521.202 / SES.125 Parameterschätzung Verteilungen Torsten Mayer-Gürr

n x m konstante Koeffizientenmatrix Varianz / Kovarianz Lineare Transformation n x 1 Zufallsvektor m x 1 Zufallsvektor n x 1 konstanter Vektor n x m konstante Koeffizientenmatrix Erwartungswert Kovarianzmatrix 12.01.2016

Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Verteilungsfunktion: Erwartungswert: Varianz: 12.01.2016

Multivariate Normalverteilung

Zweidimensionale Zufallsverteilung Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail Satz: Zwei Zufallsvariablen sind genau dann voneinander unabhängig, falls gilt 12.01.2016

Zweidimensionale Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) für Zweidimensionale Zufallsvariable mit unabhängigen Elementen 12.01.2016

Zweidimensionale Normalverteilung Multivariate Normalverteilung, wenn x und y unabhängig sind: 12.01.2016

Zweidimensionale Normalverteilung Multivariate Normalverteilung, wenn x und y unabhängig sind: Durch Drehung des Koordinatensystems lässt sich jede symmetrische Matrix auf Diagonalgestalt bringen (Eigenwertzerlegung) Produkt der Eigenwerte 12.01.2016

Multidimensionale Normalverteilung Definition: Den n x 1 Zufallsvektor x bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝝁 und 𝚺, abgekürzt geschrieben 𝒙~𝑁(𝝁,𝚺), wenn seine Dichte 𝑓 𝒙 gegeben ist durch Pail 10.12.2014

Maximum Likelihood Schätzung (Tafel)

Verteilungen

Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Verteilungsfunktion: Erwartungswert: Varianz: 12.01.2016

Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) 12.01.2016

Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) in MATLAB: normcdf(x, mu, sigma) Wahrscheinlichkeit 12.01.2016

Normalverteilung Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 : (Wahrscheinlichkeits-) Dichte, probability density function (pdf) in MATLAB: normpdf(x, mu, sigma) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) in MATLAB: normcdf(x, mu, sigma) Inverse Verteilungsfunktion Gegeben Wahrscheinlichkeit P(X < x) = α, gesucht Grenze x in MATLAB: norminv(alpha, mu, sigma) 12.01.2016

Konfindenzintervalle 12.01.2016

Normalverteilung Die Größe T ist standardisiert normalverteilt: : geschätzter/gemessener Wert : Erwartungswert : bekannte Standardabw. Konfidenzintervall für die Größe T: 2,5% 95% α=5% Konfidenzintervall für den Erwartungswert 12.01.2016

Transformation von Verteilungen

Transformation von Verteilungen Zufallsvariable mit der Dichte Verteilungsfunktion Substitution Zufallsvariable mit der Dichte mit 12.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung 12.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung Gegeben sind n normalverteilte Zufallsvariablen: Die Quadratsumme ist Chi-Quadrat verteilt Dichte Wikipedia Gamma-Funktion in MATLAB: chi2pdf(x, n) chi2cdf(x, n) chi2inv(alpha, n) 12.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung Die Größe T ist Chi-Quadrat verteilt: Geschätzter Varianzfaktor: Erwartungswert: Konfidenzintervall für die Größe T: Konfidenzintervall für den Varianzfaktor 12.01.2016

Einseitig / Zweiseitig x 2,5% 95% 2,5% x x 5% 95% 12.01.2016

Chi-Quadrat Verteilung Die Größe T ist Chi-Quadrat verteilt: Konfidenzintervall für die Größe T: (zweiseitig) Konfidenzintervall für die Größe T: (einseitig) x 2,5% 95% x 5% 95% 12.01.2016

Student- oder t-Verteilung 12.01.2016

Student- oder t-Verteilung Gegeben sind die Zufallsvariablen: Der Quotient ist t-verteilt und in MATLAB: tpdf(x, n) tcdf(x, n) tinv(alpha, n) Dichte Gamma-Funktion Pail 12.01.2016

Student- oder t-verteilung Die Größe T ist t verteilt: Konfidenzintervall für die Größe T: Konfidenzintervall für den Erwartungswert 12.01.2016

Fisher- oder F-Verteilung 12.01.2016

Fisher- oder F-Verteilung Gegeben sind die Zufallsvariablen: und Der Quotient ist F-verteilt Wikipedia Dichte in MATLAB: fpdf(x, m, n) fcdf(x, m, n) finv(alpha, m, n) 12.01.2016

Fisher- oder F-Verteilung Die Größe T ist F verteilt: Geschätzte Parameter: Geschätzte Residuen: Geschätzter Varianzfaktor: Geschätzte Kovarianzmatrix: Konfidenzellipse/Ellipsoid/Hyperellipse für die Größe T: Anzahl der verwendeten Parameter: 12.01.2016