Grafisch Differenzieren Johannes-Kepler-Gymnasium Grafisch Differenzieren Steigungen bei Geraden sind bekannt. Wie aber bestimmt man die Steigung eines "krummen" Graphen, einer Kurve ?

Was uns bevorsteht - Übersicht: Was bedeutet bei einer Weg – Zeit – Funktion die Steigung des Graphen? Beispiel – A : Schulweg Wie bestimmt man die Steigung bei einer Kurve ? Beispiel – B : Eine frei fallende Kugel Beispiel – C : Auto auf einer Fahrbahn Beispiel – D : Flugzeug Wie lässt sich diese Betrachtung mathematisch verallgemeinern ? Welche Änderungsraten kennen wir schon?

Steigung m = 540 m in 12 min, bzw. 45 m pro min Beispiel - A: Schulweg 540 m Steigung m = 540 m in 12 min, bzw. 45 m pro min also eine Geschwindigkeit von v = 45 m/min Paulchen schlendert zur Schule. Nach zwölf Minuten # hat er die 540 m # zurückgelegt. Wie ist die Steigung des Graphen ? Das Steigungsdreieck # zeigt also 540 m in 12 min = 45 m/min Also was gibt uns die Steigung an ? - SuS : Die Geschwindigkeit. Je steiler, desto schneller, desto größer ist die Geschwindigkeit Aber ist das wirklich Paulchens Bewegung ? Läuft er wirklich so gleichmäßig ? Noch mal genauer . . . in 12 Minuten

v = 0 m/min v = 0 m/min v = 50 m/min v = 0 m/min v = 50 m/min Beispiel - A: Schulweg v = 0 m/min v = 0 m/min Paulchen schlendert zur Schule. # Da sieht er plötzlich SIE und sofort geht er schneller. # An der Ampel müssen beide warten. # Dann geht SIE zügig weiter, aber Paulchen hinterher. An der Wilhelmstraße # müssen sie noch mal warten, dann kommt ein # Schlussspurt zur Schule und … endlich Ruhe #. Es ist Samstag. Wie ist die Steigung des Graphen ? – sehr unterschiedlich ? 1. 100m pro 2 min = 50 m / min; 2. 100m/min 3. 0 m/min 4. 180 m/3 min = 60 m/min und 5. 160m / 2 min = 80 m/min Also was gibt uns die Steigung an ? - SuS : Die Geschwindigkeit. Je steiler, desto schneller, desto größer ist die Geschwindigkeit Was bedeutet dann denn diese Gerade ? – Die durchschnittliche Bewegung – Das Steigungsdreieck also 540 m in 12 min = v = 0 m/min v = 50 m/min v = 50 m/min v = 100 m/min v = 50 m/min

Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel Experiment: Der freie Fall einer Kugel Die Bewegung der Kugel ist viel zu schnell, um sie bewerten zu können, zwar ist sie zunächst langsam, sie wird aber immer schneller. Animation: Bewegen wir das Bezugssystem, erkennen wir, es ist . . . Messwerte Dt / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 s / cm 2,3 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0 272,3 324,0

Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel Die Bewegung der Kugel ist zunächst langsam wird aber dann immer schneller. Und wie groß ist hier die Durchschnittsgeschwindigkeit ? # Also 270 m pro 10 s = 27 m/s 270 m 10 s v = 27,0 m/s

Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn Galileo Galilei mit seinem Historischen Experiment: Bewegung einer Kugel in der Fallrinne Unsere Messwerte Dt / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 Ds / cm 2,3 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0

Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn v in m/s 60__ 40__ 20__ 0__ Geschwindigkeit – Zeit - Diagramm t / s 0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 vm / m/s 0,0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 48 v = 24 m/s v = 32 m/s v = 40 m/s v = 48 m/s v = 16 m/s v = 0 m/s v = 8 m/s

Beispiel – D : Flugzeug Altimeter Variometer

Das Altimeter (Höhenmesser) ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument. Funktion Das Altimeter vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit dem am Boden. Daraus kann die Höhe über dem Boden errechnet werden. Da es Luftdruckänderungen in der Atmosphäre gibt und der Luftdruck am Boden vom Standort abhängig ist, muss das Altimeter auf den Luftdruck (QFE-Wert) des nächstgelegenen Flugplatzes eingestellt werden. Dies erfolgt über einen Verstellknopf (links unten) und über eine Druck-Korrekturskala (rechts, in der Mitte in hpa).

+ die Höhe des Flughafens über NN Altimeter Höhe über dem Boden + die Höhe des Flughafens über NN = Höhe des Flugzeugs über dem Meeresspiegel nächster Flughafen – x

(Anzeige über die Veränderung der Höhe) Variometer Das Variometer (Anzeige über die Veränderung der Höhe) ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.

Veränderung der Höhe zwischen den beiden Messungen Variometer Veränderung der Höhe zwischen den beiden Messungen Funktion Das Variometer vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit einer kurz zuvor erfolgten Messung. Dadurch weiß der Pilot, um wie viel Fuß das Flugzeug pro Minute steigt bzw. sinkt.

(Anzeige über die Veränderung der Höhe) Variometer Das Variometer (Anzeige über die Veränderung der Höhe) Ein Teilstrich ist 100 ft./min (1.000 ft./min = 5 m / sec) Diese Anzeige erfolgt in 100 Fuß pro Minute (ft./min). ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.

„Spur“ eines Fluges: Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit Welchen Wert hat das Variometer zu einem bestimmten Zeitpunkt angezeigt? Wie sähe eine Aufzeichnung des Verlaufs beim Variometer aus?

„Spur“ eines Fluges: Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit Änderung: Anzeige des Variometers

Flugkurve Nr.1

Flugkurve Nr. 2

Flugkurve Nr.3

Flugkurve Nr.4

Punkt mit größter positiver Steigung Rückblick Relativer Hochpunkt Das Flugzeug verändert seine Höhe nicht! Es steigt bzw. sinkt also 0 ft./min. Punkt mit größter positiver Steigung Punkt mit größter negativer Steigung Nullstelle des Graphen der Variometer-Aufzeichnung Das Flugzeug steigt, der Graph der Variometer-Aufzeichnung ist im positiven Bereich Das Flugzeug sinkt, der Graph der Variometer-Aufzeichnung ist im negativen Bereich

Was kann man am Altimeter bzw. am Variometer ablesen? Die drei Fragen Die drei Fragen Was kann man am Altimeter bzw. am Variometer ablesen? Wie sieht der Graph der Variometer-Aufzeichnung aus, wenn das Flugzeug steigt bzw. sinkt? Was passiert mit dem Flugzeug, an einer Nullstelle der Variometer-Aufzeichnung?

Erläutere deine Vorgehensweise. Aufgaben In der Grafik sind die Daten eines Variometers im Flugverlauf aufgezeichnet. Rekonstruiere daraus den zugehörigen Graphen des Altimeters. Erläutere deine Vorgehensweise.

Aufgaben Hausaufgaben Tops Basics