Varianzfortpflanzung 521.202 / SES.125 Parameterschätzung Varianzfortpflanzung Torsten Mayer-Gürr

Diskrete Zufallsvariable Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an. Werte: Wahrscheinlichkeit: Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Wahrscheinlichkeitsverteilung, probability density function (pdf) und bzw. Verteilungsfunktion 09.12.2015

Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 oder 2 zu Würfeln 09.12.2015

Dichtefunktion und Verteilungsfunktion cummulative density function (cdf) Dichtefunktion, probability density function (pdf) 09.12.2015

Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert und Varianz Konkrete Messreihe Theoretischer Wert Mittelwert Gewichteter Mittelwert mit Erwartungswert Schätzung der Varianz Varianz 09.12.2015

Diskrete Zufallsvariable Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an. Werte: Wahrscheinlichkeit: kontinuierliche Zufallsvariable X Idee: Anzahl der Ereignisse n gegen unendlich, Wert des einzelnen Ereignisses gegen null. 09.12.2015

Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) 09.12.2015

Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) 09.12.2015

Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) 09.12.2015

Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) 09.12.2015

Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf) Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses geht gegen null Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable 09.12.2015

Stetige Zufallsvariable Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit wobei die Verteilungsfunktion von X ist Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit 09.12.2015

Stetige Zufallsvariable Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit wobei die Verteilungsfunktion von X ist Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit 09.12.2015 Pail

Erwartungswert und Varianz Erwartungswert (diskret) Erwartungswert (stetig) Varianz (diskret) Varianz (stetig) Erwartungswertoperator 09.12.2015

Kontinuierliche Verteilungen: Normalverteilung

Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Verteilungsfunktion: Erwartungswert: Varianz: 09.12.2015

Standardisierte Normalverteilung Transformation: Zentrierung der Verteilung (Verschiebung entlang der x-Achse) Normierung der Verteilung (Division durch die Standardabweichung) Dichte der standardisierten Normalverteilung Verteilungsfunktion 09.12.2015

Tabelle 09.12.2015

3-Sigma Regel Transformation Pail 09.12.2015

Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Zweidimensionale Zufallsverteilung Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail 09.12.2015

Zweidimensionale Zufallsverteilung Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail 09.12.2015

Zweidimensionale Zufallsverteilung Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Pail Randverteilung 09.12.2015

Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis 15 rote, 5 blaue Kugeln Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach einer roten ein blaue Kugel ohne zurücklegen zu ziehen? rote Kugel: blaue Kugel: 09.12.2015

Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis Bedingte Dichte mit der Randverteilung Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, gilt: Zwei Zufallsvariablen sind genau dann voneinander unabhängig, falls gilt 09.12.2015

Erwartungswert & Varianz/Kovarianz (Tafel)

Varianzfortpflanzung (Tafel)

Mehrdimensionale Zufallsverteilung Mehrdimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail 09.12.2015

Zufallsvektor

Varianz / Kovarianz Zufallsvektor Erwartungswert Varianz-Kovarianzmatrix Mit der Dichte und Varianz Kovarianz Kovarianz Operator 09.12.2015

Gravity Recovery and Climate Experiment JPL 09.12.2015

Korrelationen 09.12.2015

Korrelationen 09.12.2015

Korrelationen Varianz-Kovarianzmatrix 09.12.2015

Korrelationen Varianz-Kovarianzmatrix 09.12.2015

Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen 09.12.2015

n x m konstante Koeffizientenmatrix Varianz / Kovarianz Lineare Transformation n x 1 Zufallsvektor m x 1 Zufallsvektor n x 1 konstanter Vektor n x m konstante Koeffizientenmatrix Erwartungswert Kovarianzmatrix 09.12.2015

Kovarianzfortpflanzung 09.12.2015

Kovarianzfortpflanzung Beispiel: Differenz zweier Streckenmessungen mit Varianz der Differenz 09.12.2015

Kovarianzfortpflanzung Beispiel: Mittelwert mit Bei gleicher Varianz 09.12.2015

Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit Lineare Transformation? Kovarianzmatrix 09.12.2015

Polares Anhängen 1. Gemessen: 2. Kovarianzmatrix: 3. Berechnet: 4. Jakobimatrix 5. Kovarianzmatrix 5. Kovarianzmatrix Ergebnis 09.12.2015

Drehung des Koordinatensystems

Polares Anhängen Polares Anhängen 09.12.2015

Drehmatrizen Drehmatrix Inverse Drehung Allgemein: Orthogonale Matrix (Rotation mit evtl. Spiegelung) 09.12.2015

Polares Anhängen Polares Anhängen Drehung um Winkel t Kovarianzmatrix mit 09.12.2015

Polares Anhängen Drehung um Winkel t Nebenrechnung mit Kovarianzmatrix 09.12.2015

Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit Durch Drehung des Koordinatensystems kann man unkorrelierte Zufallsvariablen erhalten! Kovarianzmatrix 09.12.2015

Fehlerellipse

Beispiel: Strecke zwischen Koordinaten

Varianzfortplanzung im Gauß-Markoff Modell (Tafel)