Evaluation & Forschungsstrategien Winter 16/17 David Kurbel Evaluation & Forschungsstrategien B.Sc.-Seminar Sitzung II: Konfidenzintervalle / Überprüfung der Nullhypothese

Seminarinhalte Sitzung II: 09.11.2016 Winter 16/17 David Kurbel Seminarinhalte Sitzung II: 09.11.2016 I Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz II Zentrales Grenzwerttheorem III Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz IV Optimierung des Stichprobenumfangs V t-Test für unabhängige Stichproben

Logik von Konfidenzintervallen Winter 16/17 David Kurbel Logik von Konfidenzintervallen Schätzung des Populationsmittelwertes µ durch Stichprobenmittelwert 𝑋 µ ≠ 𝑋 , da zufällig gezogene Stichprobe Aussagen über zugrundeliegende Population? Wie genau schätzt 𝑋 den Parameter µ? Ermittlung von „Grenzen“ darin: wahrer Populationsparameter Konfidenzintervall I II III IV V

Logik von Konfidenzintervallen Winter 16/17 David Kurbel Logik von Konfidenzintervallen dazugehörige Schätzungen: Intervallschätzungen Konfidenzkoeffizienten (z.B. bei 95% oder 99% festgelegt) Intervallschätzung unbekannter Populationsparameter auf Basis der Stichprobenergebnisse schätzen konstruierter Wertebereich 1 – α = 95% bzw. 1 – α = 99% aller möglichen Populationsparameter Konfidenzkoeffizient 1 – α komplementär zum Signifikanzniveau α CI des arithmetischen Mittels berechnen (bekannte / unbekannte Varianz) CI eines Populationsanteils berechnen Hinweise für optimalen Stichprobenumfang I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Beispiel: Verteilung des Merkmals X (Intelligenzquotient) bei Abiturienten µ = 110 und σ 2 = 144 Sampling Distribution Mittelwerteverteilung von Ministichproben geringere Streuung / weniger Irregularitäten je mehr n, desto geringere Streuung für 𝑋 Übergang in Normalverteilung Zentrales Grenzwerttheorem I II III IV V

Zentrales Grenzwerttheorem Winter 16/17 David Kurbel Zentrales Grenzwerttheorem Zentrales Grenzwerttheorem Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben des Umfangs n, die beliebiger Grundgesamtheit entnommen wurden, entspricht der Normalverteilung vorausgesetzt, n ist ausreichend groß (n ≥ 30 als gute Approximation) Beispiel Produkt A – 1€ Produkt B – 2€ Produkt C – 3€ Produkt D – 4€ Produkt E – 5€ Produkt F – 6€ jedes Produkt gleichhäufig gekauft (P = 1/6) Zufallsvariable „Preis“: gleichverteilt I II III IV V

Zentrales Grenzwerttheorem Winter 16/17 David Kurbel Zentrales Grenzwerttheorem Zentrales Grenzwerttheorem Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben des Umfangs n, die beliebiger Grundgesamtheit entnommen wurden, entspricht der Normalverteilung vorausgesetzt, n ist ausreichend groß (n ≥ 30 als gute Approximation) Beispiel Produkt A – 1€ p(Preis: 1€) = 1/6 Produkt B – 2€ p(Preis: 2€) = 1/6 Produkt C – 3€ p(Preis: 3€) = 1/6 Produkt D – 4€ p(Preis: 4€) = 1/6 Produkt E – 5€ p(Preis: 5€) = 1/6 Produkt F – 6€ p(Preis: 6€) = 1/6 jedes Produkt gleichhäufig gekauft (P = 1/6) Zufallsvariable „Preis“: gleichverteilt I II III IV V

Zentrales Grenzwerttheorem Winter 16/17 David Kurbel Zentrales Grenzwerttheorem Verteilung der Kaufsummen bei 2 gekauften Produkten? 6 ⸱ 6 = 36 verschiedene Stichproben möglich billigste Stichprobe: 2€ (2 mal Produkt A) teuerste Stichprobe: 12€ (2 mal Produkt F) I II III IV V

Zentrales Grenzwerttheorem Winter 16/17 David Kurbel Zentrales Grenzwerttheorem Verteilung der Kaufsummen bei 2 gekauften Produkten? 6 ⸱ 6 = 36 verschiedene Stichproben möglich billigste Stichprobe: 2€ (2 mal Produkt A) teuerste Stichprobe: 12€ (2 mal Produkt F) Stichprobensummen ≠ einzelne Kaufpreise Verteilung Kaufpreise gleichverteilt Stichprobensummen symmetrisch / eingipflig je größer n, desto stärkere Annäherung an Normalverteilung I II III IV V

