aus dem Böge-Aufgabenbuch

Aufgabenteil a) gesucht: Drehmoment M1 an der Welle 1. Lösung: 𝑀𝑇=9550 𝑃 𝑛 𝑀𝑇=9550 4 𝐾𝑊 960 𝑚𝑖𝑛 −1 𝑀𝑇=39,8𝑁𝑚

Aufgabenteil b) gesucht: Teilkreisdurchmesser d1. Lösung: 𝑚= 𝑝 π = 𝑑 𝑧 m = Modul p = Teilung d = Teilkreisdurchmesser z = Zähnezahl 𝑑=𝑚∗𝑧 𝑑=6𝑚𝑚∗19 𝑑=114𝑚𝑚

Aufgabenteil c) gesucht: Zähnezahl z2. Lösung: Ü𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑡𝑧𝑢𝑛𝑔𝑠𝑣𝑒𝑟ℎä𝑙𝑡𝑛𝑖𝑠 𝑖= 𝑔𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑒𝑖𝑏𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑑 = 𝑧2 𝑧1 𝑖= 𝑧2 𝑧1 𝑧2=𝑖 ∗𝑧1 𝑧2=3,2 ∗19 𝑧2=61

Aufgabenteil d) gesucht: Tangentialkraft FT1 (Umfangskraft am Zahnrad 1). Lösung: 𝐹𝑡1= 𝑀𝑇 𝑑1 2 MT aus a) Hebelarm Zahnrad 1 𝐹𝑡1= 39,8 ∗ 10 3 𝑁𝑚𝑚 114𝑚𝑚 2 𝐹𝑡1=698𝑁

Aufgabenteil e) gesucht: Radialkraft Fr1 am Zahnrad 1. Lösung: tanα= 𝐹𝑟1 𝐹𝑡1 Fr1 Ft1 Fr1=Ft1 ∗ tanα Fr1=698N ∗ tan 20° Fr1=254N Eingriffswinkel Dieser bestimmt die Parameter des Grundprofils und ist auf einen Wert von 20 Grad genormt. Durch eine Änderung des Eingriffswinkels ist es möglich, funktionelle und Festigkeitseigenschaften zu beeinflussen.

Aufgabenteil f) gesucht: Stützkräfte FA und FB. Lösung: Y-Z Ebene l 2l FA FB Fr1 Sichtweise ∑𝐹𝑦=0=−𝐹𝐴𝑦+𝐹𝑟1−𝐹𝐵𝑦 ∑𝑀 𝐴 =0=𝐹𝑟1∗𝑙−𝐹𝐵∗3∗𝑙 𝐹𝐵(𝑦) = 𝐹𝑟1 ∗𝑙 3 ∗𝑙 𝐹𝐵(𝑦) = 254𝑁 ∗0,1𝑚 3 ∗0,1𝑚 𝑭𝑩(𝒚) =𝟖𝟒,𝟕𝑵 𝐹𝐴(𝑦)=𝐹𝑟1−𝐹𝐵 𝐹𝐴(𝑦)=254𝑁−84,7𝑁 𝑭𝑨(𝒚)=𝟏𝟔𝟗,𝟑𝑵

Aufgabenteil f) gesucht: Stützkräfte FA und FB. Lösung: X-Y Ebene (Draufsicht) l 2l FA FB Ft1 ∑𝐹𝑥=0=−𝐹𝐴𝑥+𝐹𝑡1−𝐹𝐵 ∑𝑀 𝐴 =0=𝐹𝑡1∗𝑙−𝐹𝐵𝑥∗3∗𝑙 𝐹𝐵(𝑥) = 𝐹𝑡1 ∗𝑙 3 ∗𝑙 𝐹𝐵(𝑥) = 698𝑁 ∗0,1𝑚 3 ∗0,1𝑚 𝑭𝑩(𝒙) =𝟐𝟑𝟐,𝟕𝑵 𝐹𝐴(𝑥)=𝐹𝑡1−𝐹𝐵𝑥 𝐹𝐴(𝑥)=698𝑁−232,7𝑁 𝑭𝑨(𝒙)=𝟒𝟔𝟓,𝟑𝑵

Aufgabenteil f) gesucht: Stützkräfte FA und FB. Lösung: 𝑭𝑨(𝒚)=𝟏𝟔𝟗,𝟑𝑵 𝑭𝑨(𝒙)=𝟒𝟔𝟓,𝟑𝑵 𝑭𝑩(𝒚) =𝟖𝟒,𝟕𝑵 𝑭𝑩(𝒙) =𝟐𝟑𝟐,𝟕𝑵 Fy Fx F 𝐹 𝐴 = (𝐹𝐴𝑥)²+(𝐹𝐴𝑦)² =495𝑁 𝐹 𝐵 = (𝐹𝐵𝑥)²+(𝐹𝐵𝑦)² =248𝑁

