Berechnung der Kreisfläche

Im Altertum gehörte die Geometrie zur Philosophie: Die großen Gelehrten der Griechen versuchten, alle geometrischen Figuren auf Dreiecke zurückzuführen, deren Fläche sie berechnen konnten.

Der Kreis war am schwersten zu berechnen: Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt: A = d2 * 3,14 (Π ) 4

Der Kreis war am schwersten zu berechnen: 3,14 ist die abgerundete Kurzform der unendlichen Zahl Π (Pi), auf die man bei der Berechnung des Kreises immer wieder stößt. Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt: A = d2 * 3,14 (Π ) 4

Der Kreis war am schwersten zu berechnen: d2 ist der Durchmesser des Kreises – mit sich selber malgenommen. Man könnte sagen: Ein Quadrat mit der Seitenlänge d. Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt: A = d2 * 3,14 (Π ) 4

Der Kreis war am schwersten zu berechnen: Heute wissen wir, dass die Fläche des Kreises ungefähr ¾ des Durchmesser-Quadrates beträgt: A = d2 * 3,14 (Π ) 4 Und das Ganze geteilt durch 4. Warum eigentlich 4 ? Schauen wir uns die Sache noch einmal in Ruhe an:

Wenn man außen um den Kreis herum ein Quadrat zeichnet, hat das den Flächeninhalt d x d = d2 4

Die Kreisfläche ist also KLEINER als d2. Wenn man außen um den Kreis herum ein Quadrat zeichnet, hat das den Flächeninhalt d x d = d2. Die Kreisfläche ist also KLEINER als d2. Diese Fläche ist grösser als der Kreis: Die orange-farbenen Ecken stehen über.

Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Und wie groß ist das grüne Quadrat?

Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises bis zur Spitze des Quadrats ist d/2: ein halber d. Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Die Fläche des Dreiecks berechnet sich als Grundseite mal Höhe geteilt durch 2. Dieser Durchmesser teilt das grüne Quadrat in 2 Dreiecke Hier also d (rote Linie) mal d/2 (grüne Linie) geteilt durch 2.

Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Und weil das grüne Quadrat aus 2 solchen Dreiecken besteht, ist seine Fläche 2 x d2/4 A = d x d/2 : 2 Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. = d2/2 : 2 = d2/4 Die Fläche des Dreiecks berechnet sich als Grundseite mal Höhe geteilt durch 2. Hier also d (rote Linie) mal d/2 (grüne Linie) geteilt durch 2.

Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Und weil das grüne Quadrat aus 2 solchen Dreiecken besteht, ist seine Fläche 2/4 d2 Das orange große Quadrat hat eine Fläche von d2. Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Das sind 4/4 d2. Die Fläche des Kreises liegt also zwischen 2/4 und 4/4 d2. Der Mittelwert ist 3/4 d2.

Jetzt basteln wir ein Quadrat in den Kreis hinein: Das stimmt so ungefähr! Diese Fläche ist eindeutig kleiner als der Kreis: Die braunen Kreissegmente stehen über. Genauer: 3,14/4 d2 Die Fläche des Kreises liegt also zwischen 2/4 und 4/4 d2. Der Mittelwert ist 3/4 d2.

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