Zentrales Grenzwerttheorem Winter 16/17 David Kurbel Zentrales Grenzwerttheorem normalverteile Stichprobenmittelwerte Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte E ( 𝑋 ) = µ Standardfehler des Mittelwertes σ 𝑋 / Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwerts: σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = σ 2 𝑛 = σ 𝑛 I II III IV V

Zentrales Grenzwerttheorem Winter 16/17 David Kurbel Zentrales Grenzwerttheorem normalverteile Stichprobenmittelwerte Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte E ( 𝑋 ) = µ Standardfehler des Mittelwertes σ 𝑋 / Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwerts: σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = σ 2 𝑛 = σ 𝑛 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Standardnormalverteilung z-Transformation z = 𝑋 −µ σ Mittelwert / Streuung verändern sich, Verteilungsform nicht Anwendung auf normalverteilte Zufallsvariable 𝑋 𝑧 𝑋 = 𝑋 −µ σ 𝑋 Mittelwert: 0, Streuung: 1 Wahrscheinlichkeit, mit der Mittelwerte 𝑋 > a auftreten, bestimmen I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Abiturientenproblem Wahrscheinlichkeit von Stichprobenmittelwerten für 𝑋 > 115 n = 36 Durchschnittlicher IQ: µ = 110 Varianz der IQ-Werte: σ 2 = 144 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Abiturientenproblem Wahrscheinlichkeit von Stichprobenmittelwerten für 𝑋 > 115 n = 36 Durchschnittlicher IQ: µ = 110 Varianz der IQ-Werte: σ 2 = 144 Standardfehler der Mittelwerteverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = 144 36 = 2.00 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Abiturientenproblem Wahrscheinlichkeit von Stichprobenmittelwerten für 𝑋 > 115 n = 36 Durchschnittlicher IQ: µ = 110 Varianz der IQ-Werte: σ 2 = 144 Standardfehler der Mittelwerteverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = 144 36 = 2.00 𝑧 𝑋 = 115 −110 2 = 2.50 I II III IV V 𝑋 = 115 entspricht 𝑧 𝑋 = 2.50

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Wahrscheinlichkeit für 𝑧 𝑋 = 2.50 Flächeninhalt der Standardnormalverteilung zwischen 2.50 und ∞ p ( 𝑧 𝑋 > 2.50) = .0062 Wahrscheinlichkeit für 𝑋 = 115 bei n = 36 ist 0,62%, wenn µ = 110 und σ 2 = 144 Stichprobenmittelwert weicht mindestens 5 IQ-Punkte von µ ab 105 −110 2 = – 2.50 p ( 𝑧 𝑋 < – 2.50) = .0062 p (– 2.50 > 𝑧 𝑋 > 2.50) = .0062 + .0062 = .0124 I II III IV V Wahrscheinlichkeit von 1.24%

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz 𝑋 -Wertebereiche Intervall, in dem sich bestimmter Anteil p aller Stichprobenmittelwerte befindet p = .95 𝑍 𝑋 -Werte an beiden Seiten, die je 2.50% abschneiden 𝑧 𝑋 = – 1.96 𝑧 𝑋 = 1.96 p (– 1.96 < 𝑧 𝑋 < 1.96) = .95 Mittelwerte via z-Transformation I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz 𝑋 -Wertebereiche Intervall, in dem sich bestimmter Anteil p aller Stichprobenmittelwerte befindet p = .95 𝑍 𝑋 -Werte an beiden Seiten, die je 2.50% abschneiden 𝑧 𝑋 = – 1.96 𝑧 𝑋 = 1.96 p (– 1.96 < 𝑧 𝑋 < 1.96) = .95 Mittelwerte via z-Transformation – 1.96 = 𝑥 𝑢 −110 2 𝑥 𝑢 = 106.08 I II III IV V 1.96 = 𝑥 𝑜 −110 2 𝑥 𝑜 = 113.92

