Aachen, | WISS Seminarvortrag von Christian Wißmach Analyse von Zeitreihen

Folie 2 Was ist eine Zeitreihe? Motivation Komponentenzerlegung von Zeitreihen Zeitreihen transformieren (lineare Filter) Stochastische Prozesse Vergleich der Methoden Fazit Inhalt des Vortrags

Folie 3 Zeitreihe Folge von Beobachtungen in Abhängigkeit der Zeit (Schreibweise: x t ) (un)endlich diskret Plot kontinuierlich Was ist eine Zeitreihe?

Folie 4 Wozu ist die Analyse einer Zeitreihe gut? Die Zeitreihenanalyse liefert Antworten auf folgende Fragen… … beim Blick in die Vergangenheit Gibt es ein mathematische Modell aus, welches die Zeitreihe beschreibt? Aus welchen Komponenten besteht die Zeitreihe und wie sehen diese aus? Hat sich der Verlauf der Zeitreihe geändert (z. B. EKG)? … beim Blick in die Zukunft Wie wird meine Zeitreihe in Zukunft weitergehen? Motivation

Folie 5 Komponentenzerlegung von Zeitreihen

Folie 6 Trend am Beispiel internationaler Flugverkehr Wie hat sich die Anzahl der Passagiere im Mittel entwickelt? Trend Änderung des mittleren Niveaus Verschiedene Arten Trendbestimmung Methode der kleinsten Quadrate Ziel: Ermittlung einer polynomiellen Funktion, die möglichst nahe an allen Beoachtungen liegt Methode: Minimierung der Summe der Fehlerquadrate g: Werte der Trendfunktion x: Beobachtete Zeitreihenwerte

Folie 7 Trendbestimmmung am Beispiel internationaler Flugverkehr

Folie 8 Trendbestimmmung am Beispiel internationaler Flugverkehr Ergebnis Anzahl der Passagiere ist im Mittel gestiegen Probleme der Methode Neuberechnung bei neuen Werten Polynome anfällig gegen Ausreißer Weitere Methoden zur Trendbestimmung M-Schätzung (Ausreißer geringer gewichten) Gauß-Newton-Verfahren (iterativ) Splines (Abschnittsweise de- finierte Funktionen)

Folie 9 Trendbereinigung am Beispiel internationaler Flugverkehr Trendbereinigung Trend wird von der Zeitreihe abgezogen

Folie 10 Saison am Beispiel internationaler Flugverkehr Wie war die Entwicklung der Passagierzahlen innerhalb eines Jahres? Saison Schwankungen innerhalb eines Jahres Wiederholt sich jedes Jahr Saisonbestimmung Variable Saisonfigur: Anpassung von überlagerten Wellen an die Saison Starre Saisonfigur: Ersetzung Monatswerte durch Monatsmittelwerte s i i: Monat (Zahlendarstellung wie beim Datum) N: Anzahl der Beobachtungen der Zeitreihe

Folie 11 Saisonbestimmung am Beispiel internationaler Flugverkehr Ergebnis Frühjahr: Langsamer Anstieg der Passagieranzahl Sommer: Höhepunkt Herbst: Fällt rapide ab Winter: Beginnt wieder zu steigen

Folie 12 Saisonbereinigung Analog zur Trendbereinigung Saison wird von der Zeitreihe abgezogen Restkomponente Störungen Andere Einflüsse Saisonbereinigung / Restkomponente

Folie 13 Ist das Auftreten so vieler Sonnenflecken in diesem Jahr ungewöhnlich? Sonnenflecken beeinflussen beispielsweise technische Geräte von Flugzeugen Konjunktur Schwankung über mehrere Jahre Wird für Berechnung häufig mit anderen Komponenten zusammengefasst Glatte Komponente: Trend & Konjunktur Zyklische Komponente Konjunktur & Saison Konjunktur am Beispiel Sonnenflecken

Folie 14 Konjunktur am Beispiel Sonnenflecken

Folie 15 Komponentenmodelle Kombinieren von Komponenten Additiv Multiplikativ Umwandlung multiplikativ zu additiv Komponentenzerlegung Globales Komponentenmodell (Regressionsmodell) Lokales Komponentenmodell (lineare Filter)

