Vorlesung Eigenspannungen in Bauteilen und Werkstoffen Laborkoordinatensystem L – Probenkoordinatensystem S

0. Inhalt/Organisatorisches Eigenspannungen (Ursachen, Auswirkungen, Einteilung, Messung, Beispiele, …) (1) Grundlagen der Elastizitätstheorie (tensorielle Eigenschaften von Kristallen) (2) Röntgenographische Verfahren (3-9) Grundlegendes zur röntgenographischen Spannungsmessung (3) Bestimmung der Dehnungen (4) Beugungsverfahren – Euler-Wiege I (5) Beugungsverfahren – Euler-Wiege II (6) Beugungsverfahren – streifender Einfall (7) Vom Dehnungstensor zum Spannungstensor (8) Fehler bei der Spannungsbestimmung (9) nicht-röntgenographische Verfahren (10-11) Stokes-Geichung (10) Ultraschalltechnik (11) Fragestunde (12) Literatur: I.C. Noyan, J.B. Cohen, Residual Stress, Springer 1987 V. Hauk, Structural and Residual Stress Analysis by Nondestructive Methods, Elsevier 1997 U. Welzel, J. Appl. Cryst. 38 (2005) 1

3. Beugungsgeometrien 2𝑑 sin 𝜃 =𝜆 Δ𝑑 𝑑 =− cot 𝜃 Δ𝜃

Kinematische Intensität 3. Beugungsgeometrien Kinematische Intensität 𝐼=𝑆⋅ 𝑖 ℎ𝑘𝑙 𝑚 𝑖,ℎ𝑘𝑙 ⋅ 𝐿 𝑖,ℎ𝑘𝑙 ⋅ 𝑃 𝑖 ⋅ 𝐴 𝑖 ⋅ 𝐹 𝑖 2 ⋅𝜙 𝜃− 𝜃 𝐵 ⋅ 𝑉 𝑖 𝑉 𝑖,𝑒𝑧 2 ⋅ exp − 8𝜋 𝑢 2 sin 2 𝜃 𝜆 2 + 𝐼 𝑏𝑔𝑟 S … Skalierungsfaktor m … Multiplizität der Netzebenen L … Lorentz-Faktor P … Polarisationsfaktor A … Absorptionskorrektur F … Strukturfaktor f … Profilfunktion qb … Bragg-Winkel <u²> … Atomschwingungen

Kinematische Intensität – Strukturfaktor 3. Beugungsgeometrien Kinematische Intensität – Strukturfaktor wie beeinflusst die atomare Anordnung die Intensität der gebeugten Strahlung enthält die Amplitude und Phaseninformation der Beugung  ist eine komplexe Größe kombiniert Informationen von direktem + reziprokem Raum etwas expliziter: Strukturfaktor ist die Fouriertransformierte des Streuvermögens (Elektronendichte) 𝐹 ℎ𝑘𝑙 = 𝑗=1 𝑁 𝑓 𝑗 ⋅ exp [2𝜋𝑖 𝑟 ℎ𝑘𝑙 ∗ ⋅ 𝑟 ℎ𝑘𝑙 ] = 𝑗=1 𝑁 𝑓 𝑗 ⋅ cos (2𝜋 𝑟 ℎ𝑘𝑙 ∗ ⋅ 𝑟 ℎ𝑘𝑙 ) +𝑖 𝑗=1 𝑁 𝑓 𝑗 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 (2𝜋 𝑟 ℎ𝑘𝑙 ∗ ⋅ 𝑟 ℎ𝑘𝑙 ) 𝐹 ℎ𝑘𝑙 = 𝑗=1 𝑁 𝑓 𝑗 ⋅ exp 2𝜋𝑖 ℎ 𝑥 𝑗 +𝑘 𝑦 𝑗 +𝑙 𝑧 𝑗

3. Beugungsgeometrien Diffraktometeroptiken sinnvolle Optik: Parallelstrahl und Punktfokus weniger Aufwand mit Probenpositionierung und einhalten der Fokussierungsbedingung

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Was benötigt man? ein Goniometer mit möglichst großer „Bewegungsfreiheit“ Laborkoordinatensystem L Probenkoordinatensystem S gemessen wird immer entlang L3 Probe wird so orientiert, dass L2 in deren Oberfläche liegt

Bestimmung der Eigenspannungen: Was kann man messen? 3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Was kann man messen? Maxima aus den Beugungsdaten (Erfüllung der Bragg-Gleichung/Laue-Bedingung)  Peakpositionen (also Netzebenenabstände) daraus werden Dehnungen errechnet! e’33 ist die Dehnung entlang L3 im Laborkoordinatensystem! 𝑑 𝜙𝜓 − 𝑑 0 𝑑 0 = 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Dehnung stammen aber aus dem Probenkoordinatensystem  müssen umgerechnet werden „Richtungskosinusse“ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 = cos 𝑥 1 ′ 𝑥 1 cos 𝑥 1 ′ 𝑥 2 cos 𝑥 1 ′ 𝑥 3 cos 𝑥 2 ′ 𝑥 1 cos 𝑥 2 ′ 𝑥 2 cos 𝑥 2 ′ 𝑥 3 cos 𝑥 3 ′ 𝑥 1 cos 𝑥 3 ′ 𝑥 2 cos 𝑥 3 ′ 𝑥 3 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 = cos 𝜙 cos 𝜓 sin 𝜙 cos 𝜓 − sin 𝜓 − sin 𝜙 cos 𝜙 0 cos 𝜙 sin 𝜓 sin 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜓

