zweiseitige LT sind identisch für kausale Signale technisch realisierbare Systeme haben kausale Stossantworten Zusammenhang zwischen LT und FT wenn X(s) auch für σ=0 existiert, dann gilt: X(f) = X(s) s=jω

Beispiel exp-Signal Kausales Exponential-Signal a reell SiSy, Rumc, 7A-3 Kausales Exponential-Signal a reell Laplace-Transformation wenn σ > a: Fourier-Transformierte abklingendes exp-Signal: a < 0 X(s) existiert für σ = 0 bzw. s = jω: X(f) = 1 / (j2πf - a) ansteigendes exp-Signal: a > 0 oder a = 0 X(s) existiert für σ > a ≥ 0: X(f) existiert nicht x(t) a>0 a<0 t

Beispiel exp-Signal Abklingendes Exponential-Signal mit a = -0.5: jω σ SiSy, Rumc, 7A-4 Abklingendes Exponential-Signal mit a = -0.5: IX(s)I (nur über LHE) Pol bei s = -0.5 IX(ω)I bzw. IH(f)I jω s-Ebene σ

Eigenschaften der Laplace Transformation SiSy, Rumc, 7A-5 Analoge Eigenschaften zur Fouriertransformation also Linearität, Verschiebung im Zeitbereich / Frequenzbereich, Ähnlichkeit, usw. siehe Literatur oder Referenz wir brauchen vorwiegend die Linearität und Differentiation im Zeitbereich dx(t) / dt ○-● s·X(s) - x(0-) wobei x(0-) Anfangswert darstellt Integration im Zeitbereich ○-● X(s) / s

Beispiele für Impedanz bzw. UTF SiSy, Rumc, 7A-6 Kapazität i(t) = C·du(t)/dt I(s) = sC·U(s) Impedanz Z(s) = U(s) / I(s) = 1/sC C Anfangswert = 0 Induktivität u(t) = L·di(t)/dt U(s) = sL·I(s) Impedanz Z(s) = U(s) / I(s) = sL L Anfangswert = 0 RC-Tiefpass 1. Ordnung RC·dy(t)/dt + y(t) = x(t) sRC·Y(s) + Y(s) = X(s) R Übertragungsfunktion UTF H(s) = Y(s) / X(s) = 1 / (1+sRC) x(t) C y(t) Frequenzgang H(f) = Y(f) / X(f) = 1 / (1+j2π·f·RC) Anfangswert = 0