Infinitesimalrechnung
19. Folgen
Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (an) = 2, 4, 6, 8, 10, ... an = 2n an = 2 + an-1 a1 = 2 (bn) = 8, 10, 12, 14, ... bn = 2(n + 3) bn = 2 + bn-1 b1 = 8 (cn) = 2, 4, 8, 16, 32, ... cn = 2n cn = 2cn-1 c1 = 2 (dn) = 1, 4, 9, 16, 25, ... dn = n2 dn = (1 + dn-1)2 d1 = 1 (en) = 9, 16, 25, 36, ... en = (n + 2)2 en = (1 + en-1)2 e1 = 9 (fn) = 1,1/2 ,1/3 ,1/4 , ... fn = 1/n 1/fn = 1 + 1/fn-1 f1 = 1 (gn) = -1, 1, -1, 1, -1, ... gn = (-1)n gn = -gn-1 g1 = -1
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren Umgebung (h - e, h + e) für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren Umgebung (h - e, h + e) für jedes e > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. Bernard Bolzano (1781 - 1848) Karl Weierstraß (1815 - 1897)
lim an = a oder kurz (an) a Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. lim an = a oder kurz (an) a n Bernard Bolzano (1781 - 1848) Karl Weierstraß (1815 - 1897)
Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge. an heißt Spitze der Folge, wenn an am für m > n. Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0 eine natürliche Zahl ne gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt |an – am| < e (19.3) Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
() (an) sei konvergent. |an – a| < e/2 und |a – am| < e/2. e > |an – a| + |a – am| ≥ |an – a + a – am| = |an – am| () Nun gelte (19.3). (an) ist beschränkt und enthält (ank) a. |an – ank| < e/2 und | ank – a| < e/2 e > |an – ank| + | ank – a| ≥ |an – ank + ank – a| = |an – a| Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0 eine natürliche Zahl ne gibt, so dass für m, n ≥ ne gilt |an – am| < e (19.3) Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge. In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, in den rationalen Zahlen nicht. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren. x = k x2 = k 2x2 = x2 + k Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren. x = k x2 = k 2x2 = x2 + k
Leonardo von Pisa (1170 - 1240) Fibonacci