Kombinatorik: Mathematik des Zählens 1. Produkt- und Summenregel 2. Anordnungsprobleme 3. Auswahlprobleme - Binomialkoeffizient 4. Zusammenfassung 5. Pascal‘sches Dreieck – Binomischer Lehrsatz

1. Produkt – und Summenregel A Z S B Wieviele verschiedene „Wege“ führen insgesamt von S nach Z ? A. „Wege“ über A: von S nach A und von A nach Z: 3 · 2 = 6 „Wege“ „Wege“ über B: von S nach B und von B nach Z: 2 · 4 = 8 „Wege“ Produktregel: Ein Zählproblem lasse sich in mehrere ‚Stufen‘ zerlegen. Die Anzahl aller Möglichkeiten ergibt sich aus dem Produkt der Möglichkeiten der einzelnen Stufen (‚und‘ – Verknüpfung). B. „Wege“ über A oder „Wege“ über B: 6 + 8 = 14 Summenregel: Ein Zählproblem lasse sich in mehrere ‚Fälle‘ zerlegen. Die Anzahl aller Möglichkeiten ergibt sich aus der Summe der Möglichkeiten der einzelnen Fälle (‚oder‘ – Verknüpfung)

2. Anordnungsprobleme Allgemein: A. Alle verschiedenen Anordnungen der 5 Farbkugeln (Permutation) Produktregel: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 60 Möglichkeiten B. 3 verschiedene Farbkugeln anordnen: (Anordnung ohne Wiederholung) Produktregel: 5 · 4 · 3 = 60 Möglichkeiten C. 3 Farbkugeln anordnen, wobei Farben auch mehrfach vorkommen können: (Anordnung mit Wiederholung) Produktregel: 5 · 5 · 5 = 53 = 125 Möglichkeiten Allgemein: A. n Farbkugeln verschieden anordnen: B. Aus n Farbkugeln k anordnen ohne Farbwiederholung C. Aus n Farbkugeln k anordnen mit Farbwiederholung

( ) ( ) 3. Auswahlprobleme - Binomialkoeffizient A. Auswahl ohne Farbwiederholung (ohne Anordnung) 2 (verschiedene) Farbkugeln auswählen: 1. Kugel: 5 Möglichkeiten 2. Kugel: 4 Möglichkeiten Produktregel: 5 · 4 = 20 Möglichkeiten enthält beide Möglichkeiten: br und rb (Anordnung) 5·4 2·1 Lösung: = 10 Möglichkeiten 5·4 2·1 ·3·2·1 5·4·3·2·1 2·1·3·2·1 5 ! 2 ! · 3 ! Schreibweise mittels Fakultäten: = = ·3·2·1 5 ! 2 ! · 3 ! ( ) 5 2 Neue Symbolik: = gesprochen: „fünf tief zwei“ n ! k ! · (n-k) ! ( ) n k Allgemein: = Binomialkoeffizient

B. Auswahl mit Farbwiederholung (ohne Anordnung) 3 Farbkugeln auswählen, wobei eine Kugel auch wiederholt gewählt werden kann Darstellung der Auswahl: ausgewählte Kugeln: ‚1‘ Zwischenräume: ‚0‘ s b g r w Beispiele: 2 blau, 1 rot 1 1 1 1 schwarz, 2 weiss 1 1 1 3 grün 1 1 1 1 blau, 1 grün, 1 rot 1 1 1 Es entstehen 0-1-Sequenzen der Länge 7 bestehend aus 3 Einer und 4 Nullen. Jede Kugelauswahl entspricht genau einer 0-1-Sequenz und umgekehrt entspricht jede 0-1-Sequenz der Länge 7 mit 3 Einer und 4 Nullen genau einer Kugelauswahl. Anzahl 0-1-Sequenzen: Lösung: Es gibt 35 Möglichkeiten Allgemein: Auswahl von k aus n Farbkugeln mit Wiederholungen 0-1-Sequenzen der Länge (n – 1) + k mit k Einer und n-1 Nullen:

4. Zusammenfassung Aus einer Grundgesamtheit von n Objekten werden k Objekte ausgewählt, mit oder ohne Wiederholung, mit oder ohne Anordnung (Reihenfolge) Auswahl mit Wiederholung ohne Anordnung Auswahl mit Wiederholung ohne Anordnung

5. Pascal‘sches Dreieck und Binomischer Lehrsatz Binomischer Lehrsatz: die Entwicklung des Binoms (a + b)n (a + b)0 = 1 = (a + b)1 = 1·a1 + 1·b1 = ·a1 + ·b1 (a + b)2 = 1·a2 + 2·a1·b1 + 1·b2 = ·a2 + ·a1·b1 + ·b2 (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2·b1 + 3·a1·b2 + 1·b3 = ·a3 + ·a2·b1 + ·a1·b2 + ·b3 . . . (a + b)n = ·an + ·an-1·b + ·an-2·b2 + . . . + ·a·bn-1 + ·bn