Mathematik 10

1. Zuordnung 1.1. Definitionen Besteht zwischen den Objekten einer Ausgangsmenge und denen einer Zielmenge ein inhaltlicher Zusammenhang (Verbindung), so nennen wir diesen nicht nur in der Mathematik eine Zuordnung (Relation). Beispiele: Deutsche Vokabel → französische Vokabel Alter einer Person → Körpergröße Person → Fingerabdruck Die Ausgangsmenge nennt man Definitionsbereich, die Zielmenge Wertebereich. Eine Zuordnung ist eindeutig, wenn jedem Objekt der Definitionsmenge nicht mehr als ein Objekt der Wertemenge zugeordnet wird. Eine eindeutige Zuordnung nennt man Funktion oder Abbildung. Das Beispiel Vokabeln ist keine eindeutige Zuordnung: Haus → maison, habitation Das Beispiel Körpergröße ist nur dann eindeutig, wenn ich hinreichend genaue Bedingungen formuliere (z.B. Mittelwert eines Jahres). Der Fingerabdruck einer Person ist eindeutig, obwohl es vielleicht auch Personen mit dem gleichen Fingerabdruck gibt. Die Zuordnung Fingerabdruck → Person (Umkehrabbildung) ist also vmtl. nicht eindeutig.

1.2. Darstellungsmöglichkeiten Zuordnungs- bzw. Funktionsbeschreibung Alter einer Person →Körpergröße Wertetabelle Venndiagramm Koordinatensystem Zuordnungs- bzw. Funktionsvorschrift (Term) x →x² Funktionsgleichung f(x) = x²; y(x) = x² x1 y1 y2 x2 y3

1.3. Ganzrationale Funktionen Summendarstellung (Polynom, vielgliedrige Summe) f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0; ai ∈ R; n ∈N n nennen wir den Grad der Funktion ai nennen wir die Koeffizienten von xi Nullstellen (f(x) = 0) n = 1, lineare Funktion (Gerade) s. f(x)=mx+b = 0 n = 2, quadratische Funktion (Parabel) p/q-Formel n = 3, a0 = 0, ausklammern von x, weiter wie n = 2 Sonst, falls eine Nullstelle bekannt, Polynomdivision [:(x- x0)] n gerade und nur gerade Exponenten, Substitution oder falls Nullstelle bekannt, Polynomdivision

1.4. Grenzwerte 1.4.1. Folgen Eine Funktion, deren Definitionsbereich die natürlichen Zahlen (ℕ oder ℕ0 ) sind, nennen wir eine Folge. f(n)=an nennen wir das n-te Glied der Folge f=(an). Die allgemeine Angabe, wie ein Folgeglied berechnet wird, nennen wir rekursive Darstellung, wenn wir mitteilen, wie ein Folgeglied aus dem vorherigen berechnet wird. (z.B. un-1 = 2 un). Dann müssen wir zusätzlich erklären, wie die Folge beginnt (z.B. a0= 3). Die allgemeine Angabe in der Form einer Funktionsvorschrift nennen wir explizite Darstellung (z.B. an = 3 ∙ 2n). Mit ihr lassen sich auch Folgenglieder für hohe n berechnen, ohne dass man alle dessen Vorgänger berechnen müsste.

1.4.2. Monotonie und Beschränktheit Für eine Folge gelten folgende Eigenschaften: Sie ist monoton steigend ⇔ an+1 ≥ an Sie ist streng monoton steigend ⇔ an+1 > an Sie ist monoton fallend ⇔ an+1 ≤ an Sie ist streng monoton fallend ⇔ an+1 < an Beschränktheit Sie ist nach oben beschränkt ⇔ an ≤ S (obere Schranke) Sie ist nach unten beschränkt ⇔ an ≥ s (untere Schranke) Eine beschränkte Folge ist nach unten und oben beschränkt. Diese jeweiligen Ungleichungen müssen für jedes beliebige n∈D gelten.