3. Laborkoordinatensystem L – Probenkoordinatensystem S homogener Spannungszustand: Übergang vom Laborkoordinatensystem zum Probenkoordinatensystem oder: Übersetzung des Spannungstensors vom Labor in die Probe i,j…freie Indizes k,l…“dummy“-Indizes Einstein‘sche Summenkonvention: Summe über alle möglichen Kombinationen von k und l 𝜎 𝑖𝑗 ′ = 𝑎 𝑖𝑘 𝑎 𝑗𝑙 𝜎 𝑘𝑙 𝜎 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖1 𝑎 𝑗1 𝜎 11 + 𝑎 𝑖1 𝑎 𝑖2 𝜎 12 + 𝑎 𝑖1 𝑎 𝑗3 𝜎 13 + 𝑎 𝑖2 𝑎 𝑗1 𝜎 21 + 𝑎 𝑖2 𝑎 𝑗2 𝜎 22 + 𝑎 𝑖2 𝑎 𝑗3 𝜎 23 + 𝑎 𝑖3 𝑎 𝑗1 𝜎 31 + 𝑎 𝑖3 𝑎 𝑗2 𝜎 32 + 𝑎 𝑖3 𝑎 𝑗3 𝜎 33 apq…“Richtungskosinusse“

Bestimmung der Eigenspannungen: 3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Dehnung stammen aber aus dem Probenkoordinatensystem  müssen umgerechnet werden „Richtungskosinusse“ 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓 = 𝑎 3𝑘 𝑎 3𝑙 𝜀 𝑘𝑙 = 𝑑 𝜙𝜓 − 𝑑 0 𝑑 0 = 𝜀 11 cos 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 12 sin 2𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 13 cos 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 22 sin 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 23 sin 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 33 cos 2 𝜓 Grundgleichung der Eigenspannungsanalyse mittels röntgenographischer Beugungsmethoden

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: 3 grundlegende Arten von y-abhängigen Netzebenenabständen können sich aus den Messdaten ergeben für e13, e23 = 0 für e13, e23 ≠ 0, wg. sin 2y y splitting reguläres Verhalten

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Goniometer für Spannungsmessung erfordern Beweglichkeit in den f und y Winkeln formal: 0 ≤ f ≤ 360° 0 ≤ y ≤ 360° experimentell: 0 ≤ f ≤ 180° 0 ≤ y ≤ 90°

2𝑑 sin 𝜃 =𝜆 3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Goniometer für Spannungsmessung erfordern Beweglichkeit in den f und y Winkeln 2𝑑 sin 𝜃 =𝜆

3. Beugungsgeometrien Eindringtiefe der Röntgenstrahlen oder Welche Aussagekraft haben die gemessenen Daten?

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Goniometer für Spannungsmessung: 4-Kreis-Diffraktometer Euler-Wiege

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Goniometer für Spannungsmessung: 4-Kreis-Diffraktometer Euler-Wiege

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Goniometer für Spannungsmessung: 4-Kreis-Diffraktometer Kappa-Geometrie

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Goniometer für Spannungsmessung: 4-Kreis-Diffraktometer Kappa-Geometrie

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Goniometer für Spannungsmessung: 4-Kreis-Diffraktometer TS-3-Geometrie

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Beobachtungen… WC211 WC103 2q

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Beobachtungen… WC211 WC103 2q Was passiert bei einem 2D-Detektor?

Kinematische Intensität – Profilfunktion (für Peakhöhe) 3. Beugungsgeometrien Kinematische Intensität – Profilfunktion (für Peakhöhe) Pearson VII 𝑃 𝑉𝐼𝐼 = 𝐼 0 1+ 4 𝑚 2 −1 𝑤 2 2𝜃−2 𝜃 𝐵 2 𝑚 Lorentz-Funktion der m-ten Potenz kann verschiedene Peakformen beschreiben einfacher zu rechnen als vergleichbare Funktionen pseudo-Voigt 𝑃𝑉=𝜂𝐿(2𝜃−2 𝜃 𝐵 )+ 1−𝜂 𝐺 2𝜃−2 𝜃 𝐵 ausreichende Näherung der Voigt-Funktion Linearkombination von Lorentz- und Gaussfunktion kann verschiedene Peakformen beschreiben etwas rechenintensiver als einfache Funktionen

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Linienposition – Wahl der Profilfunktion

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Linienposition – Anpassung der Daten

3. Beugungsgeometrien Anpassen der Linienposition:

Anpassen der Linienposition: 3. Beugungsgeometrien Anpassen der Linienposition: 𝜒 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 −𝑦 𝑥 𝑖 , 𝑎 𝑖 ,…, 𝑎 𝑚 Δ 𝑖 2 → min ! ai,…,am: Anpassungsparameter Di: Standardabweichungen der Intensitäten statistischer Fehler der Anpassungsparameter: Δ 𝑚 𝑗 2 = 𝐾 𝑗𝑗 −1 𝑛−𝑚 𝑖=1 𝑛 𝐼 𝑖,𝑜𝑏𝑠 − 𝐼 𝑖,𝑐𝑎𝑙𝑐 2 Δ 𝑖,𝑜𝑏𝑠 2 Kjj: diagonale Elemente der inversen Koeffizientenmatrix

3. Beugungsgeometrien Bestimmung der Eigenspannungen: Welche Anforderungen werden gestellt: isolierte Peaks (keine Überlappung) keine Asymmetrie (Bestimmung des Maximums) geringe Beiträge der Realstruktur (Eigenspannungen II. + III. Art) gute Kornstatistik, keine Textur ausreichende Messstatistik hohe Sensitivität (Messung bei hohen Beugungswinkeln)

Eigenspannungen Auswahl der {hkl}