Fraktale D = 𝑙𝑛8 𝑙𝑛3 Phytagorasbaum Sierpinski-Dreieck Sierpinski-Teppich Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Quadrat in Stufe 1 unterteilt man das Quadrat in 9 gleiche Quadrate, von denen das Mittlere entfernt wird es verbleiben 8 Quadrate die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zuvor das Ausgangsquadrat Phytagorasbaum Sierpinski-Dreieck Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Dreieck in Stufe 1 unterteilt man das Dreieck in 4 gleiche Dreiecke, von denen das Mittlere entfernt wird es verbleiben 3 Dreiecke die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zuvor das Ausgangsdreieck A = ( 3 4 ) 𝑛 Stufe 1 Stufe 0 Stufe 2 Stufe 3 U = 1- ( 1 3 ) 2 𝑖=1 𝑛−1 8 𝑖 × 1 3 𝑖 +1 n → ∞ => U → ∞ Stufe 2 Stufe 1 U = 3× ( 3 2 ) 𝑛 n → ∞ => U → ∞ fraktale Dimension: D = 𝑙𝑛8 𝑙𝑛3 Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Quadrat in Stufe 1 wird über diesem Quadrat ein Thaleskreis konstruiert und dann beliebig geteilt; aus den zwei Schenkeln werden wieder Quadrate konstruiert in der Stufe 2 wieder wie am Anfang fraktale Dimension: D = log⁡(3) log⁡(2) ≈1,585 A = 1-( 1 3 ) 2 - 𝑖=1 𝑛−1 8 𝑖 × ( 1 3 ) 𝑖 +1 n → ∞ => A → 0 Menger-Schwamm Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Würfel in Stufe 1 jede Würfelfläche in 9 Quadrate, die den Würfel in 27 gleiche Würfel teilen von denen jeder mittlere Teil der Flächen und der im Inneren entfernt wird. es verbleiben 20 Würfel die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zu- vor der Aus- gangswürfel Sierpinski-Tetraeder Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Tetraeder mit dreieckiger Grundfläche in Stufe 1 unterteilt man jede Tetraeder Fläche in 4 Dreiecke, die den Tetraeder in 5 gleiche Tetraeder teilt von denen jeweils der Mittlere der Flächen und der im Inneren entfernt werden es verbleiben 4 Tetraeder die in der 2. Stufe alle so behandelt werden wie zu -vor der Aus- gangstetraeder. Stufe 1 Stufe 0 Stufe 2 Stufe 2 Stufe 3 Bildquelle: http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/bild09_marke04_01.png (2.Juli 2011) Stufe 1 O= 1 9 ∙ 20 9 n −1 40+80∙ 2 5 n n → ∞ => O → ∞ V = ( 20 27 ) 𝑛 n → ∞ => V → 0 fraktale Dimension: D = log⁡(4) log⁡(2) ≈2 V =( 𝑛 3 12 )∙ 2 n → ∞ => V → 0 O = 𝑛 2 ∙ 3 n → ∞ => O → ∞ Koch‘sche Schneeflocke Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Dreieck n Stufe 1 wird jeder der Dreiecksseiten das mittlere Drittel entfernt und über der Lücke ein gleichseitiges Dreieck gezeichnet. in der 2 Stufe werden alle entstandenen Strecken des Dreiecks so be- handelt werden wie zuvor die Ausgangsseiten Minkowskiwurst 1 Ausgangsfigur in Stufe 0 ist eine Strecke Stufe 1 - Strecke in 4 gleiche Teile geteilt, das zweite Teilstück ein Viertel der Gesamtlänge, parallel zur Ausgangsstrecke nach oben verschieben, durch zwei rechtwinklig dazu stehenden Strecken ver- binden, die so lang sind wie die Teilstücke selbst, mit anderen Teilstücken verbunden wird; dritte Teilstrecke umgekehrt in der 2 Stufe wird dies mit allen Teilstrecken der Stufe 1 wiederholt Beispielrechnung: Sierpinski-Dreieck Die zu berechnende Beispielgröße ist der Flächen-inhalt Der Flächeninhalt des Ausgangsdreiecks sei AO Da in Stufe 1 das Mitteldreieck ausgeschnitten wird, beträgt der Flächeninhalt nur noch 3 4 AO In Stufe 2 werden die Mitteldreiecke der aus Stufe 2 verbliebenen Dreiecke ausgeschnitten; der Flächeninhalt beträgt noch 3 4 = 9 16 AO Setzt man für die jeweilige Stufe n ein, so erhält man die generelle Formel An = ( 3 4 ) 𝑛 Lässt man n gegen ∞ streben, so nähert sich A einem Flächeninhalt von A → 0 Stufe 0 Stufe 0 A = 𝑛=2 ∞ 4 9 𝑛 = 9 5 n → ∞ => A → 2 Stufe 4 Stufe 1 Stufe 5 Stufe 1 U = 4× ( 5 3 ) 𝑛 n → ∞ => U → ∞ fraktale Dimension: D = log⁡(4) log⁡(3) ≈1,26 L = 2 𝑛 n → ∞ => L→ ∞ D = log⁡(6) log⁡(2) ≈2,585 Fraktale – Beispiele, Tobias Röddiger(MA06), Alexander Schmitt(MA06), Hector – Seminar