Stabilitätsforderung führte zu screw-pinch Der toroidale Einschluss von Plasmen Stabilitätsforderung führte zu screw-pinch ... oder, um Endverluste zu minimieren zum Tokamak:

Kein magnetischer Einschluß mit rein toroidalem Magnetfeld möglich    Ladungstrennung durch Driften im inhomogenen Magnetfeld Drift im E-Feld ist nach außen gerichtet Ausgleichsströme ermöglicht durch poloidale Feldkomponente (Pfirsch-Schlüter-Ströme) vD = F x B q B2 vD  10-3 vth      B

.   Btor +++++ Bpol jPS Btor - - - - - Pfirsch-Schlüter-Ströme: die Ausgleichsströme der Ladungstrennung auf Grund des inhomogenen Magnetfeldes  Btor +++++ Bpol  . jPS Btor - - - - - Pfirsch-Schlüter-Ströme schwächen Magnetfeld auf der Innenseite und stärken es auf der Außenseite

Pfirsch-Schlüter-Ströme: Für kreiskörmigen Querschnitt und großem Aspektverhältnis erhält man parallelen Strom:

Das Tokamak „Toroidale Kammer mit Magnetfeld“ endliche Steigung der Magnetfeldlinien durch Poloidalfeld (erzeugt vom Plasmastrom)

Geeignete Größen zur Beschreibung des Tokamak: poloidale Größen toroidale Größen Tokamak ist axisymmetrisch, (unabhängig von toroidaer Koordinate)

In Zylinder-Näherung (screw-pinch): Tokamak ist charakterisiert durch Aspektverhältnis und „Sicherheitsfaktor“ q: Anzahl der toroidalen Windungen Anzahl der poloidalen Windungen einer Feldlinie auf dem Torus. In Zylinder-Näherung (screw-pinch):

q muss zur Stabilisierung der Kink-Mode ausreichend groß sein: „Sicherheitsfaktor“

Aus Stabilitätsgründen (siehe pinch): q > 1 erforderlich! q variiert von q(0)=1 auf der Achse bis q(a) = 3-5 am Rand: Diese Forderung an Bf hat Auswirkungen auf die Ökonomie: Der resultierende b-Wert liegt zwischen 1% und 10 % !

Gleichgewicht für den axisymmetrischen Fall (Tokamak) j und B liegen auf Flächen mit p=const. F2 C1 F1 C2 F2 magn. Feldlinien Flächen mit p=const Fluß durch Kurve auf einer Fläche konstanten Drucks is konstant

Gleichgewicht für den axisymmetrischen Fall (Tokamak) j und B liegen auf Flächen mit p=const. Fluß durch jede Kurve auf p=const. Fläche hat gleichen Wert : Flußflächen

j und B liegen auf Flächen mit p=const. Fluß durch jede Kurve auf p=const. Fläche hat gleichen Wert : Flußflächen Druck ist Flußflächengröße Tokamak besteht aus ineinandergeschachtelten Flußflächen, die von Magnetfeldlinien aufgespannt werden

Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus: Poloidale Windung: toroidale Flüsse Toroidaler Fluß Bt

Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus: Poloidale Windung: toroidale Flüsse Toroidale Windung: poloidale Flüsse Bp Poloidaler Fluß

Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus: Poloidale Windung: toroidale Flüsse Toroidale Windung: poloidale Flüsse Wähle den poloidalen Fluß  and Ipol (Strom): Poloidaler Fluss: Fluss durch Fläche, die durch toroidal geschlossene Kurve begrenzt wird Projektion der Fläche auf z=const.: Projektion der Fläche auf R=const.:

Projektion der Fläche auf z=const.: Projektion der Fläche auf R=const.: Poloidalstrom aus:

schreibe Kraftbilanz in Termina der Flüsse (' bedeutet d/d): Grad-Shafranov Gleichung

schreibe Kraftbilanz in Termina der Flüsse (' bedeutet d/d): Grad-Shafranov Gleichung Gleichung nichtlinear in  Zur Lösung: schreibe p() und Ipol() vor und integriere numerisch

Randbedingungen müssen spezifiziert werden: - Leitende Wand umgibt Plasma oder - Zusätzlich zur Lösung der inhomogenen Gleichung kann die Lösung der homogenen Gleichung ( ) addiert werden (Vakuumfeld) B vert R t (R) I tor Plasmaring versucht zu expandieren wegen …

Kraft durch toroidalen Strom plasma R 1 2 1= 2 Magnetfeld durch Plasmastrom ähnlich zu Magnetfeld eines Kreisstromes

Expansion verhindert durch zusätzliches Magnetfeld Vertikalfeld (gegen Expansion) plasma

Kraft durch endlichen Plasmadruck (pol ~ 1) Plasmadruck konstant, aber größere Fläche auf Niederfeldseite größere Kraft auf Niederfeldseite Expansion des Plasmas

