Fraktale Maple D = 𝑙𝑛8 𝑙𝑛3 Phytagorasbaum* Sierpinski-Dreieck* Sierpinski-Teppich* Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Quadrat in Stufe 1 unterteilt man das Quadrat in 9 gleiche Quadrate, von denen das Mittlere entfernt wird es verbleiben 8 Quadrate die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zuvor das Ausgangsquadrat Phytagorasbaum* Sierpinski-Dreieck* Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Dreieck in Stufe 1 unterteilt man das Dreieck in 4 gleiche Dreiecke, von denen das Mittlere entfernt wird es verbleiben 3 Dreiecke die in der 2 Stufe alle so behandelt werden, wie zuvor das Ausgangsdreieck Maple Das Programm Maple ist ein sogenanntes Computer Algebra System (CAS) mit dem sich vor allem mathematische Programme und Strukturen erstellen und visualisieren lassen. Ein Kernthema unseres Moduls war deshalb, mit Maple eigene Programme zu schreiben, mit denen wir Fraktale in verschiedensten Stufen zeichnen ließen. Alle Fraktale, die wir selbst programmiert haben, sind in der Überschrift mit einem Stern (*) gekennzeichnet. Im Folgenden wird der Quelltext eines Maple Programms zur Kochkurve gezeigt und erläutert: A = ( 3 4 ) 𝑛 Stufe 1 Stufe 0 Stufe 2 Stufe 3 U = 1- ( 1 3 ) 2 𝑖=1 𝑛−1 8 𝑖 × 1 3 𝑖 +1 n → ∞ => U → ∞ Stufe 2 Stufe 1 Bildquelle: http://www.spektrum.de/sixcms/media.php/1118/thumbnails/Pythagoras-Baum-Typ-AS5%20_Q125%B0%2072.png.668180.jpg (2.Juli 2011) http://www.geschenkewald.de/Image/Baum27.JPG( 2.Juli 2011) U = 3× ( 3 2 ) 𝑛 n → ∞ => U → ∞ fraktale Dimension: D = 𝑙𝑛8 𝑙𝑛3 Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Quadrat in Stufe 1 wird über diesem Quadrat ein Thaleskreis konstruiert und dann beliebig geteilt; aus den zwei Schenkeln werden wieder Quadrate konstruiert in der Stufe 2 wird rekursiv vorgegangen fraktale Dimension: D = log⁡(3) log⁡(2) ≈1,585 A = 1-( 1 3 ) 2 - 𝑖=1 𝑛−1 8 𝑖 × ( 1 3 ) 𝑖 +1 n → ∞ => A → 0 Menger-Schwamm* Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Würfel in Stufe 1 wird jede Würfelfläche in 9 Quadrate ge- teilt, die den Würfel in 27 gleiche Würfel teilen, von denen jeder mittlere Teil der Flächen und der im Inneren entfernt wird. es verbleiben 20 Würfel die in der 2. Stufe alle so behandelt werden, wie zu- vor der Aus- gangswürfel Sierpinski-Tetraeder Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Tetraeder mit dreieckiger Grundfläche in Stufe 1 unterteilt man jede Tetraederfläche in 4 Dreiecke, die den Tetraeder in 5 gleiche Tetraeder teilen, von denen jeweils der Mittlere der Flächen und der im Inneren entfernt werden; es verbleiben 4 Tetraeder die in der 2. Stufe alle so behandelt werden, wie zu- vor der Aus- gangstetraeder. Stufe 1 Stufe 0 Stufe 2 Stufe 2 Stufe 3 Bildquelle: http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/bild09_marke04_01.png (2.Juli 2011) Stufe 1 fraktale Dimension: D = log⁡(4) log⁡(2) ≈2 V =( 𝑛 3 12 )∙ 2 n → ∞ => V → 0 O= 1 9 ∙ 20 9 n −1 40+80∙ 2 5 n n → ∞ => O → ∞ V = ( 20 27 ) 𝑛 n → ∞ => V → 0 O = 𝑛 2 ∙ 3 n → ∞ => O → ∞ Koch‘sche Schneeflocke* Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Dreieck in Stufe 1 wird jeder der Dreiecksseiten das mittlere Drittel entfernt und über der Lücke ein gleichseitiges Dreieck gezeichnet in der 2 Stufe werden alle entstandenen Strecken des Dreiecks so be- handelt, wie zuvor die Ausgangsseiten Minkowskiwurst 1* Ausgangsfigur in Stufe 0 ist eine Strecke Stufe 1 - Strecke in 4 gleiche Teile geteilt, das zweite Teilstück ein Viertel der Gesamtlänge, parallel zur Ausgangsstrecke nach oben verschieben, durch zwei rechtwinklig dazu stehenden Strecken ver- binden, die so lang sind, wie die Teil- stücke selbst; dritte Teilstrecke umgekehrt in der 2. Stufe wird dies mit allen Teilstrecken der Stufe 1 wiederholt Beispielrechnung: Sierpinski-Dreieck die zu berechnende Beispielgröße ist der Flächen-inhalt der Flächeninhalt des Ausgangsdreiecks sei AO da in Stufe 1 das Mitteldreieck ausgeschnitten wird, beträgt der Flächeninhalt nur noch 3 4 AO in Stufe 2 werden die Mitteldreiecke der aus Stufe 2 verbliebenen Dreiecke ausgeschnitten; der Flächeninhalt beträgt noch 3 4 = 9 16 AO setzt man für die jeweilige Stufe n ein, so erhält man die generelle Formel An = ( 3 4 ) 𝑛 lässt man n gegen ∞ streben, so nähert sich A einem Flächeninhalt von A → 0 Stufe 0 Stufe 0 A = 𝑛=2 ∞ 4 9 𝑛 = 9 5 n → ∞ => A → 2 In diesem Beispiel war n=3 →das Fraktal wird in der Stufe 3 gezeichnet (da i dreimal um 1 erhöht werden muss damit i=n erfüllt ist) Stufe 4 Stufe 1 Stufe 5 Stufe 1 U = 4× ( 5 3 ) 𝑛 n → ∞ => U → ∞ fraktale Dimension: D = log⁡(4) log⁡(3) ≈1,26 D = log⁡(6) log⁡(2) ≈2,585 L = 2 𝑛 n → ∞ => L→ ∞ Das fertige Fraktal Fraktale – Beispiele, Tobias Röddiger (MA06), Alexander Schmitt (MA06), Hector – Seminar