Kapitel 3: Fouriertransformation SoE 2011 27.04.2017 Kapitel 3: Fouriertransformation SiSy, Rumc, 3-1 Deterministisches Signale periodische Signale wichtige Hilfs- und Testsignale, Leistungssignale Fourierreihe FR => Linienspektrum nicht-periodische Signale transiente Signale, Burst-Signale, Pulse, …, Energiesignale Fouriertransformation FT => kontinuierliches Amplitudendichtespektrum => vor allem die Eigenschaften der FT sind sehr wichtig ! Projektleitung

Herleitung Fouriertransformation FT SiSy, Rumc, 3-2 Periodische Signale können als Fourierreihe dargestellt werden Linienspektrum mit Linienabstand f0 = 1/T0 Nicht-Periodische Signale haben KEINE Fourierreihendarstellung Lösungsansatz: s(t) periodisch fortsetzen und Periode T0 -> ∞ Beobachtung: ck-Spektrallinien rücken näher zusammen (Linienabstand f0 = 1/T0) ck-Spektrallinien werden immer kleiner und streben gegen Null Spektrale Dichte hingegen existiert: s(t) t -T0 T0 τ

Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-3 Periodische Fortsetzung Rechteckpuls s(t) 1 t -T0 -τ/2 τ/2 T0 Integrationsbereich von -T0/2 bis T0/2 sinc-förmige ck-Spektrallinien check DC-Wert c0 = τ/T0

Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-4 Zeitbereich s(t) 1 t -T0 τ fix T0 Frequenzbereich DC-Wert geht gegen Null (andere ck-Werte auch) spektrale Dichte existiert

Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-5 Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ = 4 Hz Abstand f0 = 1 Hz

Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-6 Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ = 4 Hz Abstand f0 = 0.5 Hz

Definition der Fouriertransformation (FT) SiSy, Rumc, 3-7 Grenzübergang T0->∞ Amplitudendichtespektrum S(f) [V/Hz] wobei und f = k·f0 = k/T Fourier- (Rück-) Transformation für später: Die Fourier-Transformation FT kann auch aus der Laplace-Transformation hergeleitet werden, indem man s = jω setzt.

Vergleich FT mit FR SiSy, Rumc, 3-8 Ein periodisches Signal s(t) besteht aus einer Summe von Harmonischen => Linienspektrum kompl. Fourierreihe (FR): ck-Koeffizient enthält Amplitude und Phase der k-ten Harmonischen Ein nicht-periodisches Signal s(t) besteht aus einer "Summe" (Integral) von "allen" Frequenzkomponenten => Dichtespektrum (inverse) Fouriertransformation (FT): S(f)-Koeffizient enthält Amplitude und Phase der Frequenzkomponente f

Fouriertransformation Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-9 Rechteckpuls s(t) der Dauer τ (Dichte-) Spektrum bzw. Fouriertransformierte S(f) sinc-förmig!

Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ Fouriertransformation Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-10 Der Rechteck-Puls hat ein sinc-förmiges Spektrum! Pulsdauer τ Pulsdauer τ mal Bandbreite B ≈ 1 - 4 dB Bandbreite B = 1/τ - 14 dB Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ

Eigenschaften der FT: Linearität SiSy, Rumc, 3-11 x(t) = a·s1(t) + b·s2(t) ○-● X(f) = a·S1(f) + b·S2(f) Linearkombination der Zeitsignale Linearkombination der Spektren Beispiel s1(t) = 1 s2(t) = cos(2π·f0t) x(t) = 1 + cos(2π·f0t) ○-● X(f) 1 1/2 f -f0 f0

gleiche Betragsspektren Eigenschaften der FT: Zeitverschiebung SiSy, Rumc, 3-12 x(t) = s(t-t0) ○-● X(f) = S(f) · e-j2πf·to Zeitverschiebung Phasendrehung ! Darstellung in Polarform => Phasendrehung => gleiche Betragsspektren Beweis Substitution t’ = t - t0