Folie 16 Zeitreihen transformieren

Folie 17 Problem Ausreißer / Messfehler verfälschen die Ergebnisse von Berechnungen Lösungsansatz Eliminierung der Ausreißer durch Glättung mittels linearer Filter Berechnungen mit geglätteten Zeitreihen durchführen Linearer Filter Transformation einer Zeitreihe x t in eine neue Zeitreihe y t Gleitende Durchschnitte Ersetzung der Zeitreihenwerte durch den Mittelwert einer kleinen Umgebung des Wertes Zum Beispiel: Mittelwert aus vorherigen, aktuellen und nächsten Wert Grundlagen und gleitende Durchschnitte

Folie 18 Gleitende Durchschnitte am Beispiel Sonnenflecken

Folie 19 Differenzenfilter am Beispiel internationaler Flugverkehr Variate Differenzen Verringern den Polynomgrad um mindestens 1 Differenzenfilter der Ordnung p Variate Differenzen für Zeitreihenwerte p = 2

Folie 20 Differenzenfilter am Beispiel internationaler Flugverkehr

Folie 21 Saisonaler Differenzenfilter am Beispiel internationaler Flugverkehr Saisonaler Differenzenfilter Bildung der Differenzen anderer Intervalle Beispiel Monatsdaten

Folie 22 Weitere Methoden zur Glättung einer Zeitreihe Faltung Vereinfachung für die Anwendung zweier Filter Zusammenfassung zweier Filter zu einem Exponentielle Glättung Rekursive Neuberechnung der Zeitreihewerte anhand vorheriger Werte Glättungsparameter β (Größenordnung: Gewicht der neuen Beobachtung) Startwert i. d. R. erste Beobachtung 1-Schritt-Prognose möglich

Folie 23 Stochastische Prozesse

Folie 24 Begriffe Zufallsvariable Abbildung eines Zufallsvorgangs auf die reellen Zahlen Ereignissen werden Zahlen zugeordnet Stochastischer Prozess Folge von Zufallsvariablen (Abbildung eines Zufallsvorgangs auf die reellen Zahlen) Motivation für den Einsatz stochastischer Prozesse Zeitreihen sind vom Zufall abhängig Anwendbarkeit der stochastischen Methoden White-Noise-Prozess Stochastischer Prozess mit den Zusatzbedingungen Zufallsvariablen sind voneinander unabhängig Zufallsvariablen sind identisch verteilt Grundlage von stochastischen Prozessen

Folie 25 Autoregressive Prozesse p Vergangenheitswerte ergeben aktuellen Wert Schreibweise: AR[p]-Prozess Stochastische Prozesse

Folie 26 AR[12]-Realisierung Zeitreihe trendbereinigt Zeitreihe saisonbereinigt Stochastische Prozesse

Folie 27 Moving-Average-Prozesse Gleitende Durchschnitte Werte x t werden durch den Mittelwert der Werte mit den Indices (t - q) bis (t + q) ersetzt Schreibweise: MA[q]-Prozess ARMA-Prozesse (Autoregressiver Moving-Average Prozess) Kombination des AR[p]- und MA[q]-Prozesses Zwei Parameter: ARMA[p,q]-Prozess ARIMA-Prozesse (Autoregressiver integrierter Moving-Average Prozess) Zeitreihen mit Trend- und Saisonkomponente Erweiterter ARMA[p, q]-Prozess Differenzenfilter der Ordnung d Drei Parameter: ARIMA[p, d, q]-Prozess Stochastische Prozesse

Folie 28 Vergleich der Methoden MethodeVorteileNachteile Methode der kleinsten Quadrate (Trend) Sehr gute Approximation Anfällig gegen Ausreißer Neuberechnung erforderlich Differenzenfilter (Trend) Lokale Schwankungen werden erfasst Neue Werte einfach hinzufügbar Keine Ausreißer Werte gehen verloren Grad des Polynoms nicht immer eindeutig Starre Saisonfigur (Saison) Leicht zu berechnen Berücksichtigt keine Saisonschwankungen Differenzenfilter (Saison) Berücksichtigt Saisonschwankungen Eliminiert Ausreißer Werte gehen verloren (insbesondere bei der Saisonbereinigung) Stochastische Prozesse (Modell für komplette Zeitreihe) Liefern sehr genaue Modelle Können für Prognosen verwendet werden Berechnung aufwendig (durch Computer irrelevant) Von Zufallsschocks abhängig

