Mathematik 12
Integralrechnung Übungsaufgabe zur Bestimmung des Funktionsverlaufes und anschließende Flächenbestimmung
Aufgabe 14.2.17 Skizziere die beiden Graphen der Funktionen f(x)=0,5x³-1,5x²+2, 1. Nst. X0=-1 g(x)=0,5x²-2x+2 Zeichne in die Skizze sämtliche Teilflächen im x-Bereich von -1,5 bis 3 ein, die zwischen den beiden Graphen oder einem Graphen und der x-Achse liegen. Berechne diese Teilflächen.
Lösung Bestimmung der Nullstellen von f(x) Da x0=-1 vorgegeben ermittelt man die weiteren Nullstellen mittels Polynomdivision. 0,5x³-1,5x²+2 : (x+1)=0,5x²-2x+2=0,5(x²-4x+4)=0,5(x-2)² -(0,5x³+0,5x²) -2x²+2 -(-2x²-2x) d.h. : weitere Nullstelle x1=2 (doppelt) +2x+2 -(+2x+2) 0 Bestimmung der Extrema: Notwendige Bedingung: f‘(x)=1,5 x² – 3x=0 ⇔ 1,5x (x² – 2)=0 ⇔ xE1=0 v xE2=2 (wird hier nicht mehr benötigt, da Verhalten eindeutig folgerbar: Min(2,0)) Hinreichende Bedingung: f‘‘(x)=3x – 3 ; f‘‘(0)=-3 < 0 Maximum und f(0)=2 Max(0,2)
Aufgabenteil a) - Skizze
Aufgabenteil b)
Sinus- und Kosinusfunktion In einem rechtwinkligen Dreieck erklären wir folgende Streckenverhältnisse (Sinus, Kosinus, Tangens): sinα= 𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 cosα= 𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 tanα= 𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒
Bogenmaß
Fortsetzung der Sinusfunktion auf ganz ℝ Auf der x-Achse wird die jeweilige Länge des Kreisbogens (blau) und als zugehöriger y-Wert der zugehörige Sinuswert am Einheitskreis (Länge der Gegenkathete) angetragen. Ist jeweils eine Umdrehung vollendet (x=2p ), wird die weitere Bogenlänge zur bisherigen dazu addiert.
Sinusfunktion – Erweiterung auf ganz ℝ Da die Funktionswerte wie oben gesehen nach einer Umdrehung wieder die bekannten alten Funktionswerte sind, gilt für die Erweiterung der Sinusfunktion über das Intervall [0,2] hinaus: sin(x+2k)=sin(x); kϵℤ Wir sagen dazu auch: Die Sinusfunktion hat die Periode(nlänge) 2 bzw. die Sinusfunktion ist 2-periodisch. Die Sinusfunktion hat den Definitionsbereich ℝ und den Wertebereich [-1,1]. Nullstellen der Sinusfunktion: sin(x)=0 x=k, kϵℤ Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch: sin(x)= – sin(–x)
Fortsetzung der Kosinusfunktion auf ganz ℝ Auf der x-Achse wird die jeweilige Länge des Kreisbogens (blau) und als zugehöriger y-Wert der zugehörige Kosinuswert am Einheitskreis (Länge der Ankathete FC im ΔFCP) angetragen. Ist jeweils eine Umdrehung vollendet (x=2), wird die weitere Bogenlänge zur bisherigen dazu addiert.
Kosinusfunktion – Erweiterung auf ganz ℝ Da die Funktionswerte wie oben gesehen nach einer Umdrehung wieder die bekannten alten Funktionswerte sind, gilt für die Erweiterung der Kosinusfunktion über das Intervall [0,2π] hinaus: cos(x+2πk)=cos(x); kϵℤ Wir sagen dazu auch: Die Kosinusfunktion hat die Periode(nlänge) 2π bzw. die Kosinusfunktion ist 2π- periodisch. Die Kosinusfunktion hat den Definitionsbereich ℝ und den Wertebereich [-1,1]. Nullstellen der Kosinusfunktion: cos(x)=0 x=1/2+k, kϵℤ Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch: cos(x)= cos (– x)
Ableitung (Steigung) der Sinusfunktion 𝑚= sin 𝑥 0 +ℎ −sin 𝑥 0 ℎ sin α −sin β =2cos α+β 2 ⋅sin α−β 2 ;α= 𝑥 0 +ℎ;β= 𝑥 0 𝑚= sin 𝑥 0 +ℎ −sin 𝑥 0 ℎ = 2 ℎ cos 𝑥 0 +ℎ+ 𝑥 0 2 ⋅sin 𝑥 0 +ℎ− 𝑥 0 2 =cos 2 𝑥 0 +ℎ 2 ⋅ sin ℎ 2 ℎ 2 =cos 𝑥 0 + ℎ 2 ⋅ sin ℎ 2 ℎ 2 Für h → 0 geht m → cos(x0) falls sin(h/2)/(h/2) → 1 geht. Untersuchung n. Folie
Grenzwert sin(x)/x Erstelle für das rechtwinkligen Dreieck ΔABC eine Formel für dessen Flächeninhalt mit Hilfe der Kenntnisse von sin(x) und cos(x). Erstelle für den Flächeninhalt des Kreissektors ADE eine Formel mit Hilfe der Flächenformel im Kreis. Bestimme die Seitenlänge DE mit Hilfe eines Strahlensatzes. Berechne mit Hilfe des Ergebnisses aus 3) den Flächeninhalt des Dreiecks ΔADE. Schreibe alle Ergebnisse der Größe nach geordnet als Ungleichheitskette. Es fehlt noch eine Gleichungsumformung. Schreibe die Ungleichheitskette für die Kehrwerte. Überlege, was passiert, wenn x gegen 0 geht.