1.4.3. Grenzwert einer Folge Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge an, wenn gilt: ∀ ∃ ∀ | an – g | < ε ε>0 n0∈ℕ n>n0 Anschaulich bedeutet diese Definition, dass in jedem noch so schmalen Streifen um einen Grenzwert g herum, ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren trotzdem in diesem Streifen liegen. Eine Folge, die einen Grenzwert hat, nennen wir konvergent, wenn sie keinen Grenzwert hat, nennen wir sie divergent. Wir schreiben: lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 =𝑔

1.4.4. Grenzwerte von verknüpften Folgen Es gelten die folgenden Grenzwertsätze: Summe von Folgen Differenz von Folgen Produkt von Folgen Quotient von Folgen lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 + lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 − lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 ⋅ 𝑏 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 ⋅ lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 : 𝑏 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 : lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛

1.4.5. Grenzwert einer Funktion Wir sagen, eine Funktion konvergiert gegen einen Wert g, wenn für jede x-Wertfolge xn ∈D, die gegen einen Wert x0 oder gegen ±∞ konvergiert, die durch f zugeordnete y- Wertfolge (Bildfolge) f(xn) gegen g konvergiert. Wir schreiben: Da der Grenzwert von Funktionen auf den von Folgen zurückgeführt wird, gelten die Grenzwertsätze auch für verknüpfte Funktionen. lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝑔 lim 𝑥→±∞ 𝑓 𝑥 = 𝑔

2. Differenzialrechnung 2.1. Sekantensteigung - Differenzenquotient Da die Sekante g von f eine Gerade ist, lässt sich deren Steigung m aus den Punkten S1( x1 | y1 ),S2( x2 | y2 ) berechnen, wo diese Sekante die Funktion schneidet. Diesem Wert m nennen wir auch die mittlere Änderungsrate oder mittlere Steigung der Funktion f im Bereich zwischen S1 und S2 ( im Intervall [ S1 ; S2 ] ). Den Term auf der rechten Seite nennt man auf Grund der benötigten Rechenarten Differenzenquotient. 𝑚 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

2.2. Tangentensteigung - Grenzwert des Differenzenquotienten Die Steigung des Graphen der Funktion im Punkt S1( x1 | y1 ) bekommen wir nun, wenn wir mit dem dem zweiten Punkt S2 unendlich nahe an S1 heranrücken. Das erledigen wir algebraisch mit Hilfe eines Grenzwertprozesses: 1. Möglichkeit: „x-Methode“: S2( x2 | y2 ) 2. Möglichkeit: „h-Methode“: S1( x1 | y1 ),S2(x1+h|f(x1+h)), h→0 𝑚 = lim 𝑥 2 → 𝑥 1 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = lim 𝑥 2 → 𝑥 1 𝑓 𝑥 2 −𝑓 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑚 = lim ℎ→0 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 1 +ℎ −𝑓 𝑥 1 𝑥 1 +ℎ− 𝑥 1 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 1 +ℎ −𝑓 𝑥 1 ℎ

2.2. Animation h-Methode für f(x)=x², P(0,5|0,25)

2.3. Differenzierbarkeit und Ableitung Daher definiert man für eine auf einem Intervall I definierte Funktion f und für ein beliebiges x0ϵI: Eine Funktion heißt an einer Stelle x0 differenzierbar, wenn der Differenzenquotient für x→x0 einen Grenzwert besitzt. Den Grenzwert nennt man Ableitung von f an der Stelle x0 und schreibt dafür kurz f'(x0). 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0

2.4. Ableitungsfunktion Da wir dies aber für alle Punkte P(x0|f(x0)) mit x0ϵI (d. h. „meist für alle Werte des Definitionsbereiches von f “) durchführen können, betrachtet man diese Zuordnung: x-Wert des Punktes P ----> Ableitung (Steigung) der Funktion f als neue Funktion (Ableitungs-/Steigungsfunktion von f) und bezeichnet diese mit f'(x).

