Menger-Schwamm Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Würfel −→𝑛− ∞ log 𝑁𝑛 log ln log 20 log 3 Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Würfel in Stufe 1 unterteilt man jede Würfelfläche in 9 Quadrate, die den Würfel in 27 gleiche Würfel teilt von denen jeweils der Mittlerer der Flächen und der im Inneren entfernt werden es verbleiben 20 Würfel die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zuvor der Ausgangswürfel die so entstehende Figur hat eine „krumme Dimension“, die zwischen einer zwei- und dreidimensionalen liegt – die sogenannte Hausdorff- Dimension: D = die Oberfläche in Stufe n lässt sie durch folgende Formel beschreiben: On = bei n → ∞ ergibt sich eine Oberfläche von ∞ das Volumen in Stufe n lässt sich durch folgende Formel beschreiben: V = bei V → ∞ ergibt sich ein Volumen von 0 1 9 ⋅ 20 9 𝑛 −1 40+80⋅ 2 5 𝑛 20 27 𝑛 ⋅ 𝑎 3

Sierpinski-Tetraeder Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Tetraeder mit dreieckiger Grundfläche in Stufe 1 unterteilt man jede Tetraederfläche in 4 Dreiecke, die den Tetraeder in 5 gleiche Tetraeder teilt von denen jeweils der Mittlere der Flächen und der im Inneren entfernt werden es verbleiben 4 Tetraeder die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zuvor der Ausgangstetraeder die fraktale Dimension ist D = = 2! die Oberfläche in Stufe n lässt sie durch folgende Formel beschreiben: O = bei n → ∞ ergibt sich eine Oberfläche, die gleich bleibt das Volumen in Stufe n lässt sich durch folgende Formel beschreiben: V = bei V → ∞ ergibt sich ein Volumen von 0 log 4 log 2 𝑎 2 ⋅ 3 𝑎 3 12 ⋅ 2 ⋅ 1 2 𝑛

Sierpinski-Dreieck Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Dreieck in Stufe 1 unterteilt man das Dreieck in 4 gleiche Dreiecke, von denen das Mittlere entfernt wird es verbleiben 3 Dreiecke die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zuvor das Ausgangsdreieck die fraktale Dimension ist D = = 1,585 der Umfang in Stufe n lässt sie durch folgende Formel beschreiben: U = bei n → ∞ ergibt sich ein Umfang von ∞ der Flächeninhalt in Stufe n lässt sich durch folgende Formel beschreiben: A = bei A → ∞ ergibt sich ein Flächeninhalt von 0 log 3 log 3 3⋅ 3 2 𝑛 3 4 𝑛

Sierpinski-Teppich Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Quadrat in Stufe 1 unterteilt man das Quadrat in 9 gleiche Quadrate, von denen das Mittlere entfernt wird es verbleiben 8 Quadrate die in der 2 Stufe alle so behandelt werden wie zuvor das Ausgangsquadrat die fraktale Dimension ist D = ≈ 1,8928 der Umfang in Stufe n lässt sie durch folgende Formel beschreiben: U = 1 - - bei n → ∞ ergibt sich ein Umfang von ∞ der Flächeninhalt in Stufe n lässt sich durch folgende Formel beschreiben: A = 1 - - bei A → ∞ ergibt sich ein Flächeninhalt von 0 ln8 ln3 1 3 2 𝑖=1 𝑛−1 8 𝑖 ⋅ 1 3 𝑖 +1 1 3 2 𝑖=1 𝑛−1 8 𝑖 ⋅ 1 3 𝑖 +1 1 3 𝑖 +1 ²

Minkowski-Wurst 1 Ausgangsfigur in Stufe 0 ist eine Strecke in Stufe 1 wird die Strecke in 4 gleiche Teile geteilt, wobei das zweite Teilstück um ein Viertel der Gesamtlänge parallel zur Ausgangsstrecke nach oben verschoben wird und durch zwei rechtwinklig dazu stehenden Strecken, die jeweils so lang sind wie die Teilstücke selbst, mit den anderen Teilstücken verbunden wird; umgekehrt wird das dritte Teilstück nach unten verschoben in der 2 Stufe wird dies mit allen Teilstrecken der Stufe 1 wiederholt die fraktale Dimension ist D = ≈ 2,585 die Länge in Stufe n lässt sie durch folgende Formel beschreiben: L = bei n → ∞ ergibt sich eine Länge von ∞ log 6 log 2 2 𝑛

Koch'sche Schneeflocke Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Dreieck in Stufe 1 wird jede der Dreiecksseiten durch vier Strecken ersetzt die je ein Drittel der Länge der Dreiecksseiten haben und folgendermaßen angeordnet sind: Strecke – 60°-Winkel – Strecke – 120°-Winkel (in der Gegenrichtung) – Strecke – 60°-Winkel – Strecke; in der 2 Stufe werden alle entstandenen Strecken des Dreiecks so behandelt werden wie zuvor die Ausgangsseiten die fraktale Dimension ist D = ≈ 1,26 der Umfang in Stufe n lässt sie durch folgende Formel beschreiben: U = bei n → ∞ ergibt sich ein Umfang von ∞ der Flächeninhalt in Stufe n lässt sich durch folgende Formel beschreiben: A = = = bei A → ∞ ergibt sich ein Flächeninhalt von 2 log 4 log 3 4⋅ 5 3 𝑛 𝑛=0 ∞ 4 9 𝑛 1 1− 4 9 9 5

