Solution of the exercise for assignment a) The deviation is in the unstable regime beyond capacity (compare attached figure). As a consequence the validity range is restricted to traffic volumes q<Cap. Triptime T trip Traffic volume stable part q<Cap unstable q>Cap

(b) (1) federal freeway: T1=60(1+0.2(q/5400veh/h) 4 ) min (2) elevated expressway: T2=50(1+0.35(q/5100veh/h) 4 ) min T1(5000) = 60(1+0.2(5/5.4)4) min = 68.8 min T2(5000) = 50(1+0.35(5/5.1)4) min = 66.2 min The elevated expressway wins and all trips are assigned to that highway!

(c) slice 1 = 2500 veh/h: T1(2500) = 60(1+0.2(2.5/5.4) 4 ) min = 60.6 min T2(2500) = 50(1+0.35(2.5/5.1) 4 ) min = 51.0 min The elevated expressway wins the slice 1! slice 2 = 1500 veh/h: T1(1500) = 60(1+0.2(1.5/5.4) 4 ) min = 60.1 min T2(4000) = 50(1+0.35(4/5.1) 4 ) min = 56.6 min The elevated expressway wins also slice 2!

(c) cont’d slice 3 = 1000 veh/h: T1(1000) = 60(1+0.2(1/5.4) 4 ) min = 60.0 min T2(5000) = s.a. = 66.2 min The federal freeway wins slice 3! The final result of the successive assignment is: 4000 veh/h are assigned to the elevated expressway and 1000 veh/h are assigned to the federal freeway, which is more realistic than the result of part (b).

Traffic flow description

Traffic volume Traffic density Mean speed UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK time number density traffic flow flow = density · speed measured number of vehicles k N=k·l ΔN=k·v· Δt k·vk·v measurement site

Traffic Flow Parameters –Time gap, Time distance, time headway  t [s] time differences between the passing of the reference points of vehicles following each other of a vehicle stream at a cross similar point of reference of following vehicles section Gross time headway, gross time gap [s] (for instance: front bumper to front bumper) Net time headway, net time gap [s] Point of reference trailing edge of vehicle ahead to front edge of following vehicle –Gap, distance  x [m] distance between two following vehicles of a vehicle flow at one time Can be used to calculate: –Traffic volume q respectively traffic flow J, for example [veh/s], [veh/h] number of vehicles per time unit at a cross section –Traffic density k, for example [veh/m], [veh/km] number of vehicles per road section at a certain point in time (difficult to measure)

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) First measurement for the fundamental diagram by Greenshields (1934) Kühne, Verkehrsablauf an SBA, Uni Innsbruck

moment and local averages UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK moment average local average radar km/h

construction of local and moment averages in the distance time plane UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK

Quelle: B. Greenschields: The photographic method of studying traffic behavior; Proc. 13. Annual Meeting Highway Research Board 1934

Camera with Motor Attachment Quelle: B. Greenschields: The photographic method of studying traffic behavior; Proc. 13. Annual Meeting Highway Research Board 1934

Speed Density Relation V(k)

The first Fundamental Diagram as v-q Diagram

flow-density- relation for pedestrian- streams UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK flow on walkway Traffic density working traffic

fundamental- diagram stairways UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK

v-q relation on freeways without speed limit UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK speed km/h traffic volume veh/h speed volume relation - only stable part two lane carriage way truck portion three lanes

Traffic control by variable speed limits A9 München Nord UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Verkehrsleittechnik Strecke als Regelkreis

v-q relations on freeways with speed limits UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK total traffic volume per direction [veh/h] mean speed pass. cars [km/h] 2 lanes 3 lanes constr’

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Speed Density Relation Including Different Speed Limits Verkehrsleittechnik Verkehrsdatenaufbereitung

Text UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Weiterer Text with traffic control without traffic control q [veh/min] Vpc [km/h] comparison of 2 q-v-diagrams from 1 minute intervals [A9 München – Holledau, Zeitraum , i.e measurement values] Kühne, Verkehrsablauf an SBA, Uni Innsbruck

Standard deviation of speed distribution and mean speed with and without traffic control system UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Verkehrsleittechnik Verkehrsdatenaufbereitung

Speed distribution in case of congestion UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Verkehrsleittechnik Verkehrsdatenaufbereitung

unstable domain stable domain density speed v volume speed fundamental diagram volume ● speed (efficiency) v qmax vfvf k-v functionq-k function q-v function k qmax