Grenzwert sin(x)/x AΔABC = ½ sin(x) cos (x) AVollkreis = r² = ; Da nicht Vollkreis Faktor x/2 ;AKreissektors ADE = ½ x. DE : AD = BC : AB ; da AD = 1 gilt : DE = sin(x)/cos(x). AΔADE=½ sin(x)/cos(x) da g=AD=1. . Für x → 0 geht cos(x)→1. Also geht für x → 0 sin(x)/x auch → 1. 1 2 sin 𝑥 ⋅cos 𝑥 ≤ 1 2 𝑥≤ 1 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 ≤ 𝑥 sin 𝑥 ≤ 1 cos 𝑥 1 cos 𝑥 ≥ sin 𝑥 𝑥 ≥cos 𝑥
Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Für die Ableitung dieser beiden Funktionen gelten folgende Regeln: (sin(x))‘=cos (x); (cos(x))‘= – sin (x); Damit gilt für die Stammfunktionen: f(x)=sin(x); F(x)= – cos(x); f(x)=cos(x); F(x)=sin(x)
Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen Die Funktionen f und g sind differenzierbar und c ist eine reelle Konstante. Dann gelten folgende Ableitungsregeln: (c f(x))‘ = c f‘(x) (f(x)+g(x))‘=f‘(x)+g‘(x) (f(x)g(x))‘ = f‘(x)g(x)+f(x)g‘(x) f(g(x))=f‘(g(x))g‘(x) 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 ²
Beweise der Regeln (3; 5) Beweis der Produktregel: 𝑓′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 −𝑢 𝑥 0 𝑣 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 −𝑢 𝑥 0 𝑣 𝑥 +𝑢 𝑥 0 𝑣 𝑥 −𝑢 𝑥 0 𝑣 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑢 𝑥 −𝑢 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 𝑣 𝑥 + lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑣 𝑥 −𝑣 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 𝑢 𝑥 0 =𝑢′ 𝑥 0 𝑣 𝑥 0 +𝑢 𝑥 0 𝑣′ 𝑥 0 Beweis der Kettenregel: 𝑓′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑢 𝑣 𝑥 −𝑢 𝑣 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑢 𝑣 𝑥 −𝑢 𝑣 𝑥 0 𝑣 𝑥 −𝑣 𝑥 0 ⋅ 𝑣 𝑥 −𝑣 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 =𝑢′ 𝑣 𝑥 0 𝑣′ 𝑥 0 ;𝑑𝑎𝑣𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔𝑔𝑖𝑙𝑡: lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑣 𝑥 =𝑣 𝑥 0
Exponentialfunktion Beispiele: Zinseszinsaufgabe: Ein Kapital von 5000,-€ wird für 5 Jahre mit 0,5% Zinsen angelegt: Bakterienwachstum: Das menschliche Darmbakterium Escherichia coli hat unter Idealbedingungen in Laborkulturen eine Generationszeit von etwa 20 Minuten, d. h., dass sich die Anzahl der Bakterienzellen (beginnend bei 1) alle 20 Minuten verdoppelt. Allgemein: f(x)=a bx heißt Exponentialfunktion, da die abhängige Variable im Exponenten einer Potenz auftritt. Startkapital K0 bzw. a heißt der Anfangswert (f(0)=a da b0=1) 1+p/100 bzw b ist der Wachstumsfaktor Alle Exponentialfunktionen mit a=1 gehen durch den Punkt P( 0 | 1 ), da f(0)=b0=1 𝐾 𝑛 = 𝐾 0 ⋅ 1+ 𝑝 100 𝑛 =5000€ 1,005 5 =5126,26€ 𝐴 𝑡 =𝑎⋅ 𝑏 𝑡 =1⋅ 2 𝑡 20 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙in𝑡𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑛
Exponentialfunktion - Berechnungen Bestimmung eines y-Wertes zu einem vorgegebenen x-Wert Bestimmung eines x-Wertes zu einem vorgegebenen y-Wert Bestimmung des Wachstumsfaktors Bestimmung des Anfangswertes