Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zum Begriff WAHRSCHEINLICHKEIT Die Wahrscheinlichkeit ist ein mathematisches ein Maß für die Sicherheit bzw. Unsicherheit für ein Ereignis, das in der Zukunft liegt. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten zu. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E wird mit P(E) angegeben. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E ist immer eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0% und 100%. Wahrscheinlichkeit = Maß für Erwartung P(E) = 1 = 100 % Ereignis tritt ganz sicher ein P(E) = 0 = 0 % Ereignis tritt ganz sicher ein Je größer die Wahrscheinlichkeit P(E), umso "eher" ist anzunehmen, dass dieses Ereignis tatsächlich eintritt..

Wichtige Begriffe Zufallsexperiment Versuch, der unter genau festgelegten Bedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang hat. Beispiele: Werfen eines Würfels, Ziehen einer Karte, Auswahl einer Person aus einer Gruppe, Ziehen von Kugeln aus einer Urne, ... Ergebnis 𝝎 eines Zufallsexperimentes Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperimentes Beispiel: Beim Werfen eines Würfels sind die möglichen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 Ergebnismenge 𝛀 eines Zufallsexperimentes Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes Beispiel: Beim Werfen eines Würfels Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} Ereignis E: Jede Teilmenge der Ergebnismenge Beispiel: Beim Werfen eines Würfels kann das Ereignis E =„Die gewürfelte Zahl ist gerade“ betrachtet werden. 𝐸={2, 4, 6}

Wahrscheinlichkeit als intuitives Empfinden, als subjektives Vertrauen In der Praxis steht man häufig vor der Situation, dass eine Wahrscheinlichkeit angegeben werden muss (Medien, Versicherungen), ohne sich auf Erfahrungswerte oder Berechnungen stützen zu können. Einschätzungen von Experten sind subjektiv und können sehr danebenliegen, sind aber dennoch wertvoll, da nur die Experten alle verfügbaren Informationen einbeziehen können und ihre Einschätzung auch revidieren können, wenn neue Informationen auftauchen. Allerdings können Personen auch entgegengesetzter Ansicht sein. Außerdem ist das Ergebnis manchmal auch gar nicht zu verifizieren.

Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit Simon A. Eugster https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thumbtacks_color.jpg#/media/File:Thumbtacks_color.jpg Ereignis E: "Der Reißnagel liegt mit der Spitze nach oben." Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(E)? Durch eine Versuchsserie lässt sich das Ergebnis abschätzen Als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E kann man) die relative Häufigkeit von E bei n Versuchen nehmen. 𝑷 𝑬 ≈ 𝒉 𝒏 (𝑬)

Empirisches Gesetz der großen Zahlen Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird. Je öfter der Versuch durchgeführt wird, desto besser ist die relative Häufigkeit eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Von Jörg Groß - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7713772

Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil Österreich 8.700.471   Salzburg 545.815 Burgenland 291.011 Steiermark 1.232.012 Kärnten 560.482 Tirol 739.139 Niederösterreich 1.653.691 Vorarlberg 384.147 Oberösterreich 1.453.948 Wien 1.840.226 Bevölkerung zu Jahresbeginn nach Bundesland 2016 Q: STATISTIK AUSTRIA, Statistik des Bevölkerungsstandes. Erstellt am 08.02.2017. Quelle: http://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/bevoelkerung/bevoelkerungsstand_und_veraenderung/bevoelkerung_zu_jahres-_quartalsanfang/index.html Für eine Umfrage werden Personen zufällig ausgewählt: Wie wahrscheinlich ist es, dass eine zufällig ausgewählte Person in Wien lebt? 𝑃 𝐸 = 1 840 226 8 700 471 =0,2115=21,15%

Laplace'sche Wahrscheinlichkeit Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace lautet: 𝐏 𝐄 = 𝐀𝐧𝐳𝐚𝐡𝐥 𝐝𝐞𝐫 𝐠ü𝐧𝐬𝐭𝐢𝐠𝐞𝐧 𝐄𝐫𝐠𝐞𝐛𝐧𝐢𝐬𝐬𝐞 𝐟ü𝐫 𝐝𝐚𝐬 𝐄𝐫𝐞𝐢𝐠𝐧𝐢𝐬 𝐄 𝐀𝐧𝐳𝐚𝐡𝐥 𝐝𝐞𝐫 𝐦ö𝐠𝐥𝐢𝐜𝐡𝐞𝐧 𝐄𝐫𝐠𝐞𝐛𝐧𝐢𝐬𝐬𝐞   Voraussetzung: alle einzelnen Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich.

Laplace'sche Wahrscheinlichkeit  Beispiel 1 In einer Schulklasse gibt es 15 Mädchen und 10 Buben. Ein Kind wird zufällig ausgewählt. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen ausgewählt wird? 𝑷 Mädchen = 𝟏𝟓 𝟐𝟓 =𝟎,𝟔=𝟔𝟎%

Laplace'sche Wahrscheinlichkeit Beispiel 2 In einer Urne sind 12 rote und 4 grüne Kugeln. Eine Kugel wird gezogen. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein grüne Kugel gezogen wird? 𝑷 grün = 𝟒 𝟏𝟔 =𝟎,𝟐𝟓=𝟐𝟓%

2017 Herwig Födermayr Musik: "Funky Chunk” Kevin MacLeod (incompetech.com) Licensed under Creative Commons: By Attribution 3.0 License http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/