Analylical expressions for speed-density, volume- density and volume-speed relations Speed-densityVolume-densityVolume-speedsource v=v f (1-k/ k max )q=v f (k-k 2 / k max )q=k max (v –v 2 / v f ) ] Linear v-k relation GREENSHIELDS v=v f {1-exp[-γ(1/k- 1/k max )]} q=v f ·k {1-exp[-γ(1/k- 1/k max )]} q=v/[k max - γ·ln(1-v/ v f ) ] KLADEK v= v f ·exp[-0.5(k/k max ) 2 ] q=v f ·k·exp [-0.5(k/k max ) 2 ] q=k max ·v [2ln(v f / v ) ] 0.5 ZACKOR v=v qmax ·ln(k max /k)q=v qmax ·k ·ln(k max /k)q=k max ·v·exp [-( v/ v qmax ) ] GREENBERG __ _ _ _ __ _ _ _ _ _

Traffic flow conditions UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK ______ Stable traffic flow light traffic partially congested traffic density headway freedom of movement speed passing possibility traffic structure big low randomly totallimited starting obstructions averaged increasing existlimited single vehicles single vehicles and small groups driving with desired speed reduced characteristic

Traffic flow conditions UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK ______ unstable traffic flow characteristicsCongested traffic overcrowded densitybigmaximum headwayLow Approximately equal distances Small Strongly connected erratic distances Freedom of movement existsno speedLow, homogenius Stop-and-go Passing possibility existsNo Traffic structure Big groups cluster Cluster and stopping cars

System der Nutzungsstufen Level of service (LOS) UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Quality level of traffic flow free traffic flow; low density; no obstruction; driving with desired speed nearly free traffic flow; overtaking possibility; low obstructions driving with high speed stable traffic flow; limited freedom of movement; car bunches develop limited freedom of movement near the instable area no freedom of movement; column traffic, instabilities develop instable traffic flow; stop and go traffic;

Level of service relative to capacity UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) [q/q max ] traffic speed v saturation level

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Typical bottleneck situations Verkehrsleittechnik Strecke als Regelkreis

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) road as service station in a queueing system Verkehrsleittechnik Strecke als Regelkreis Elements of a queueing system road section as waiting space queue arrival service (station) characteristics: arrival/departure rate stationary/nonstationary capacity queue length

You have been standing in a waiting queue! What does the queueing theory say about this? Arrival process disappointed give up Service process A/ B / C / Y / Z Arrival distribution (exponential, deterministic, general … ) Service distribution (exponental, … ) Number of service stations Capacity restrictions disciplin Served customers leave the system

Summary of queueing theory results UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Warteschlangentheorie, Vorlesung, Einführung

Explanations to the Pollaczek- Khintchine Formula UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) For the mean number of elements in a M/G/1- system the Pollaczek-Khintchine formula holds Warteschlangentheorie, Vorlesung, Systeme mit allg. Abfertigung

From the Pollaczek – Khintchine formula follows for the mean sojourn time mean sojourntime in the service counter service distribution workload Division by mean path length

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Zeitlücken beim Losfahren an einer Lichtsignalanlage nach Androsch (1974)  t [s] = 2,10 / n+1,47 nach Ahn (1987)  t [s] = 2,03 / n+1,60 Zeitdifferenz [s] Fahrzeug-Position

service rate depending on the traffic density 0 k max k 1/ τ 1/ τ 0 0 discharge into free flow (rate ≈ 1/2sec) discharge into total gridlock (rate =0) Linear decay from discharge into free flow (1/τ=1/2 sec ) to dis- charge into total gridlock at k=k max (1/τ=0) as simplest attempt

Introducing the traffic density dependent service rate gives with q=kv or = fundamental diagram after van Aerde

q-v Diagramm Lokale Messdaten q-v Diagramm Streckenbezogene Daten (FCD Reisezeiten) Camera measurement sites in Hefei Source: METRASYS

Van Aerde Visualisation

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) railway network as queuing system

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) railway section between two nodes as queuing system

UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR STRASSEN- UND VERKEHRSWESEN (ISV) LEHRSTUHL VERKEHRSPLANUNG UND VERKEHRSLEITTECHNIK (VuV) Simulation results for railway operation capacity on railway sections