Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I Themen: Statistik Dichtefunktionen Jährliche und partielle Serien Trendanalyse Extremwertstatistik Typen von Verteilungsfunktionen

Lehrziele der Veranstaltung erschaffen bewerten analysieren anwenden Sie wenden geeignete Verteilungsfunktionen für die Auswertung an. Sie verstehen den Einfluss von Ausreißern auf die Extremwert-statistik. verstehen Sie verstehen die prinzipielle Vorgehensweise bei der Extremwert-statistik für Hochwasserabflüsse. erinnern Sie kennen die grundlegenden Annahmen der (hydrologischen) Statistik.

Basisansatz Basisansatz, Hypothese: 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑇(𝑡) + 𝑦𝑃(𝑡) + 𝑦𝑘𝑜𝑟𝑟(𝑡) + 𝑧(𝑡) Vorgehensweise: Trennung der Komponenten Zufallsanteil korrelativer Anteil periodischer Anteil Trendanteil y(t) z(t) y(t) - yT(t) y(t) - yT(t) - yP(t) yT(t) yP(t) ykorr(t) Regressionsanalyse Glättung (Bildung von Gleitmitteln) Harmonische Analyse Fourieranalyse Glättung (Mittelbildung unter Berücksichtigung der Periode) Autokorrelations-analyse

Haufigkeitsermittlung Klassen-einteilung t Q[m³/s] Zeitraster 2 3 1 Häufigkeit 2 1 3 4

Ermittlung der DichtefunktionErmittlung der Dichtefunktion 1 Häufigkeit 1 1 1 1 2 3 2 4 3 2 3 2 Dichtefunktion 2 3 1 4 Häufigkeit (relativ) Häufigkeit (absolut) 0,038 0,154 0,077 0,115

Abflussganglinie

Dichtefunktionen

Verteilungsfunktionen

Abflüsse unterschiedlicher Wiederkehrintervalle

Vorgehensweise bei der statistischen Analyse Plausibilisierung der Eingangsdaten (Prüfung auf Vollständigkeit / Fehlzeiten, Test auf Ausreißer) Trendprüfung (+ gegebenenfalls Trend bereinigen) Anwendung der Extremwertstatistik (mit Parameteranpassung bei Zugrundlegung der jährlichen (oder partiellen) Serie) Angabe der Bandbreite für die Extremwert HQx

Trend Tendenz Sprung

Trendbehaftete Zeitreihe Q [m³/s] Die Eingangs-informationen für extremwert-statistische Auswertungen dürfen keinen Trend aufweisen Trendbereinigung t [Jahre] In diesem Fall ergibt die Prüfung einen linearen Trend; die Messwerte müssen von diesem Trendanteil bereinigt werden.

Jährliche Serie N [mm] t => jährliche Serie [Monate, Tage, Stunden,] t 1 Jahr => jährliche Serie Eingang in die Berechnung findet jeweils der größte Wert pro Jahr

Partielle Serie N [mm] t => partielle Serie [Monate, Tage, Stunden,] t 1 Jahr => partielle Serie Eingang finden die n größten Werte pro Jahr (n = 2 oder 3)

Extremwertstatistik Als Eingangswerte für extremwertstatistische Berechnungen werden die maximalen Abflüssen eines jeden Jahres (jährliche Serie) verwendet. In diesem Fall umfasst die Serie 27 Jahre.

Zeitreihe der jährlichen Serie Die Reihe der Messwerte weist Fehljahre auf. Dies kann beispiels-weise durch Ausfall der Messeinrichtung auftreten oder durch fehlerbehaftete Daten. Fehlzeiten werden durch besondere Werte gekennzei-chnet.

Trendanalyse Bevor eine extrem-wertstatistische Berechnung durch-geführt werden darf, muss eine Trend-analyse erfolgen. Trendbehaftete Messreihen verstoßen gegen die Grund-annahmen der Extra-polation.

Test der Verteilungsfunktion In einem ersten Schritt wird für die verschiedenen Verteilungsfunktionen die Parameter-anpassung überprüft. In diesem Fall sind es die Verteilungen: Log-Normal [LN3] Pearson3 [P3] Weibull [WB3] Die drei Verteilungs-funktionen mit den besten Kriterien für die Parameteranpassung werden für die weitere Bearbeitung vorgeschla-gen.

Parameter der Verteilungsfunktion Für die unterschiedlichen Verteilungen werden Prüfgrößen und Qualitätskennwerte ausgewiesen.

Ergebnisse der Extremabflüsse Die verschiedenen Verteilungsfunktionen liefern als Ergebnis eine Spannweite der extremen Abflüsse. In diesem Fall liegt der Abfluss für das 50-jährige Ereignis HQ50 zwischen 217 und 223 m³/s.

Graphische Darstellung der Extrapolationsergebnisse Die verschiedenen Verteilungsfunktionen differieren bei kleinen Wiederkehrintervallen kaum. Das Streumaß nimmt jedoch deutlich mit größerem Wieder-kehrintervall zu. Der grau hinterlegte Bereich gibt die-jenigen Wiederkehr-intervalle an, die außerhalb des be-legten Extrapolations-bereichs liegen. (3x21=63 Jahre)

Sensitivität der Verteilungen Um den Einfluss einzelner Messwerte auf das Ergebnis der Extrapolation statistisch zu ver-deutlichen wird hier ein Beispiel aus-geführt. Es wird lediglich der größte Wert der jährlichen Serie abgeändert (von 238 auf 300m³/s) und der gesamte Vorgang wiederholt.

Sensitivität der Verteilungen Die Anpassung der Verteilungsfunktionen ergibt bereits erste Abweichungen. Nunmehr sind die Extremalverteilung vom Typ 1 [E1] und die allgemeine Extremalwertver-teilung [AE] am besten geeignet zur Anpassung an die Messreihe.

Sensitivität der Verteilungen Die Ergebnisse der Extremabflüsse weichen deutlich von der ersten Berechnung ab. Originalwerte Das HQ50 wäre in diesem Fall in einer Größenordnung von 231-261m³/s anzusetzen.

Sensitivität der Verteilungen Das Streumaß der Ergebnisse ist in diesem Fall ebenfalls deutlich größer als bei der Ursprungsreihe. Dieser einfache Test verdeutlicht, wie groß der Einfluss einzelner, großer Messwerte auf die extremwert-statistische Auswertung ist. Deshalb sind immer Ausreißertests vor der Auswertung durchzuführen.

Normalverteilung

Lognormalverteilung

Exponentialverteilung

Gamma-Verteilung

Pearson Typ3 Verteilung

Log Pearson Typ3 Verteilung

Extremal Verteilung

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