Aufgabenteil g) gesucht: Maximales Biegemoment Welle 1. Lösung: 𝑀𝑏 𝑚𝑎𝑥=𝐹𝐴∗𝑙 Mb max FA l FB 2l 𝑀𝑏 𝑚𝑎𝑥=495𝑁∗0,1m 𝑀𝑏 𝑚𝑎𝑥=49,5𝑁𝑚

Aufgabenteil h) gesucht: Vergleichsmoment Mv1. Lösung: 𝑀𝑏 𝑚𝑎𝑥=49,5𝑁𝑚 𝑀𝑇=39,8𝑁𝑚 𝑀𝑣1= 𝑀𝑏²+0,75∗(0,7∗𝑀𝑇)² 𝑀𝑣1=55𝑁𝑚

Aufgabenteil i) gesucht: Wellendurchmesser d1, Welle 1 mit σb zul Aufgabenteil i) gesucht: Wellendurchmesser d1, Welle 1 mit σb zul.=50N/mm². Lösung: 𝑀𝑣1=55𝑁𝑚 𝑑= 3 32∗𝑀𝑣 𝜋∗𝜎𝑏 𝑑= 3 32∗55𝑁𝑚∗10³ 𝜋∗50𝑁/𝑚𝑚² 𝑑=22,4𝑚𝑚 gerundet 𝑑=23𝑚𝑚

Aufgabenteil k) gesucht: Drehmoment M2 an der Welle 2. Lösung: 𝑀2=𝑀1∗ 𝑧2 𝑧1 𝑀2=39,8𝑁𝑚∗ 61 19 𝑀2=128𝑁𝑚

Aufgabenteil l) gesucht: Teilkreisdurchmesser d2 und d3. Lösung: 𝑚= 𝑝 π = 𝑑 𝑧 m = Modul p = Teilung d = Teilkreisdurchmesser z = Zähnezahl 𝑧2=61 𝑧3=25 𝑑2=𝑚2∗𝑧2 𝑑3=𝑚3∗𝑧3 𝑑2=6𝑚𝑚∗61 𝑑3=8𝑚𝑚∗25 𝒅𝟐=𝟑𝟔𝟔𝒎𝒎 𝒅𝟑=𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎

Aufgabenteil m) gesucht: Zähnezahl z4 und der Teilkreisdurchmesser d4. Lösung: 𝑚= 𝑝 π = 𝑑 𝑧 m = Modul p = Teilung d = Teilkreisdurchmesser z = Zähnezahl 𝑧4=𝑧3∗𝑖2 d4=𝑚4∗𝑧4 𝑧4=25∗2,8 d4=8𝑚𝑚∗70 𝒛𝟒=𝟕𝟎 𝐝𝟒=𝟓𝟔𝟎𝒎𝒎

Aufgabenteil n) gesucht: Tangentialkraft FT3 und die Radialkraft Fr3. Lösung: M2 d3 FT3 FT3 Fr3 FN3 𝐹𝑇3= 2∗𝑀3 𝑑3 = 2∗𝑀2 𝑑3 𝐹𝑟3=𝐹𝑇3∗𝑡𝑎𝑛𝛼 𝐹𝑇3= 2∗128𝑁𝑚 0,2𝑚 =1280𝑁 𝐹𝑟3=1280𝑁∗𝑡𝑎𝑛20°=466𝑁

Blue Edition Aufgabenteil o) gesucht: Stützkräfte FC und FD. Lösung: X-Z Ebene (Draufsicht) d2 d3 FCX Fr2 Fr3 FDX ∑𝐹𝑥=0=𝐹𝐶𝑥−𝐹𝑡2−𝐹𝑡3+𝐹𝐷𝑥 ∑𝑀 𝑐 =0=−𝐹𝑡2∗𝑙−𝐹𝑡3∗2∗𝑙+𝐹𝐷𝑥∗3∗𝑙 𝐹𝐷(𝑥) = 𝐹𝑡2 ∗𝑙+𝐹𝑡3∗2∗𝑙 3 ∗𝑙 Blue Edition 𝐹𝐷 𝑥 = 698𝑁∗0,1𝑚+1280𝑁∗2∗0,1𝑚 3 ∗0,1 =𝟏𝟎𝟖𝟔𝑵