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz 𝑥 𝑢 = 106.08 als Untergrenze des Intervalls 𝑥 𝑜 = 113.92 als Obergrenze des Intervalls Mittelwerte aus Stichproben des Umfangs n = 36 mit 95%er Wahrscheinlichkeit im Bereich 106.08 bis 113.92 auf σ 𝑋 ⸱ 1.96 = 3.92 bei σ 𝑋 = 2 Bereich: µ ± 3.92 𝑋 -Wertebereich von µ Problem: zwischen 𝑧 𝑢 = 1.75 und 𝑧 𝑜 = 2.33 ebenfalls 95% der Gesamtfläche theoretisch unendlich viele Formen von a < µ < b „minimale Intervallbreite“ – 1.96 + 1.96 = 3.92; bei 1.75 + 2.33 = 4.08 Bevorzugung des kürzesten 𝑋 -Wertebereich, da genauste µ-Schätzung I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Bestimmung des Konfidenzintervalls µ meist unbekannt 1 Stichprobenmittelwert x bekannt Parameter für 𝑋 -Wertebereiche, in denen sich der bekannte x-Wert befindet Bei welchen Parametern x-Wert im 95%igen 𝑋 -Wertebereich? alle Parameter im Bereich x ± a kommen infrage Annahme: µ = 𝑥 + a, 𝑥 -Wert begrenzt 𝑋 -Wertebereiche rechtsseitig Annahme: µ = 𝑥 – a, 𝑥 -Wert begrenzt 𝑋 -Wertebereiche linksseitig auch 𝑋 ± a ist eine Zufallsvariable I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz wiederholte Stichprobenentnahme: verschiedene 𝑥 -Werte, bzw. 𝑥 ± a Auftretenswahrscheinlichkeit von 𝑥 -Wert abhängig von µ starke Abweichung von µ: unwahrscheinlicher als Werte in der Nähe von µ Stichprobenziehen vom Umfang n 95% richtige Parameterbereiche 5% falsche Parameterbereiche I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Interpretation von Konfidenzintervallen klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff auf Basis empirischer Daten berechnetes CI kann lediglich aussagen, ob wahrer Populationsparameter enthalten oder nicht subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff gesuchter Parameter mit Wahrscheinlichkeit von 95% im berechneten CI Konfidenzkoeffizienten p = .95 oder p = .99 Standardnormalverteilungstabelle für .99: ± 2.58 99%iges CI: 𝑥 ± 2.58 ⸱ σ 𝑋 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz allgemeine Formel Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍 ( α 2 ) ⸱ σ 𝑋 Beispiel: n = 36 𝑋 = 112 99% CI Z-Wert: ± 2.58 Varianz der IQ-Werte σ 2 : 144 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz allgemeine Formel Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍 ( α 2 ) ⸱ σ 𝑋 Beispiel: n = 36 𝑋 = 112 99% CI Z-Wert: ± 2.58 Varianz der IQ-Werte σ 2 : 144 Standardfehler der Mittelwertsverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = 2.00 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz allgemeine Formel Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍 ( α 2 ) ⸱ 2 Beispiel: n = 36 𝑋 = 112 99% CI Z-Wert: ± 2.58 Varianz der IQ-Werte σ 2 : 144 Standardfehler der Mittelwertsverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = 2.00 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz allgemeine Formel Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 2.58 ⸱ 2 Beispiel: n = 36 𝑋 = 112 99% CI Z-Wert: ± 2.58 Varianz der IQ-Werte σ 2 : 144 Standardfehler der Mittelwertsverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = 2.00 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz allgemeine Formel Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 112 ± 2.58 ⸱ 2 Beispiel: n = 36 𝑋 = 112 99% CI Z-Wert: ± 2.58 Varianz der IQ-Werte σ 2 : 144 Standardfehler der Mittelwertsverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = 2.00 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels bei bekannter Varianz allgemeine Formel Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 112 ± 2.58 ⸱ 2 Beispiel: n = 36 𝑋 = 112 99% CI Z-Wert: ± 2.58 Varianz der IQ-Werte σ 2 : 144 112 – 5.16 ≤ µ ≤ 112 + 5.16 bzw. 106.84 ≤ µ ≤ 117.16 Standardfehler der Mittelwertsverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 = 2.00 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels bei unbekannter Varianz Schätzung der Populationsvarianz über Stichprobendaten Schätzung des Standardfehlers für große n: Annahme der Standardnormalverteilung für kleine n: Verwendung der t-Verteilung kritische z-Werte für 95%: 1.96; für 99%: 2.58 n ≥ 30 Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑍 ( α 2 ) ⸱ σ 𝑋 mit σ 𝑋 = σ 2 𝑛 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz n ≤ 30 Verwendung der t-Verteilung normalverteilte Population Verwendung der entsprechenden Freiheitsgrade df = n – 1 Δ 𝑘𝑟𝑖𝑡(1−α) = 𝑋 ± 𝑡 ( α 2 ,𝑑𝑓) ⸱ σ 𝑋 mit σ 𝑋 = σ 2 𝑛 kritische t-Werte von n / df abhängig I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz t-Verteilung 𝑧 𝑋 = 𝑋 −µ σ 𝑋 = 𝑋 −µ σ 2 𝑛 bekannte Populationsstreuung σ unrealistisch σ als Schätzung: Zufallsvariable t t = 𝑋 −µ σ 𝑋 = 𝑋 −µ σ 2 𝑛 𝑋 und σ sind stichprobenabhängig Standardfehler der Mittelwertsverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz t-Verteilung 𝑧 𝑋 = 𝑋 −µ σ 𝑋 = 𝑋 −µ σ 2 𝑛 bekannte Populationsstreuung σ unrealistisch σ als Schätzung: Zufallsvariable t t = 𝑋 −µ σ 𝑋 = 𝑋 −µ σ 2 𝑛 𝑋 und σ sind stichprobenabhängig symmetrisch / eingipflig µ = 0 SD: σ = (𝑛−1)/(𝑛−3) Standardfehler der Mittelwertsverteilung σ 𝑋 = σ 2 𝑛 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Freiheitsgrade dfs Anzahl frei variierender Abweichungen Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert 4 Messungen 𝑥 1 - 𝑥 = 2 𝑥 2 - 𝑥 = -3 𝑥 3 - 𝑥 = -5 I II III IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Freiheitsgrade dfs Anzahl frei variierender Abweichungen Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert 4 Messungen 𝑥 1 - 𝑥 = 2 𝑥 2 - 𝑥 = -3 𝑥 3 - 𝑥 = -5 I II III Summe aller Differenzen muss 0 ergeben! IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Freiheitsgrade dfs Anzahl frei variierender Abweichungen Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert 4 Messungen 𝑥 1 - 𝑥 = 2 𝑥 2 - 𝑥 = -3 𝑥 3 - 𝑥 = -5 𝑥 4 - 𝑥 = 6 I II III Summe aller Differenzen muss 0 ergeben! IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Freiheitsgrade dfs Anzahl frei variierender Abweichungen Stichprobe n sind n – 1 Abweichungen variierbar Beispiel – Abweichungen vom Mittelwert 4 Messungen 𝑥 1 - 𝑥 = 2 𝑥 2 - 𝑥 = -3 𝑥 3 - 𝑥 = -5 𝑥 4 - 𝑥 = 6 verschiedene t-Verteilungen Streuungen abhängig von der Anzahl der dfs der Varianzschätzungen I II III Summe aller Differenzen muss 0 ergeben! IV V

CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Winter 16/17 David Kurbel CI des arithmetischen Mittels / unbekannte Varianz Freiheitsgrade dfs mit zunehmenden dfs Annäherung an Standardnormalverteilung für dfs > 30 Verwendung der Standardnormalverteilung möglich I II III IV V

Optimierung des Stichprobenumfangs Winter 16/17 David Kurbel Optimierung des Stichprobenumfangs Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs gute Approximation bei n ≥ 30 CI des arithmetischen Mittels 𝑧 𝑋 = 𝑋 −µ σ 𝑋 = 𝑋 −µ σ 2 𝑛 = 𝑒 σ 2 𝑛 auflösen nach n n = 𝑧 2 − σ 2 𝑒 2 I II e als Schätzfehler 𝑋 −µ III IV V

Optimierung des Stichprobenumfangs Winter 16/17 David Kurbel Optimierung des Stichprobenumfangs Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs n = 𝑧 2 − σ 2 𝑒 2 mit abnehmendem Schätzfehler wächst der optimale Stichprobenumfang quadratisch I II III IV V

Optimierung des Stichprobenumfangs Winter 16/17 David Kurbel Optimierung des Stichprobenumfangs Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs n = 𝑧 2 − σ 2 𝑒 2 mit abnehmendem Schätzfehler wächst der optimale Stichprobenumfang quadratisch mit zunehmendem Konfidenzkoeffizienten wächst der optimale Stichprobenumfang quadratisch I II III IV V