Folie 29 Vergleich der Methoden MethodeVorteileNachteile Methode der kleinsten Quadrate (Trend) Sehr gute Approximation Anfällig gegen Ausreißer Neuberechnung erforderlich Differenzenfilter (Trend) Lokale Schwankungen werden erfasst Neue Werte einfach hinzufügbar Keine Ausreißer Werte gehen verloren Grad des Polynoms nicht immer eindeutig Starre Saisonfigur (Saison) Leicht zu berechnen Berücksichtigt keine Saisonschwankungen Differenzenfilter (Saison) Berücksichtigt Saisonschwankungen Eliminiert Ausreißer Werte gehen verloren (insbesondere bei der Saisonbereinigung) Stochastische Prozesse (Modell für komplette Zeitreihe) Liefern sehr genaue Modelle Können für Prognosen verwendet werden Berechnung aufwendig (durch Computer irrelevant) Von Zufallsschocks abhängig

Folie 30 Vergleich der Methoden MethodeVorteileNachteile Methode der kleinsten Quadrate (Trend) Sehr gute Approximation Anfällig gegen Ausreißer Neuberechnung erforderlich Differenzenfilter (Trend) Lokale Schwankungen werden erfasst Neue Werte einfach hinzufügbar Keine Ausreißer Werte gehen verloren Grad des Polynoms nicht immer eindeutig Starre Saisonfigur (Saison) Leicht zu berechnen Berücksichtigt keine Saisonschwankungen Differenzenfilter (Saison) Berücksichtigt Saisonschwankungen Eliminiert Ausreißer Werte gehen verloren (insbesondere bei der Saisonbereinigung) Stochastische Prozesse (Modell für komplette Zeitreihe) Liefern sehr genaue Modelle Können für Prognosen verwendet werden Berechnung aufwendig (durch Computer irrelevant) Von Zufallsschocks abhängig

Folie 31 Vergleich der Methoden MethodeVorteileNachteile Methode der kleinsten Quadrate (Trend) Sehr gute Approximation Anfällig gegen Ausreißer Neuberechnung erforderlich Differenzenfilter (Trend) Lokale Schwankungen werden erfasst Neue Werte einfach hinzufügbar Keine Ausreißer Werte gehen verloren Grad des Polynoms nicht immer eindeutig Starre Saisonfigur (Saison) Leicht zu berechnen Berücksichtigt keine Saisonschwankungen Differenzenfilter (Saison) Berücksichtigt Saisonschwankungen Eliminiert Ausreißer Werte gehen verloren (insbesondere bei der Saisonbereinigung) Stochastische Prozesse (Modell für komplette Zeitreihe) Liefern sehr genaue Modelle Können für Prognosen verwendet werden Berechnung aufwendig (durch Computer irrelevant) Von Zufallsschocks abhängig

Folie 32 Vergleich der Methoden MethodeVorteileNachteile Methode der kleinsten Quadrate (Trend) Sehr gute Approximation Anfällig gegen Ausreißer Neuberechnung erforderlich Differenzenfilter (Trend) Lokale Schwankungen werden erfasst Neue Werte einfach hinzufügbar Keine Ausreißer Werte gehen verloren Grad des Polynoms nicht immer eindeutig Starre Saisonfigur (Saison) Leicht zu berechnen Berücksichtigt keine Saisonschwankungen Differenzenfilter (Saison) Berücksichtigt Saisonschwankungen Eliminiert Ausreißer Werte gehen verloren (insbesondere bei der Saisonbereinigung) Stochastische Prozesse (Modell für komplette Zeitreihe) Liefern sehr genaue Modelle Können für Prognosen verwendet werden Berechnung aufwendig (durch Computer irrelevant) Von Zufallsschocks abhängig

Folie 33 Welche Methode für die Analyse einer Zeitreihe am Besten geeignet ist, hängt von der jeweiligen Problemstellung ab: Globales oder lokales Komponentenmodell? Trend: Erweiterbarkeit oder Genauigkeit? Saison: Einfache Berechnung oder Schwankungen berücksichtigen? Fazit

Folie 34 ANDERSON, T. W.: The Statistical Analysis of Time Series. BOX, GEORGE E. P., GWILYM M. JENKINS und GREGORY C. REINSEL: Time series analysis. HUBER, P. J.: Robust estimation of a location parameter. SCHLITTGEN, RAINER und BERND H. J. STREITBERG: Zeitreihenanalyse. Literatur

Folie 35 Fragen? Vielen Dank für die Aufmerksamkeit Quelle: Fragen?