Beispiel Zeitverschiebung SiSy, Rumc, 3-13 Einseitige Exponentialfunktion t0 = 0.5 ms τ = 1/(2π) ms = 0.159 ms τ Fourier-Spektrum S(f) @ f0 = 1/(2π·τ) = 1 kHz: Fourier-Spektrum zeitverschobenes Signal X(f) @ f0 = 1 kHz:

Eigenschaften der FT: Zeitskalierung SiSy, Rumc, 3-14 x(t) = s(a·t) ○-● X(f) = (1/IaI)·S(f/a) Beweis: Substitution t‘ = a·t Fall a>1: Verkürzung Signal s(t) <=> breiteres Spektrum S(f) Fall a<1: Dehnung Signal s(t) <=> schmaleres Spektrum S(f) Zeit-Bandbreite-Produkt Je „kürzer“ ein Puls-Signal ist, desto „grösser“ ist die Bandbreite des Spektrums. Umgekehrt haben „lang“ dauernde Einzelpulse schmale Spektren. Bandbreite und Dauer eines Pulssignals können also nicht unabhängig von einander gewählt werden. Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist eine Konstante. Pulsdauer mal Bandbreite τ·B ≈ 1

Anwendung "Zeit – Bandbreite – Produkt" SiSy, Rumc, 3-15 kostengünstiges Oszilloskop Tektronix TDS3012B 100 MHz / 1.25 GSps 3 dB-Bandbreite = 100 MHz Pulse mit ca. 10 ns Dauer noch "sichtbar" Le Croy WaveRunner 640 Zi 4 GHz / 40 GSps 3 dB-Bandbreite ≈ 4 GHz Pulse mit ca. 0.25 ns noch "sichtbar"

Zeit-Bandbreite-Produkt bleibt konstant!!! Beispiel Zeitskalierung SiSy, Rumc, 3-16 Rechteckpulse mit Dauer τ0 und τ0/2 sowie zugehörige Spektren Zeit-Bandbreite-Produkt bleibt konstant!!!

Eigenschaften der FT: Dualität und Beispiel SiSy, Rumc, 3-17 s(t) ○-● S(f) S(t) ○-● s(-f) Beispiel Rechteckförmig im Zeitbereich ○-● sinc-förmig im Frequenzbereich sinc-förmig im Zeitbereich ○-● rechteckförmig im Frequenzbereich ○-● f -fg/2 fg/2

Eigenschaften: Frequenzverschiebung SiSy, Rumc, 3-18 x(t) = s(t) · ej2πf0·t ○-● X(f) = S(f-f0) Multiplikation mit ej2πf0·t ○-● Frequenzverschiebung um +f0 (nach rechts) duale Aussage zur Zeitverschiebung Prinzip wird in der Nachrichten- und Messtechnik oft verwendet (siehe Beispiel auf der nächsten Folie)

Eigenschaften: Frequenzverschiebung SiSy, Rumc, 3-19 Nachrichtensignal s(t) = 1+0.5·cos(2π·fTon·t) s(t) y(t) Amplituden-Moduliertes (AM-) Signal cos(2π·fc·t) Hilfs-Trägersignal (engl. carrier) Nachricht s(t) "steckt" in der Amplitude des Trägersignals

hochfrequentes Signal kann über Antenne abgestrahlt werden Beispiel Frequenzverschiebung SiSy, Rumc, 3-20 Multiplikation (Basisband)-Signal s(t) mit cos-(Träger)-Signal Amplitudenmodulation = s(t)·cos(2πf0t) = 0.5 · s(t) · ej2πf ·t + 0.5 · s(t) · e-j2πf ·t Frequenzverschiebung (Mischung) Y(f) = 0.5 · S(f-f0) + 0.5 · S(f+f0) hochfrequentes Signal kann über Antenne abgestrahlt werden