Aufgabenteil o) gesucht: Stützkräfte FC und FD. Lösung: X-Z Ebene (Draufsicht) FCX Fr2 Fr3 FDX d2 d3 𝐹𝐶 𝑥 =𝐹𝑡2+𝐹𝑡3−𝐹𝐷𝑥 𝐹𝐶 𝑥 =698𝑁+1280𝑁−1086𝑁 𝐹𝐶 𝑥 =𝟖𝟗𝟐𝑵

Aufgabenteil o) gesucht: Stützkräfte FC und FD. Lösung: Y-Z Ebene FCY Fr2 Fr3 FDY d2 d3 Sichtweise ∑𝐹𝑦=0=𝐹𝐶𝑦−𝐹𝑟2+𝐹𝑟3−𝐹𝐷y ∑𝑀 𝑐 =0=𝐹𝑟2∗𝑙−𝐹𝑟3∗2∗𝑙−𝐹𝐷𝑦∗3∗𝑙 𝐹𝐷(𝑦) = 𝐹𝑟2 ∗𝑙−𝐹𝑟3∗2∗𝑙 3 ∗𝑙 𝐹𝐷 𝑦 = 254𝑁 ∗0,1𝑚−466𝑁∗2∗0,1𝑚 3 ∗0,1𝑚 =−𝟐𝟐𝟔𝑵

Aufgabenteil o) gesucht: Stützkräfte FC und FD. Lösung: Y-Z Ebene FCY Fr2 Fr3 FDY d2 d3 Sichtweise 𝐹𝐶 𝑦 =𝐹𝑟3−𝐹𝐷𝑦−𝐹r2 𝐹𝐶 𝑦 =466𝑁− −226𝑁 −254𝑁 𝐹𝐶 𝑦 =𝟒𝟑𝟖𝑵 (Rechenfehler Böge => 𝑭𝑪 𝒚 =𝟐𝟓𝟒𝑵−𝟒𝟔𝟔𝑵+𝟐𝟐𝟔𝑵=𝟏𝟒𝑵)

Aufgabenteil o) gesucht: Stützkräfte FC und FD. Lösung: Y-Z Ebene Vergleiche Aufgabe f) 𝑭𝑪 𝒚 =𝟒𝟑𝟖𝑵 𝑭𝑪 𝒙 =𝟖𝟗𝟐𝑵 𝑭𝑫 𝒚 =𝟐𝟐𝟔𝑵 𝑭𝑫 𝒙 =𝟏𝟎𝟖𝟔𝑵 𝐹 𝐶 = (𝐹𝐶𝑥)²+(𝐹𝐶𝑦)² =993,7𝑁 𝐹 𝐷 = (𝐹𝐷𝑥)²+(𝐹𝐷𝑦)² =1109𝑁

} ? Aufgabenteil p) gesucht: Biegemoment der Welle 2. Lösung: FC FD FN2 FN3 Querkraft nach Böge } ? 𝑀𝑏𝑚𝑎𝑥=𝐹𝐷∗𝑙 FC FD 𝑀𝑏𝑚𝑎𝑥=1109𝑁∗0,1𝑚 𝑀𝑏𝑚𝑎𝑥=110,9𝑁𝑚

Aufgabenteil q) gesucht: Vergleichsmoment Mv2 für Welle 2. Lösung: 𝑀𝑏 𝑚𝑎𝑥=110,9𝑁𝑚 𝑀𝑇2=128𝑁𝑚 𝑀𝑣2= 𝑀𝑏²+0,75∗(0,7∗𝑀𝑇)² 𝑀𝑣2=135𝑁𝑚

Aufgabenteil r) gesucht: Der Wellendurchmesser d2 der Welle 2 für eine zulässige Spannung von 50 N/mm². Lösung: 𝑀𝑣2=135𝑁𝑚 𝑑= 3 32∗𝑀𝑣 𝜋∗𝜎𝑏 𝑑= 3 32∗135𝑁𝑚∗10³ 𝜋∗50𝑁/𝑚𝑚² 𝑑=30,2𝑚𝑚 gerundet zu 𝑑=31𝑚𝑚 Warum wird d=30,2mm aufgerundet? Beim Abrunden würde die Welle weniger als 50N/mm² ertragen!

Ergebnisse im Überblick a) M1 = 39,8Nm b) d1 = 114mm c) z2 = 61 d) FT1 = 698N e) Fr1 = 254N f) FA = 495N FB= 248N g) Mbmax1 = 49,5Nm h) Mv1 = 55NM i) D = 22,4mm (23mm) k) M2 = 128NM l) d2 = 366mm d3= 200mm m) z4 = 70 d4= 560mm n) FT3 = 1280N Fr3= 466N o) FC = 993,7N FD= 1109N p) Mbmax2 = 110,9Nm q) Mv2 = 135Nm r) d2 = 30,2mm (31mm)