Kraft durch endlichen Plasmadruck (pol ~ 1) Plasmarand Flußflächen für niedriges 

Shafranov-Verschiebung Vertikalfeld (gegen Expansion) Plasmarand Bpol vom Plasmastrom R B pol (R) Poloidalfeld auf linker Seite wird schwächer (besonders bei hohem ) Auswärtsverschiebung der magnetischen Achse

Zusätzlicher Beitrag zur Shafranov-Verschiebung durch Pfirsch-Schlüter-Ströme

+ = Gleichgewichte bei unterschiedlichem Plasmadruck b b b <1 =1 >1 pol pol pol Vakuum- verlauf B tor r + Vertikal - feld B pol = Y (r) d

Bei kleinem Plasmadruck ist magnetischer Druck durch Poloidalfeld viel höher als Plasmadruck. Ohne Toroidalfeld würde Plasma so weit komprimiert werden, bis pol=1. Mit Toroidalfeld entsteht erforderlicher Gegendruck vor allem durch Kompression des im Plasma eingeschlossenen Toroidalfeldes. Toroidalfeld übersteigt daher das Vakuumfeld, d.h. das Plasma wird paramagnetisch (bezüglich des Toroidalfeldes) Plasmadruck erhöht auf pol=1. Toroidalfeld entspricht Vakuumfeld. Bei weiterer Steigerung des Plasmadrucks wird auch Toroidalfeld zum Einschluß benötigt, das Plasma verhält sich diamagnetisch bezüglich des Toroidalfeldes. Mit steigendem Druck wird auch ein größeres Vertikalfeld nötig, um radiale Plasmaposition zu halten.

Gleichgewichtsgrenze: pol = A X-Punkt Separatrix

Übergang zwischen Plasma und Wand: 2 Lösungen (Limiter, Divertor) „Limiter“ Flußflächen schneiden Wand in kontrolliertem Gebiet, aber Problem mit Verunreinigungskonzentration!

ASDEX Upgrade Divertorexperiment Separatrix trennt Bereiche geschlossener und offener Feldlinien

Überraschung: nicht nur Verbesserung der Erosion und des Verunreinigungsverhaltens! Edge-Localized-Modes D-Strahlung ist Maß für Teilchenverluste Voraussetzung für H-Mode: T(a)100eV Edge-Localized-Modes

Transportbarriere am Rand, Transport wird aber überall verbessert! („Profilsteifigkeit“) ITER basiert auf H-Mode.

Eigenmoden Analyse Löse zeitabhängige MHD-Gleichungen für linearisierten Eigenmoden-Ansatz: (poloidale und toroidale Modenzahlen m und n, Anwachsrate g ) m = 1 m = 2 m = 3 For rationale q = m/n, sind Flußflächen besonders empfindlich für Instabilitäten  stehende Wellen auf rationalen Flächen auf `resonanten Flächen`

Beispiel: magnetische Inseln Abflachung des Druckprofils wegen gutem Transport entlang von Magnetfeldlinien

Technische Realisierung eines Tokamaks Toroidalfeld durch externe Spulen: Transformator treibt Plasmastrom Loop voltage getrieben durch Transformator erzeugt Plasma und heizt es

Stellaratoren Endliche Steigung der Magnetfeldlinien ohne Plasmastrom B tor (externer) Helix -Strom poloidal + - TF- Spule STELLARATOR ( l = 2 ) Ohne Plasmastrom stationärer Betrieb möglich und keine stromgetriebenen Instabilitäten

Abgewickelte Flussfläche im Stellarator

Steigung der Feldlinien im Stellarator meist kleiner als im Tokamak … und Poloidalfeld fällt nach außen ab  Itor = Tokamak  IHelix2= Stellarator 2. Ordnungs-Effekt! 0,5 1 TOKAMAK r = r/a l = 2 ( Kleine Steigung der helikalen Spulen) i = 1/q

Stellarator-Gleichgewicht Stellaratoren sind nicht axisymmetrisch, sondern 3-dimensional In 3D-Geometrie kann man nicht allgemein beweisen, dass Flußflächen existieren Stellarator hat im allgemeinen Flussflächen, aber mit Inseln an rationalen Flächen

Optimierung von Stellaratoren … Beispiel: geringe Shafranov-Verschiebung und dadurch höherer Plasmadruck möglich

Stellarator experiments at IPP Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association Stellarator experiments at IPP 1970 1980 1990 2000 2010 Greifswald W 7-X Garching W 7-AS W 7-A W 2-B W 2-A W1-B W 1-A

Magnetic surfaces in W7-X Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association Magnetic surfaces in W7-X Sometimes islands are wanted: e.g. island divertor in W7-X

Island divertor in W7-AS P. Grigull, Plasma Phys. Contr. Fus. (2001) 5x2 divertor modules Bottom divertor Target Baffles Probe arrays 5/9-island separatrix

Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association W7-X