Das Bernoulli-Prinzip Inhalt Entscheidungen unter Risiko Ergebnismatrix Erwartungswert der Ergebnisse μ-σ-Prinzip Das Bernoulli-Prinzip

Ergebnismatrix Handlungsalternativen

Ergebnismatrix Umweltzustände

Ergebnismatrix Ergebnisse

Ergebnismatrix Eintrittswahrscheinlichkeiten

Handlungsalternative Nichts tun w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts

Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6 w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10

Handlungsalternative Einsatz 1.-, 4.- bei größer 3 w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3

Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6 w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 A2: 6 -1 10 * _ 1 6 _ 1 6 =

Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6 w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 A2: 6 -1 10 * * + _ 1 6 _ 1 6 _ 2 6 =

Handlungsalternative Einsatz 1.-, 11.- bei 6 w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 A2: 6 -1 10 * * * * * * + + + + + _ 1 6 _ 1 6 _ 1 6 _ 1 6 _ 1 6 10 6 5 6 =

Erwartungswert m μi = Σ eij . pj j=1 i: Aktion j: Umweltzustand

-1 10 3 5/6 1 Erwartungswert S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3 5/6 1

Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6 1 - 5 5/6 6 1/6

Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6 1 - 5 5/6 6 1/6

Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1 mal 6, 10.- bei 2 mal 6 1 – 5 1 – 5 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 1. Würfeln 1/6 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 1 - 5 5/6 1/6 6 6 6 1/6

Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6 1 – 5 1 – 5 25/36 - 1.- 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 5/36 + 2.- 1. Würfeln 1/6 1 - 5 5/6 6 1 – 5 5/36 + 2.- 6 1 - 5 5/6 1/6 6 6 6 1/36 + 9.- 1/6

Baum: 2 mal Würfeln Einsatz 1.-, 3.- bei 1*6, 10.- bei 2*6 1 – 5 1 – 5 25/36 - 1.- 1 - 5 5/6 6 1 – 5 6 5/36 + 2.- 1. Würfeln 1/6 1 - 5 5/6 4/36 6 1 – 5 5/36 + 2.- 6 1 - 5 5/6 1/6 6 6 6 1/36 + 9.- 1/6

-1 10 3 5/6 1 Erwartungswert S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3 5/6 1

Erwartungswert 5 4 μ bei A2 3 2 1 6 - 1 5/6 10 3 2 μ bei A3 1 6 5 4 5/6 10 3 2 μ bei A3 1 6 5 4 - 1 1 3

Abweichungen vom Erwartungswert 5 4 μ bei A2 3 2 1 6 - 1 5/6 10 3 2 μ bei A3 1 6 5 4 - 1 1 3

Abweichungen vom Erwartungswert μ - 2 4 1 μ 0,5 1,5 1

Streuung m σi = √ Σ (eij - μi ) 2 . pj j=1 i: Aktion j: Umweltzustand

-1 10 3 5/6 1 Erwartungswert S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3 5/6 1

-1 3 2 -2 -2 -2 2 2 2 Streuung S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 A3: >3 -1 3 2 -2 -2 -2 2 2 2

-1 10 3 4,1 2 Streuung S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3 4,1 2

Entscheidungsregeln für μ-σ-Prinzip z.B. Präferenzfunktion Φ (μ,σ) = μ + α . σ für α < 0: risikoscheu für α > 0: risikofreudig

Gleiches μ und σ andere Verteilung 3 3 2 3 Wahrscheinlichkeit jeweils 1/3 1 1 4 2 4

Gleiches μ und σ andere Verteilung Handlungsalternative A1 W (e11 = - 1) = 1000000/1000001 W (e12 = +1000000)= 1/1000001 W (e21 = - 1000) = ½ W (e22 = +1000) = ½ Handlungsalternative A2

Gleiches μ und σ andere Verteilung Handlungsalternative A1 W (e11 = - 1) = 1000000/1000001 W (e12 = +1000000)= 1/1000001 W (e21 = - 1000) = ½ W (e22 = +1000) = ½ Handlungsalternative A2 μ jeweils 0 und σ jeweils 1000

Das Bernoulli-Prinzip Wähle die Handlungsalternative mit dem höchsten Erwartungswert des Nutzens (nicht des Ergebniswertes).

Das Bernoulli-Prinzip Vorgehensweise Normierung zwischen 0 und 1: Höchster Ergebniswert 1, Niedrigstes Ergebniswert 0.

Das Bernoulli-Prinzip Normierung w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts A2: 6 -1 10 A3: >3 3 1

Das Bernoulli-Prinzip Nutzen Restliche Ergebnisse (0 und 3): Indifferenzwahrscheinlichkeit zwischen dem sicheren Ergebnis und einer Lotterie mit dem höchsten und niedrigsten Ergebniswert

Das Bernoulli-Prinzip Nutzen 0 ~ (10, -1) 3 ~ (10, -1) W 1-W W 1-W

Das Bernoulli-Prinzip Nutzen 0 ~ (10, -1) 3 ~ (10, -1) W 1-W W 1-W 0,7 0,1

Das Bernoulli-Prinzip Nutzen w1=1/6 w2=1/6 w3=1/6 w4=1/6 w5=1/6 w6=1/6 S1:1 S2:2 S3:3 S4:4 S5:5 S6:6 A1: nichts 0,1 A2: 6 1 A3: >3 0,7

Das Bernoulli-Prinzip Nutzenerwartungswert A1: nichts 0,1 A2: 6 1 A3: >3 0,7 1/10 1/6 2/5