Optimierung des Stichprobenumfangs Winter 16/17 David Kurbel Optimierung des Stichprobenumfangs Überlegungen zur Optimierung des Stichprobenumfangs n = 𝑧 2 − σ 2 𝑒 2 mit abnehmendem Schätzfehler wächst der optimale Stichprobenumfang quadratisch mit zunehmendem Konfidenzkoeffizienten wächst der optimale Stichprobenumfang quadratisch mit zunehmender Populationsstreuung wächst der optimale Stichprobenumfang quadratisch Streuung des Populationsmerkmals muss ungefähr bekannt sein Festlegung des Schätzfehlers / des optimalen Stichprobenumfangs Vorinformationen / Vorstudie Schätzung während der Hauptuntersuchung I II III IV V

t-Test für unabhängige Stichproben Winter 16/17 David Kurbel t-Test für unabhängige Stichproben Anwendung im t-Test für unabhängige Stichproben z-Skala der Differenzen von Mittelwerten z = Δ 𝑋 − µ Δ 𝑋 σ Δ 𝑋 I II III IV V

t-Test für unabhängige Stichproben Winter 16/17 David Kurbel t-Test für unabhängige Stichproben Anwendung im t-Test für unabhängige Stichproben z-Skala der Differenzen von Mittelwerten z = Δ 𝑋 − µ Δ 𝑋 σ Δ 𝑋 = Δ 𝑋 σ Δ 𝑋 ist standardnormalverteilt H0: µ Δ 𝑋 = 0 I II III IV V

t-Test für unabhängige Stichproben Winter 16/17 David Kurbel t-Test für unabhängige Stichproben Anwendung im t-Test für unabhängige Stichproben z-Skala der Differenzen von Mittelwerten z = Δ 𝑋 − µ Δ 𝑋 σ Δ 𝑋 = Δ 𝑋 σ Δ 𝑋 ist standardnormalverteilt H0: µ Δ 𝑋 = 0 α = 0.05 Ist |z| > 𝑧 1− α 2 ? wenn ja: Ablehnung der H0 wenn nein: Beibehalten der H0 I II III IV V

t-Test für unabhängige Stichproben Winter 16/17 David Kurbel t-Test für unabhängige Stichproben Differenz der Mittelwerte: 𝑥 M - 𝑥 J = Δ 𝑥 bzw. 23.7 – 17.2 = 6.5 Standardfehler der Differenz: σ Δ 𝑥 = 𝜎 2 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝐽 = 𝜎 2 ⸱ 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝐽 𝜎 2 = (𝑛 𝑀 ) 𝑠 𝑀 2 + (𝑛 𝐽 ) 𝑠 𝐽 2 𝑛 𝑀 + 𝑛 𝐽 −2 𝑠 𝑀 2 = 173, 𝑛 𝑀 = 40 𝑠 𝐽 2 = 106, 𝑛 𝐽 = 45 I II III IV V

t-Test für unabhängige Stichproben Winter 16/17 David Kurbel t-Test für unabhängige Stichproben Differenz der Mittelwerte: 𝑥 M - 𝑥 J = Δ 𝑥 bzw. 23.7 – 17.2 = 6.5 Standardfehler der Differenz: σ Δ 𝑥 = 𝜎 2 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝐽 = 𝜎 2 ⸱ 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝐽 𝜎 2 = (𝑛 𝑀 ) 𝑠 𝑀 2 + (𝑛 𝐽 ) 𝑠 𝐽 2 𝑛 𝑀 + 𝑛 𝐽 −2 𝑠 𝑀 2 = 173, 𝑛 𝑀 = 40 𝑠 𝐽 2 = 106, 𝑛 𝐽 = 45 σ Δ 𝑥 = 40 173 +(45) 106 40 +45 −2 ⸱ 1 40 + 1 45 = 2.58 z = Δ 𝑋 σ Δ 𝑋 = 6.5 2.58 = 2.52 𝑧 1−( α 2 ) = 1.96 I II III IV V

t-Test für unabhängige Stichproben Winter 16/17 David Kurbel t-Test für unabhängige Stichproben Differenz der Mittelwerte: 𝑥 M - 𝑥 J = Δ 𝑥 bzw. 23.7 – 17.2 = 6.5 Standardfehler der Differenz: σ Δ 𝑥 = 𝜎 2 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝐽 = 𝜎 2 ⸱ 1 𝑛 𝑀 + 1 𝑛 𝐽 𝜎 2 = (𝑛 𝑀 ) 𝑠 𝑀 2 + (𝑛 𝐽 ) 𝑠 𝐽 2 𝑛 𝑀 + 𝑛 𝐽 −2 𝑠 𝑀 2 = 173, 𝑛 𝑀 = 40 𝑠 𝐽 2 = 106, 𝑛 𝐽 = 45 σ Δ 𝑥 = 40 173 +(45) 106 40 +45 −2 ⸱ 1 40 + 1 45 = 2.58 z = Δ 𝑋 σ Δ 𝑋 = 6.5 2.58 = 2.52 𝑧 1−( α 2 ) = 1.96 2.52 > 1.96, d.h. |z| > 𝑧 1− α 2 ; H0 I II III IV V