Pythagoras-Baum Ausgangsfigur in Stufe 0 ist ein Quadrat (= Stamm des Baumes) in Stufe 1 wird über diesem Quadrat ein Thaleskreis konstruiert und dann beliebig geteilt; aus den zwei Schenkeln werden wieder Quadrate konstruiert in der 2 Stufe werden auf den Oberseiten der entstandenen Quadrate erneut Thaleskreise konstruiert und wie bei Stufe 1 weiterbearbeitet Arbeitet man mit gleichseitigen Dreiecken entsteht ein symmetrischer Baum, bei nicht gleichseitigen ein in eine Richtung geneigter bemerkenswert ist, dass beim symmetrischen Baum in einer höheren Stufe ein Bild entsteht, dass einem realen (Laub-) Baum sehr nahe kommt lässt man die Dreiecke über dem Thaleskreis zufällig bestimmen, so entsteht das Abbild einer Tanne

Beispielrechnung Figur an der die Beispielrechnung gezeigt wird: Sierpinski-Dreieck Die zu brechende Beispielgröße ist der Flächeninhalt Der Flächeninhalt des Ausgangsdreiecks sei AO , die Seitenlänge 1d Da in Stufe 1 das Mitteldreieck ausgeschnitten wird, beträgt der Flächeninhalt nur noch AO In Stufe 2 werden die Mitteldreiecke der aus Stufe 2 verbliebenen Dreiecke ausgeschnitten; der Flächeninhalt beträgt noch = AO Setzt man für die jeweilige Stufe n ein, so erhält man die generelle Formel An = Lässt man n gegen ∞ streben, so nähert sich A einen Flächeninhalt von A → 0 3 4 3 4 ⋅ 3 4 9 16 3 4 𝑛

Beispielprogrammierung ein neues Programm wird gestartet mit zusätzlichen Befehlen für Schaubilder Def. einer Funktion, die sich immer wieder selbst aufruft (hier mit dem Namen Kochkurve > restart; with(plots): > kochkurve := proc(A,B,i,n) local A1, A2, A3, A4, A5, Plot1, Plot2, Plot3, Plot4, M; if i = n then pointplot([A,B], connect=true, scaling=constrained) Punkte A1 – A5 + M und Plot1 - Plot4 werden als Variablen eingeführt (Plots verbinden zwei Punkte zu einer Linie) die Bedingung i=n wird eingeführt und bei Erfüllung tritt das Ereignis der zweiten Zeile ein die momentane Stufe des Fraktales wird gezeichnet und auf dem Bildschirm angezeigt

Beispielprogrammierung wird die Bedingung i=n nicht erfüllt, soll tritt nachfolgendes Ereigniss ein else A1:=A; A2:=[2/3*A[1]+1/3*B[1], 2/3*A[2]+1/3*B[2]]; A3:=[0.5*A[1]+0.5*B[1]-1/6*sqrt(3)*(B[2]-A[2]), 0.5*A[2]+0.5*B[2]+1/6*sqrt(3)*(B[1]-A[1])]; A4:=[1/3*A[1]+2/3*B[1], 1/3*A[2]+2/3*B[2]]; A5:=B; Plot1:=kochkurve(A1,A2,i+1,n); Plot2:=kochkurve(A2,A3,i+1,n); Plot3:=kochkurve(A3,A4,i+1,n); Plot4:=kochkurve(A4,A5,i+1,n); M:=Plot1,Plot2,Plot3,Plot4; end if; end proc: über die Fixpunkte A1 und A5 werden die Punkte A2 – A4 berechnet mit Plot1 – Plot4 werden die Punkte A1 – A5 zu einer zusammenhängenden Linie verbunden jetzt wird das Ereignis beendet, zu i wird 1 dazu gezählt und es wird erneut die Bedingung i=n überprüft

Beispielprogrammierung die Punkte A(A1), B(A5)und C(A3), sowie die Konstante i werden vorgegeben > A:=[0,0]: B:=[1,0]: C:=[1/2*sqrt(3)] i:=0: n:=3: display(kochkurve(A, B, i,n),kochkurve(C,A,i,n), kochkurve(B,C,i,n),axes=none); über den Wert n bestimmt man die wann die Bedingung i=n erfüllt ist und somit die wievielte Stufe des Fraktales gezeichnet wird Befehl, mit dem das Fraktal gezeichnet wird

Beispielprogrammierung in diesem Beispiel war n=3 →das Fraktal wird in der Stufe 3 gezeichnet (da i dreimal um 1 erhöht werden muss damit i=n erfüllt ist) fertiges Fraktal