2.4. Ableitungsfunktion f(x) = x² In der nebenstehenden Animation wurde für x0 im Intervall [ -3 ; 3 ] der Differenzenquotient für dy = 0,1 berechnet und die Ergebnisse als Punkte ( x0 | m(x0) ) rot eingetragen. Man sieht hier schon recht deutlich: Für f(x)=x² ist f'(x)=2x

2.5. Auf zur Potenzregel Also gilt: (x²)' = 2 x Für f(x) = x² gilt für alle x0 ∈ℝ Da x nur unendlich nahe an x0 heranrückt bleibt immer x – x0 ≠ 0, so dass wir hier kürzen dürfen. Also gilt: (x²)' = 2 x Für f(x) = xn gilt für alle x0 ∈ℝ Der Faktor n kommt daher, dass die Summe n Summanden enthält. Also gilt: (xn)' = n xn-1 𝑓′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑦− 𝑦 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥 2 − 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 𝑥+ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥+ 𝑥 0 =2 𝑥 0 𝑓′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑦− 𝑦 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥 𝑛 − 𝑥 0 𝑛 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑥 0 +...+ 𝑥 0 𝑛−1 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑥 0 +...+ 𝑥 0 𝑛−1 = 𝑥 0 𝑛−1 + 𝑥 0 𝑛−2 𝑥 0 +...+ 𝑥 0 𝑛−1 = 𝑛 𝑥 0 𝑛−1

2.6.1. Berechnung einer Tangente Da die Tangente g eine Gerade ist gilt: g(x)= m x + c Mit dem Punkt P( x1 | y1 ), wo die Tangente die Funktion berührt, läßt sich m und c berechnen. m = f'( x1 ) Mittels Einsetzen einer der beiden Punktkoordinaten lässt sich c berechnen. y1 = mx1+c ; c = y1 - mx1

2.6.2. Berechnung einer Normale Da die Normale g eine Gerade ist gilt: n(x)= m x + c Mit dem Punkt P( x1 | y1 ), wo die Normale die Funktion berührt, läßt sich m und c berechnen. m = -1 / f'( x1 ) Mittels Einsetzen einer der beiden Punktkoordinaten lässt sich c berechnen. y1 = mx1+c ; c = y1 - mx1

2.7. Extrema Einen Punkt auf dem Funktionsgraph, der in der unmittelbaren Umgebung entweder nur Punkte mit kleineren bzw. größeren y-Werten hat nennen wir Extremum. Im ersten Fall nennen wir diesen Punkt ein Maximum, im zweiten Fall ein Minimum. Maximum x x Minimum

2.7.1. Notwendige Bedingung Wie man sieht, ist es für ein Extremum unbedingt notwendig, dass an einer solchen Stelle xe die Tangente waagerecht verlaufen muss, d. h.: f'(xe) = 0 Das bedeutet, dass man Extrema jeder Funktion finden kann, indem man die erste Ableitung der Funktion auf Nullstellen untersucht.

2.7.2. Hinreichende Bedingung Da es auch sein kann, dass trotz Nullstelle der ersten Ableitung (waagerechte Tangente) kein Extremum vorliegt (Sattelpunkt) („der Graph legt kurzzeitig im Anstieg und Fallen eine Pause ein“), benötigen wir eine weitere Bedingung, z. B.: Die Steigung der Funktion wechselt in unmittelbarer Umgebung der Stelle des Extremums von steigend auf fallend (Maximum) bzw. von fallend auf steigend (Minimum). In der Praxis reicht uns hier der Test von zwei Werten, einmal knapp links bzw. das zweite Mal knapp rechts der vermuteten Stelle.

2.8. Krümmungsverhalten Da die zweite Ableitung f''(x) die erste Ableitung der Steigung ist, gibt sie also an, ob die Steigung eines Funktionsgraphen ansteigt oder abnimmt, bzw. ob das Fallen einer Funktion ansteigt oder abnimmt. Das kann man sich an Hand von Tangenten verdeutlichen. Das bedeutet: Ist f''(x) < 0, so ist die Funktion rechtsgekrümmt, ist f''(x) > 0, so ist die Funktion linksgekrümmt.