Eigenschaften: Differentiation / Integration SiSy, Rumc, 3-21 dn/dtn s(t) ○-● (j2πf)n·S(f) Differentialgleichung DGL ○-● algebraische Gleichung simple Substitution von dn/dtn durch (jω)n sehr oft genügt die Lösung der DGL im Frequenzbereich Beispiel aus der Wechselstromlehre i(t) L Algebraische Gleichung U(f) = jωL·I(f) komplexer Widerstand / Impedanz ZL = U(f) / I(f) = jωL = j·2πf·L ○-● u(t) DGL u(t) = L·di(t)/dt

Eigenschaften der FT: Faltung SiSy, Rumc, 3-22 ○-● X(f) · Y(f) Faltung Multiplikation Visualisierung der Faltung x(τ) y(τ) 1 1 τ / s τ / s 1 0.5 1 y(0.25-τ) = y(-(τ-0.25)) y(τ-0.25) 1 1 "Faltung" τ / s τ / s 0.5 1 0.5 1 x(t)*y(t) Faltung x(t)*y(t) @ t = 0.25 0.5 t / s 0.5 1 1.5

Beispiel Faltung Faltung Rechteckpuls der Dauer τ0 mit sich selbst ○-● SiSy, Rumc, 3-23 Faltung Rechteckpuls der Dauer τ0 mit sich selbst Dreieckpuls sinc2-förmiges Spektrum ○-● siehe Demo

Ausblick zur Faltung Definition der Stoss- bzw. Impulsantwort h(t) SiSy, Rumc, 3-24 Definition der Stoss- bzw. Impulsantwort h(t) x(t) = δ(t) Linear, Time-Invariant y(t) = h(t) LTI- System t t Die Stossantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig Ausgangssignal = Faltung von Eingangssignal mit Stossantwort Ausgangsspektrum = Eingangsspektrum x Frequenzgang des Systems LTI- System x(t) ○-● Analyse im Frequenz- bereich genügt oft ! X(f) Y(f) = X(f)·H(f) H(f) = F{h(t)} Frequenzgang des LTI-Systems

Eigenschaften der FT: Symmetrie SiSy, Rumc, 3-25 Spektrum S(f) eines reellwertigen Zeitsignals s(t) s(t) reell ○-● S(-f) = S*(f) s(t) reell, ungerade ○-● S(f) imaginär Beispiel: sin(.) s(t) reell, gerade ○-● S(f) reell Beispiel: cos(.) Beispiel Spektrum eines reellen Signals Matlab: abs(.) Matlab: angle(.) Betragsspektrum (gerade Funktion) IS(-f)I = IS(f)I Phasenspektrum (ungerade Funktion) angle{S(-f)} = -angle{S(f)}

Signalenergie, Spektrum Dirac-Puls SiSy, Rumc, 3-26 Energieberechnung mit Satz von Parseval (an 1Ω) überprüfe die Dimension (IS(f)I hat Dimension V/Hz)! Spektrum eines Dirac-Impulses s(t) S(f) s(t) = δ(t) ○-● S(f) = 1 t f s(t) S(f) DC s(t) = 1 ○-● S(f) = δ(f) t f Ein unendlich schmaler Puls hat ein flaches bzw. weisses Spektrum, in dem alle Frequenzkomponenten vorkommen. Umgekehrt hat ein DC- Signal eine sehr schmale Linie bei f = 0 im Amplitudendichte-Spektrum.

FT eines periodischen Signals SiSy, Rumc, 3-27 ○-● periodisches Signal (Darstellung als Fourierreihe) "Linien"-Spektrum (Dirac-Impulse statt Linien) Beweis: Verwende Linearitätseigenschaft der FT Identität ck ○-● ck·δ(f) Frequenzverschiebungseigenschaft der FT Beispiel Amplitudendichtespektrum des cos-Signals s(t) = cos(2πf0·t) f (1/2) f0 -f0 S(f)