Fachrichtung 6.1 Mathematik Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik Professor Dr. Anselm Lambert Vorbereitungsseminar zum fachdidaktischen Praktikum APO 2003 Aufgaben im Mathematikunterricht Aufgabenvariation Sommersemester 2010 Referenten: Andreas Woll & Christian Bohnenberger

Inhaltsverzeichnis 1) Unterschied geschlossene vs. offene Aufgabe 2) Variationsstrategien 3) Aufgabenbeispiele 4) Unterrichtsverlauf nach Schupp 5) Diskussion und Fazit

1) Unterschied geschlossene vs. offene Aufgabe

Geschlossene Aufgaben  Lösungsweg ist vorgegeben  es gibt nur eine eindeutige Lösung  algorithmisch vgl. Büchter & Leuders 2005, 88f.

1) Unterschied geschlossene vs. offene Aufgabe Folgen geschlossener Aufgaben  Sätze werden auswendig gelernt, um damit Aufgaben schematisch durchzurechnen  Aufgaben erscheinen nur im Kontext Schule wichtig  Sinn bestimmter Verfahren geht verloren  keine Authentizität, wenn offene Aufgabentypen fehlen Vgl. Büchter & Leuders 2005, 89.

1) Unterschied geschlossene vs. offene Aufgabe Offene Aufgaben  mehrere Lösungswege  Ergebnis ist unbekannt  nicht immer eindeutige Lösung  Authentizität vgl. Büchter & Leuders 2005, 88.

1) Unterschied geschlossene vs. offene Aufgabe Folgen offener Aufgaben  Alltagsbezug  Kreativität wird gefördert  Intensität der Auseinandersetzung mit den Aufgaben wird erhöht (verschiedene Lösungen) Vgl. Büchter & Leuders 2005, 90.

1) Unterschied geschlossene vs. offene Aufgabe Aufgabe: Berechne die Fläche Australiens? Beispiel für eine offene Aufgabe:

2) Variationsstrategien

a) Geringfügig Ändern („Wackeln“) Beispiel 1: Addiere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen. Was kannst du feststellen? Variation: Addiere zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen! Was kannst du feststellen?

2) Variationsstrategien a) Geringfügig Ändern („Wackeln“) Beispiel 2: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 2x – 8. Variation: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 4x – 8.

2) Variationsstrategien b) Analogisieren („Ersetzen“ bzw. „Ändern“ (von Bedingungen) Beispiel 1: Addiere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen. Was kannst du feststellen? Variation: Multipliziere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen! Was kannst du feststellen?

2) Variationsstrategien b) Analogisieren („Ersetzen“ bzw. „Ändern“ (von Bedingungen) Beispiel 2: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 2x – 8. Variation: Man bestimme die Extrempunkte der quadratischen Funktion x² + 2x – 8.

2) Variationsstrategien c) Verallgemeinern („Weglassen“ (von Bedingungen)) Beispiel 1: Addiere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen. Was kannst du feststellen? Variation: Addiere n aufeinander folgende natürliche Zahlen! Was kannst du feststellen?

2) Variationsstrategien c) Verallgemeinern („Weglassen“ (von Bedingungen)) Beispiel 2: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 2x – 8. Variation: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + bx + c.

2) Variationsstrategien d) Spezialisieren („Hinzufügen“ (von Bedingungen)) Beispiel 1: Addiere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen. Was kannst du feststellen? Variation: Addiere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen, von denen die erste gerade ist! Was kannst du feststellen?

2) Variationsstrategien d) Spezialisieren („Hinzufügen“ (von Bedingungen)) Beispiel 2: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 2x – 8. Variation: Man bestimme die positiven Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 2x – 8.

2) Variationsstrategien e) Umkehren („Richtung wechseln“) Beispiel 1: Addiere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen. Was kannst du feststellen? Variation: Bestimme drei Zahlen, deren Summe durch 3 teilbar ist.

2) Variationsstrategien e) Umkehren („Richtung wechseln“) Beispiel 2: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 2x – 8. Variation: Finde weitere quadratische Funktionen mit diesen Nullstellen.

2) Variationsstrategien f) Kontext ändern („Rahmen wechseln“) Beispiel 1: Addiere drei aufeinander folgende natürliche Zahlen. Was kannst du feststellen? Variation: Man bestimme drei positive Zahlen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der drei Zahlen durch 3 teilbar ist?

2) Variationsstrategien f) Kontext ändern („Rahmen wechseln“) Beispiel 2: Man bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion x² + 2x – 8. Variation: Man bilde das Quadrat einer natürlichen Zahl. Anschließend addiere man das Doppelte dieser Zahl dazu und subtrahiere von der Summe 12. Die Gesamtsumme ergibt nun -4. Finde eine Zahl, die diese Bedingung erfüllt.

3) Aufgabenbeispiele

Aufgabe 1: Der Uhrzeiger Wie viele Umdrehungen macht der Sekundenzeiger einer Uhr an einem Tag? Schupp 2002, 173ff.

3) Aufgabenbeispiele Aufgabe 2: Das Drahtmodell Aus Draht soll ein Quader hergestellt werden, der 15cm lang, 8cm breit und 4cm hoch ist. Wieviel Draht braucht man dazu? Schupp 2002, 79ff.

3) Aufgabenbeispiele (optional) Aufgabe 3: Riesenrad Der Durchmesser des Wiener Riesenrades im Prater beträgt 61 m. a) Wie viel m legt ein Tourist in einer Gondel bei einer Umdrehung des Riesenrades zurück? b) Angabe in einem Prospekt: Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde. Wie lange braucht das Riesenrad für eine Umdrehung (ohne Halt)? (eingesehen am :40)

4) Unterrichtsverlauf nach Schupp

a) Vorstellung der Initialaufgabe und Lösung der Aufgabe im Plenum auf verschiedene Arten (10min) b) Schüler variieren die gelöste Aufgabe (15min) c) Sammeln der Variationsvorschläge der Aufgabe (20min) d) Analyse (Strukturierung und Bewertung) der Vorschläge im Plenum (5min) e) Aufteilen variierter Aufgaben in der Klasse f) Lösung der variierten Aufgaben (15min) g) Vorstellung der Lösungen (20min) vgl. Schupp 2002, (Zeitangaben für Seminarsitzung)

5) Diskussion und Fazit

Literaturverzeichnis Schupp: Thema mit Variationen Aufgabenvariation im Mathematikunterricht, Hildesheim 2002 Büchter&Leuders: Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern – Leistung überprüfen, bayreuth.de/module/modul_1weiterentwicklung_der_aufgabenkultur/ thema_mit_variationen/variation_einer_aufgabe/strategien.html (eingesehen am :19) bayreuth.de/module/modul_1weiterentwicklung_der_aufgabenkultur/ thema_mit_variationen/variation_einer_aufgabe/strategien.html augsburg.de/prof/dida/studium/lehre/ss09/lesewa_lehren_lernen/ma terial/vorlesung_4_lesewa.pdf (insbesondere Folie 29 und 30) (eingesehen am :43) augsburg.de/prof/dida/studium/lehre/ss09/lesewa_lehren_lernen/ma terial/vorlesung_4_lesewa.pdf magdeburg.de/reports/2007/TechReportLeneke2007.pdf (eingesehen am :56) magdeburg.de/reports/2007/TechReportLeneke2007.pdf